Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано:  ABC  A 1 B 1 C 1

k

– коэффициент подобия В 1 В А Доказать: 

А

 

А

1 , С

S ABC S A

1

B

1

C

1 А 1 

k

2

S S ABC A

1

B

1

C

1 

AB



AC A

1

B

1 

A

1

C

1

= k 2

С 1

С

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

В

S АВС S MBN

 1 =  2 1 2

ВH



АC BH



MN

М

H

N А

S ABC S MBN AC = MN

С4

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD:DC=1:2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF.

Дополнительное построение: DK II FE

С  AFE  ADK

?

2

P DH – общая высота треугольников ADK и ADB

?

D В

1 x

K H

2x

E F AP – общая высота треугольников ADB и ABC

?

А

С4

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD:DC=1:2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF.

2  AFE

Решение

 ADK С

S AFE S ADK



AE AK

 3 5   2 DH – общая высота треугольников ADK и ADB

2

P

S ADK S ABD



AK AB

 5 6 D В

1 x

K H

2x

E F AP – общая высота треугольников ADB и ABC А

S ADВ S ABС



BD ВC

 1 3

С4

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD:DC=1:2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?

S AFE S ADK



AE AK

2  3 5   2

S AFE

 9 25

S ADK S ADK S ABD



AK AB

 5 6

S ADK

 5 6

S ABD S ABD S ABC



BD BC

 1 3

S ABD

 1 3

S ABС S AFE

 9 25

S ADK

 9 25  5 6

S ABD

 9 25  5 6  1 3

S ABC

 1 10

S ABC