Transcript Titel van de presentatie

Meetkunde in beweging
Dolf van den Hombergh
Leon van den Broek
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Aankondiging
Bent u aanhanger van Euclides of Descartes, van
synthetische of van analytische meetkunde?
In welke richting beweegt de meetkunde zich op het vwo?
Het wordt een middenweg: Meetkunde met coördinaten.
Daarin kun je uitstekend bewegingen beschrijven.
In deze workshop geven wij u een kijkje in de meetkundekeuken van de toekomst (na 2014). En u mag ook proeven. Uit
een menu van zes gangen worden u enkele delicatessen
voorgeschoteld: smullen voor iedereen met een beetje kennis
van euclidische en analytische meetkunde.
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Vectoren
Kleur de zijden van een
2n-hoek om en om groen en
rood. Schuif de groene zijden
naar elkaar toe, zodat ze op
elkaar aansluiten. Zo ook de
rode zijden.
Als de groene zijden een
gesloten vierhoek vormen,
vormen de rode zijden ook
een gesloten vierhoek.
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Waarom Meetkunde met Coördinaten?
… Iets dat hij graag nog had beleefd, is een wiskundecurriculum gebaseerd op vectoren (samenbundeling van het
visueel/meetkundige en het rekenkundige/algebraïsche). Als
hij maar even de kans kreeg, promootte hij dat idee, …
(Euclides nr.3 (2010), Harrie Broekman, In memoriam Pierre Marie van Hiele)
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Waarom Meetkunde met coördinaten?
De titel van het domein is “Meetkunde met coördinaten” en
niet “Analytische Meetkunde”. De bedoeling hierachter was om
te voorkomen, dat het domein zou ontaarden in uitsluitend
algebra. Meetkundige begrippen en redeneringen behoren tot
de kern van het domein te horen.
(Dirk Siersma, voorzitter cTWO).
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Waarom Meetkunde met coördinaten?
… Verder blijkt het domein Voortgezette Meetkunde een
geheel afgezonderd onderdeel van het vak Wiskunde B1,2 te
zijn geworden, en zijn er weinig mogelijkheden voor integratie
tussen dit onderdeel en de andere delen van het vak.
In het curriculum voor 2011 kiest de programmacommissie
ervoor om meetkunde te laten aansluiten bij de analytische
aanpak van de rest van het vak Wiskunde B: Meetkunde met
coördinaten. Deze keuze biedt een ruim aantal mogelijkheden
voor dwarsverbanden met andere onderwerpen. …
(uit: cTWO, conceptexamenprogramma 2011)
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Hoofdstukken
1. Meetkunde met algebra
2. Rekenen aan lijnen
3. Verschuiven
4. Formules en Figuren
5. Beweging
6. Snelle vectoren
http://www.fi.uu.nl/ctwo/lesmateriaaldir/
ExperimenteelLesmateriaal/VWO Wiskunde B/
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Ontwikkelgroep
• Aad Goddijn (FI) bedenkt
• Dolf van den Hombergh en Leon van den Broek schrijven
de teksten
• Josephine Buskes (Kandinsky, Nijmegen), Gert Dankers
(Erfgooiers, Huizen) en Dick Klingens becommentariëren
• Theo van den Bogaart (FI) zit voor
• Ca. zes experimenteerscholen
In Meetkunde met coördinaten staat 'parameterkrommen'
weer op de menukaart. Het onderwerp wordt nu (anders)
gekruid. Hiervan willen we U iets laten proeven.
Voorkennis
• Een punt P beweegt in het platte vlak. Daarin is een
oorsprong O gekozen en een x- en y-as. We rekenen
afstanden in meters en de tijd t in seconden. De coördinaten
van P zijn functies van t: P(x(t),y(t)).
• P beschrijft een baan in het vlak.
 x t  
• De snelheidsvector waarmee P beweegt is:    .
 y t 
•
•
Als de snelheidsvector niet de nulvector is, dan raakt de lijn
door P met deze snelheidsvector als richtingsvector de baan
in P.
In het volgende zijn alle functies differentieerbaar.
1 De cycloïde
y-as
Een cirkel met straal 1 en middelpunt A
rolt over de x-as, zie plaatje. We bekijken
het punt P op de rolcirkel dat op t=0 in
O(0,0) is.
P
A
De snelheidsvector van het middelpunt A
is in het plaatje weergegeven door een
vector. De grootte is 1 m/s
a. Construeer de snelheidsvector van P
op het moment hiernaast.
b. Druk de coördinaten van P in t uit, x
en y in m en t in seconden.
c. Druk de snelheidsvector van P uit in t.
d. Controleer of je hetzelfde krijgt in de
onderdelen a en c op bijvoorbeeld
t=.
x-as
Vervolg cycloïde
P beschrijft een baan. Die is hieronder getekend.
e. Construeer in het plaatje de raaklijn in Q aan de baan.
y-as
Q
x-as
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
1 De cycloïde, antwoord a
y-as
P
A
x-as
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
1 Cycloïde, antwoord e
y-as
Q
M
x-as
Teken de lijn y=1.
