Transcript chương 3. văn phạm phi ngữ cảnh

Chương 3
Văn phạm phi ngữ cảnh
Nội dung




Suy dẫn phi ngữ cảnh
Cây suy dẫn và sự nhập nhằng
Giản lược văn phạm phi ngữ cảnh
Dạng chuẩn Chomsky
Suy dẫn phi ngữ cảnh


Văn phạm phi ngữ cảnh: là văn phạm trong đó
các sản xuất có dạng:
A với A;  ()*
Suy dẫn phi ngữ cảnh: tại mỗi bước chỉ áp
dụng sản xuất phi ngữ cảnh
Một số ví dụ về suy dẫn phi ngữ cảnh



Ví dụ 1: Trong ngôn ngữ lập trình
<định danh><chữ cái>|<định danh><chữ cái>|<định
danh><chữ số>
<chữ cái> A|B|C|…|Z
<chữ số>0|1|2|3|4|5|6|7|8|9
Kí hiệu không kết thúc: <định danh>, <chữ cái>, <chữ số>
Kí hiệu kết thúc: A, B, C, …, Z, 0, 1, 2, …, 9
Một số ví dụ về suy dẫn phi ngữ cảnh



Ví dụ 2: Trong văn phạm tiếng Việt có các quy tắc:
<câu><chủ ngữ><vị ngữ>
<chủ ngữ><danh từ>|<đại từ>
<vị ngữ><động từ>
<danh từ>bò|mèo|…
<đại từ>tôi|nó|…
<động từ>ăn|nằm|…
Kí hiệu không kết thúc: <câu>, <chủ ngữ>, <vị ngữ>, <danh
từ>, <đại từ>, <động từ>
Kí hiệu kết thúc: “bò”, “mèo”, “tôi”, “nó”, “ăn”, “nằm”… là các
từ tiếng Việt
Suy dẫn phi ngữ cảnh

Định lý III.1 (định lý phân dã suy dẫn)
Cho G=(, , P, S) là văn phạm phi ngữ cảnh, đặt V=
.
Nếu trong G có suy dẫn u1u2…un=>kG v trong đó ui, vV*
thì tồn tại viV*và kiN (i=1, 2,…, n) sao cho:
ui=>ki vi
Với mọi i=1, 2, …, n
v=v1v2 …vn
k1+k2+…+kn=k
(Chứng minh: lý thuyết ngôn ngữ và tính toán – Nguyễn Văn
Ba)
Cây suy dẫn và sự nhập nhằng

Định nghĩa cây suy dẫn:
Trong văn phạm phi ngữ cảnh G=(,,P,S), Cây suy
dẫn là cây mà mỗi đỉnh được gắn một nhãn là một phần tử
thuộc tập {} và thỏa các điều kiện:
i. Nhãn của gốc là kí hiệu đầu S.
ii. Nhãn của mỗi đỉnh trong là kí hiệu không kết thúc.
Nhãn của mỗi lá là kí hiệu kết thúc hoặc .
iii. Với mỗi đỉnh trong có nhãn A và các con có nhãn là
X1, X2 …Xk thì A X1X2Xk là một sản xuất trong G.
iv. Nếu một lá có nhãn là  thì lá đó là con duy nhất của
cha nó
Cây suy dẫn (tiếp)


Cây con là một cây tạo thành bởi một đỉnh và mọi hậu duệ
của nó cùng với các nhãn và cung liên kết chúng. Gốc cây
con có nhãn là A ta gọi cây con đó là A-cây
Biên (kết quả) của một cây suy dẫn hay của một A-cây là
xâu tạo thành bằng cách ghép tiếp các lá của cây theo trật
tự từ trái qua phải ta được một câu gọi là kết quả.
Ví dụ về cây suy dẫn
Ví dụ: xét văn phạm G({S, A}, {a, b}, P, S}, với P gồm:
S  aAS | a
A  SbA | SS | ba
 Một dẫn xuất của G:
S => aAS => aSbAS => aabAS => aabbaS => aabbaa
S
a
a
S
A
2
S
1
3
5
b 6
9
b 10
4
A
7
a
8
a
11
Cây suy dẫn (tiếp)
Định lý III.2:
Cho G là văn phạm phi ngữ cảnh có một xâu
w được sản sinh bởi G (S=>*Gw ) khi và chỉ khi
có một cây suy dẫn của văn phạm đó mà biên
của nó là w.
Chứng minh:
(1) Giả sử có cây suy dẫn biên là w thì có suy dẫn
S=>*w.
(2) Giả sử có suy dẫn S=>*w thì có cây suy dẫn biên
là w.

