Transcript HAVO D deel 3 H11

havo D deel 3 Samenvatting Hoofdstuk 11
y is (recht) evenredig met x
De formule heeft de vorm y = ax
De tabel is een verhoudingstabel.
Bij een k keer zo grote x hoort een k keer zo grote y.
De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong.
voorbeeld
x5
x2
x3
a
3
9
12
24
60
N
8
24
32
64
160
x3
x2
x5
evenredig
a 3 x zo groot
N 3 x zo groot
11.1
y is omgekeerd evenredig met x
De formule heeft de vorm xy = a , ofwel y = a/x
Vermenigvuldig je x met een getal,
dan moet je y door dat getal delen.
De grafiek is een hyperbool.
voorbeeld
x2
P
3
4
8
9
36
T
24
18
9
8
2
:2
vermenigvuldigd
steeds 72
omgekeerd evenredig
P 2 x zo groot
T 2 x zo klein
11.1
Evenredig en omgekeerd evenredig met een macht van x
Als de grootheden P en Q evenredig zijn, bestaat er een getal a zo, dat P = aQ
Het getal a heet de evenredigheidsconstante.
En zo volgt uit
y is evenredig met x0,75
dat er een getal a bestaat zo, dat y = ax0,75
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = axn
Voor omgekeerd evenredig geldt een dergelijke eigenschap.
y is omgekeerd evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y 
a
xn
11.1
Evenredigheid aantonen bij tabellen
Werkschema : hoe volgt uit een tabel met onderzoeksresultaten dat
y evenredig is met xn ?
y
1. Bereken bij elk onderzoeksresultaat het quotiënt n
x
2. Verschillen deze quotiënten weinig, dan is y evenredig met xn
11.1
Logaritmische schaalverdeling
Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn
gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen.
We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling.
paard = 600 kg.
log(600) ≈ 2,8
Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van
104 tot 100 gelijk aan 4 log(104) = 4.
11.2
Exponentiële groei en logaritmisch papier
Bij een rechte lijn op logaritmisch papier hoort exponentiële groei,
dus een formule van de vorm N = b · gt
Machtsfuncties en dubbellogaritmisch papier
Bij een rechte lijn op dubbellogaritmisch papier hoort een formule
van de vorm y = axn.
De lijn gaat door het punt (1, a) en heeft richtingscoëfficiënt n.
11.2
opgave 19a
Rechte lijn op logaritmisch papier,
dus N = b · gt.
t = 1 en N = 30
t = 7 en N = 400
400
400
g6 dagen = 30
1
 400  6
gdag =  30  ≈ 1,540


N = b · 1,540t
30
b · 1,5401 = 30
t = 1 en N = 30
b=
30
 19
19,5
1,540
Dus N = 19,5 · 1,540t.
11.2
Verdubbelings- en halveringstijd
De verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin
de hoeveelheid verdubbelt.
Bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de
vergelijking gT = 2 op te lossen.
De halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid
gehalveerd wordt.
Bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de
vergelijking gT = ½ op te lossen.
11.3
opgave 43
0 – 1500
 g1500 jaar = 2  gjaar = 2
1500 – 1800  g300 jaar = 2  gjaar = 2
1800 – 1950  g150 jaar = 2  gjaar = 2
1950 – 1986  g36 jaar
1986 – 2005  g19 jaar
= 2  gjaar = 2
=
4,8  1, 7
4,8
=
1
1500
1
300
1
150
1
36
6, 5
4,8
≈ 1,0005  0,05%
≈ 1,0023  0,23%
≈ 1,0046  0,46%
≈ 1,0194  1,94%
1
19
≈ 1,35  gjaar = 1,35 ≈ 1,0161  1,61%
11.3
De grafiek bij logistische groei
Exponentiële groei zal in de praktijk niet oneindig doorgaan.
Vaak krijgt de grafiek de vorm van het het figuur hieronder.
De grafiek heeft een horizontale asymptoot.
De grafiek nadert tot een grenswaarde.
Een dergelijke groei heet logistische groei.
Logistische groei
• Door invloeden van buitenaf vindt afremming
van exponentiële groei plaats.
• De grafiek is een S-vormige kromme die voor
grote waarden van t de grenswaarde nadert.
• De toenemende stijging duurt tot halverwege
de grenswaarde.
11.4
opgave 57
De grenswaarde is 25
P
dus Pt  Pt 1  k  Pt 1  1  t 1  met P0 = 2
25 

Na enig proberen vind je dat k = 0,25 voldoet
P
dus Pt  Pt 1  0, 25  Pt 1  1  t 1  met P0 = 2.
25 

11.4
opgave 64
 P 
Pt  Pt 1  0,8  Pt 1  1  t 1 
40 

a y  x  0,8 x 1  x   x  0,8 x  0,8 x 2  1,8 x  0,02 x 2
40
 40 
b De GR geeft als top van de parabool het punt (45; 4,05).
c
_
Uit de differentievergelijking volgt dat P = 40.
11.4