Teken de cirkel met straal 1 en middelpunt Q, een van de snijpunten M met
de lijn y=1 is het middelpunt van de ‘rol’cirkel.
Teken de raakvector met lengte 1 aan de rolcirkel in Q.
Teken de vector met lengte 1 in Q evenwijdig aan de x-as.
De som van de twee vectoren raakt de baan in Q.
2 Spiralen
radieel
y-as
Een punt P is op tijdstip t in
(r(t)cost , r(t)sint) met t0.
Hierbij is r een stijgende functie van t en
r(t)0 voor alle t. Je zou kunnen zeggen
dat P beweegt over een cirkel met een
steeds groter wordende straal.
Hiernaast is de situatie op een bepaald
moment t getekend.
P
tangentieel
r(t)
O
a. Toon aan dat de snelheidsvector van P de som van twee vectoren is:
een tangentiële component die de cirkel met straal r(t) in P raakt en een
radiële component die dezelfde richting heeft als lijn OP.
We nemen nu r(t)=t.
Je krijgt dan een Archimedische spiraal.
x-as
Vervolg spiralen
2 y-as
b. Geef de grootte van de
radiële en de tangentiële
snelheden op tijdstip t.
c. Hiernaast is een stuk
van de baan getekend.
Construeer de raaklijn in
het aangegeven punt
met behulp van de
radiële en tangentiële
component van de
snelheidsvector.
0
-4
0
-2
-2
2
x-as
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Spiralen, antwoord 2c
2 y-as
0
-4
0
-2
-2
2
x-as
3 Een trochoïde
We bekijken een wiel van een rijdende trein. Om ervoor te zorgen
dat de trein niet uit de rails loopt, heeft de binnenkant van het wiel
een grotere diameter. De buitenkant van het wiel loopt over de
rails. De baan die een vastgekozen punt P op de omtrek van de
binnenkant beschrijft, noemen we een trochoïde. De
snelheidsvector van de trein is met een vector weergegeven
P
as
rail
rail
Vervolg trochoïde
Op het moment dat P op het laagste punt is gekomen, beweegt P achteruit.
a. Hoe vind je de snelheidsvector op dat moment?
De baan van P is hieronder in een assenstelsel getekend. De x-as is de
bovenkant van de rail en de y-as gaat door een laagste punt van de baan.
y-as
x-as
Vervolg trochoïde
De rolcirkel (de buitenkant van het wiel) heeft middelpunt M en straal
1, de binnenkant van het wiel heeft straal 1.
b. Laat zonder differentiëren zien dat de baan de x-as loodrecht snijdt.
c. Geef de bewegingsvergelijkingen van P.
d. Bereken de snelheidsvector van P op tijdstip t.
e. Laat met behulp van d zien dat de baan van P de x-as loodrecht
snijdt.
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Een trochoïde, antwoord 3b
P
x-as
Teken in P de raakvector aan de grote cirkel met straal 1 .
Teken in P de vector met lengte 1 op de x-as.
De som van de twee is de snelheidsvector van P.
Deze staat loodrecht op de x-as, want de beide blauwe driehoeken zijn
congruent.
4 Een speciale cirkelbeweging
Een punt P beweegt over de cirkel met straal 1 en middelpunt O. De
coördinaten van P op tijdstip t zijn: (cos(t²),sin(t²)).
a. Hoe vaak wordt het punt (0,1) gepasseerd op het tijdsinterval [0,10]?
b. Bepaal hoe groot de snelheid van P op tijdstip t is, zonder de
snelheidsvector te berekenen. Licht je antwoord toe.
c. Bereken de snelheidsvector op tijdstip t.
d. Bereken hoe groot de snelheid van P op tijdstip t is met behulp van de
snelheidsvector .
5 Toegift
We gaan verder met opgave 1. Hieronder is de baan van P getekend. De
rolcirkel en de positie van P is op een bepaald moment getekend.
y-as
P
A
x-as
a. Welk punt X van de rolcirkel heeft op dat moment snelheid 0?
We bekijken lijnstuk PX. Omdat X op dat moment stilstaat, draait P op dat
moment om X.
b. Hoe volgt hieruit dat de raaklijn in P aan de baan door de ‘top’ van de
rolcirkel gaat?
Vervolg toegift
c.Kun je ook bewijzen dat de raaklijn in P door de top van de rolcirkel
gaat met behulp van de constructie in 1a?
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Toegift antwoord 5b
y-as
P
M
x
X is het ‘onderste’ punt van de rolcirkel.
Als P om X roteert, staat de snelheidsvector van P loodrecht op PX.
x-as
NWD, 28-01-2011
Meetkunde in beweging
Discussie
? Heb je genoeg contacturen voor wiskunde B
? Moeilijk / leuk / belangrijk
? Synthetisch of analytisch
Nieuwe Wiskrant, juni 2007, Leon van den Broek, Analytische
meetkunde, terug van weggeweest; of toch liever vectoren.
Dank voor uw aandacht