Suy dẫn trái và suy dẫn phải


Suy dẫn trái: là suy dẫn mà trong đó, ở mỗi
bước, kí hiệu được thay thế luôn luôn là kí hiệu
không kết thúc nằm bên trái nhất trong dạng câu.
Suy dẫn phải:là suy dẫn mà trong đó, ở mỗi
bước, kí hiệu được thay thế luôn luôn là kí hiệu
không kết thúc nằm bên phải nhất trong dạng
câu.
Suy dẫn trái và suy dẫn phải (tiếp)
Ví dụ: Cho văn phạm G với các sản xuất:
S AB
A  aA|a
B  bB|b
Các dẫn xuất khác nhau cho từ aaabb:
1. S =>AB => aAB => aaAB => aaaB => aaabB => aaabb
2. S => AB => AbB => Abb => aAbb => aaAbb => aaabb
3. S => AB => aAB => aAbB => aAbb => aaAbb => aaabb
4. S => AB => aAB => aaAB => aaAbB => aaabB => aaabb

Dẫn xuất (1) là dẫn xuất trái nhất, (2) là dẫn xuất phải
nhất

Các dẫn xuất tuy khác nhau, nhưng có cùng một cây
dẫn xuất
Văn phạm nhập nhằng
 Khái niệm: một văn phạm phi ngữ cảnh G được gọi là
văn phạm nhập nhằng (ambiguity) nếu nó có nhiều hơn
một cây dẫn xuất cho cùng một chuỗi w.
Văn phạm nhập nhằng (tiếp)


Một ngôn ngữ có thể được sinh ra từ văn phạm
nhập nhằng hoặc văn phạm không nhập nhằng
Ngôn ngữ được gọi là nhập nhằng (nhập nhằng
cố hữu – không nghiên cứu) nếu mọi văn phạm
sinh ra nó đều nhập nhằng
Văn phạm nhập nhằng (tiếp)

Để giản trừ nhập nhằng: ta đưa vào một số kí hiệu kết
thúc phụ và một vài sản xuất trung gian:
 Quy định rằng các phép cộng và nhân luôn được thực
hiện theo thứ tự từ trái sang phải (trừ khi gặp ngoặc
đơn)
EE+T|E*T|T
T  (E) | a
 Quy định rằng khi không có dấu ngoặc đơn ngăn cách
thì phép nhân luôn được thực hiện ưu tiên hơn phép
cộng
EE+T|T
TT*F|F
F  (E) | a
Biến đổi văn phạm phi ngữ cảnh



Loại bỏ các kí hiệu vô ích
Loại bỏ các sản xuất 
Loại bỏ các sản xuất đơn
Loại bỏ kí hiệu vô ích


Định nghĩa: Cho văn phạm G=(,,P,S), đặt
V=. XV là có ích nếu tồn tại suy dẫn:
S=>*Xβ=>*w (, βV*; w* ).
Nếu không thì nó là kí hiệu vô ích
Vậy kí hiệu có ích X là:
 Kí hiệu hữu sinh, nghĩa là tồn tại một xâu x*
mà X=>*x
 Kí hiệu đến được, nghĩa là tồn tại hai xâu , β
V* sao cho S=>* Xβ
Loại bỏ kí hiệu vô sinh
Bổ đề III.1 (Loại bỏ các kí hiệu vô sinh)
Tồn tại một thuật toán cho phép, với mọi văn phạm phi
ngữ cảnh G mà L(G)≠, thành lập một văn phạm phi ngữ
cảnh tương đương G’ chỉ có các kí hiệu hữu sinh
Thuật toán:
 Thành lập tập các kí hiệu hữu sinh W:
 W0=;

Wi=Wi-1{A|ƎWi-1*: AP} (với i>0)
 W=  Wi (i≥0)
 Quá trình bổ sung sẽ dừng vì tập W  
 Thành lập văn phạm G’=(, ’, P’,S):
 ’=W ;
 P’={AuP|A’, u( ’)*}
Loại bỏ kí hiệu vô sinh

Ví dụ: Cho G=(, , P, S) trong đó:
 ={a, b}; ={S, A, B, C}
 P={SaA| bAB| abA
AaB| bA| a
BaB| bB
CaA| bS| a }
Tìm văn phạm G’ tương đương không còn kí hiệu vô
sinh
Loại bỏ kí hiệu vô sinh

Lời giải:






W0={a, b}
W1=W0{A, C} (vì có các sản xuất Aa, Ca)
W2=W1{S} (vì có sản xuất SaA)
W3=W2
W={a, b, A, C, S};
G’={, ’, P’, S} trong đó:
’={S, A, C}
P’={SaA| abA, AbA| a, CaA| bS| a}
Loại bỏ các kí hiệu không đến được



Bổ đề III.2 (Loại bỏ các kí hiệu không đến được)
Tồn tại một thuật toán cho phép với mọi văn phạm phi
ngữ cảnh G thành lập một văn phạm phi ngữ cảnh tương
đương G’ chỉ có các kí hiệu đến được.
Thuật toán:
Thành lập tập hợp các kí hiệu đến được:
 W0={S}; U0=
 Wi=Wi-1{A| ƎBWi-1, Ǝu1, u2()*: Bu1Au2P}
 Ui=Ui-1 {a| ƎBWi-1, Ǝu1, u2()*: Bu1au2P}
 W=Wi; U= Ui (i≥0)
Thành lập văn phạm G’=(U, W, P’, S) trong đó:
 P’={AuP|AW và u(U  W)*}
Loại bỏ các kí hiệu không đến được

Ví dụ: Cho G’ ở ví dụ trên, tìm văn phạm G’’ chỉ gồm các
kí hiệu đến được:
 W0={S}; U0=
 W1= W0{A}; U1=U0 {a, b}
 W2=W1; U2=U1
 W={S, A}; U={a, b}
 Văn phạm G’’=({a, b}, {S, A}, P’’, S) trong đó:
P’’={SaA| abA
AbA|a}
Loại bỏ -sản xuất

-sản xuất:



-sản xuất là các sản xuất có dạng A
Khi xâu  thuộc ngôn ngữ thì văn phạm phải chứa ít nhất
một -sản xuất (thường là S ), ngoài ra các -sản xuất
đều là thừa và có thể loại bỏ
Định lý III.4:
Cho văn phạm G=(, , P, S) là một văn phạm phi ngữ
cảnh. Ta có thể thành lập một văn phạm phi ngữ cảnh
G’=(, , P’, S) không có -sản xuất mà:
L(G’)=L(G)-{}
Loại bỏ -sản xuất

Thuật toán:
 Thành lập tập hợp các kí hiệu không kết thúc sinh ra xâu
rỗng:
 Đặt E0={A|AP}
 Ei=Ei-1{A| ƎuEi-1*: AuP} (i>0)
 E= Ei (i≥0)
 Thành lập các sản xuất P’:
 Với mỗi sản xuất AX1X2…Xn P ta đưa vào P’ tất cả
các sản xuất có dạng A12…n trong đó:
(1) Nếu XiE thì i=Xi
(2) Nếu XiE thì i=Xi hoặc i= 
 Loại bỏ tất cả các -sản xuất
Loại bỏ -sản xuất
Ví dụ: Cho văn phạm:
SABC, ABB|, BCC|a, CAA|b
Loại bỏ các -sản xuất của văn phạm trên.
Lời giải:
 E={A, C, B, S}
 Văn phạm G’ tương đương là:
 SABC| AB| BC| AC| A| B| C
 ABB| B
 B CC| C| a
 C AA| A| b

Loại bỏ các sản xuất đơn

Sản xuất đơn:
 Sản xuất đơn là sản xuất có dạng AB (A,
B)
 Sản xuất đơn thường làm kéo dài các suy dẫn
nên ta cần loại bỏ
Loại bỏ các sản xuất đơn


Định lý III.6
Cho một văn phạm phi ngữ cảnh G=(, , P, S). Ta
có thể thành lập một văn phạm tương đương G’=(, ,
P’, S) không có các sản xuất đơn.
Thuật toán: Thành lập G’
 Cho R là quan hệ trên  được định nghĩa là:
ARB khi và chỉ khi ABP
 Đặt: P’={A| ƎBP, với   và AR*B}
(R* là bao đóng phản xạ, bắc cầu của R)
Loại bỏ các sản xuất đơn

Ví dụ: Cho văn phạm G:
 EE+T| T
 TT*F| F
 F(E)| a
Tìm văn phạm G’ không còn sản xuất đơn
Loại bỏ các sản xuất đơn
 Ta có:




R={(E, T), (T, F)}
R*={(E, E), (T, T), (F, F), (E, T), (T, F), (E, F)}
Có EE+T mà E+T, có (E, E)R* suy ra có sản xuất:
EE+T
Có T T*F mà T*F, có (T,T), (E,T) R* suy ra có sản xuất:
TT*F và ET*F
Có F(E) mà (E), có (F, F), (T, F), (E, F)R* suy ra có sản
xuất:
F(E) và T(E) và E(E)
Có Fa mà a, có (F,F), (T,F), (E,F) R* suy ra có sản xuất:
Fa và Ta và Ea
Loại bỏ các sản xuất đơn
 Văn phạm tương đương không có sản xuất đơn:
EE+T| T*F| (E)| a
TT*F|(E)| a
F(E)|a
Dạng chuẩn Chomsky


Dạng chuẩn Chomsky:
Văn phạm phi ngữ cảnh ở dạng chuẩn Chomsky là
văn phạm mà các sản xuất của nó ở một trong hai dạng:
 ABC
 Aa
Trong đó: A, B, C, a 
Định lý III.9
Cho văn phạm phi ngữ cảnh G. Ta có thể thành lập
một văn phạm G’ ở dạng chuẩn Chomsky sao cho
L(G’)=L(G)
Đưa văn phạm về dạng chuẩn Chomsky

Thuật toán: dựng G’=(, ’, P’, S) tương đương với G

Nhặt các sản xuất trong P ở dạng chuẩn Chomsky
đưa vào P’

Các sản xuất còn lại đưa về dạng chuẩn Chomsky:
(1)
Nếu có sản xuất AY1Y2…Yk (k>2) thì thay sản xuất
đó bằng hai sản xuất AY1A’ và A’Y2…Yk. Lặp lại
cho tới khi độ dài vế phải các sản xuất không lớn hơn
2
(2)
Nếu có sản xuất mà vế phải độ dài có chứa kí hiệu kết
thúc a, ta thêm một kí hiệu không kết thúc Ca, thay sự
xuất hiện của a trong sản xuất bằng Ca và thêm sản
xuất Caa
Đưa văn phạm về dạng chuẩn Chomsky
Ví dụ: Đưa văn phạm trên về dạng chuẩn Chomsky
SaAB| BBBA
ABAB| a
B AS| b
Lời giải:
B1: Các sản xuất đã ở dạng chuẩn Chomsky
Aa
BAS| b
B2: Đưa các sản xuất còn lại về dạng chuẩn Chomsky
SaAB được thay bằng SCAB và Ca
SCAB được thay bằng SCD và DAB
SBBBA được thay bằng SBE và EBBA
EBBA được thay bằng EBF và FBA
ABAB được thay bằng ABT và TAB

Đưa văn phạm về dạng chuẩn Chomsky

Ta thu được văn phạm G’=(, ’, P’, S) trong đó:
’={S, A, B, C, D, E, F, T}
P’={ SCD| BE
Ca
DAB
EBE
FBA
ABT| a
TAB
BAS| b}