Transcript Из школы в технический университет.

ИЗ ШКОЛЫ В ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Юренкова Л.Р.
к.т.н., доц.
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Ортогональные проекции геометрических фигур
Параллельное проецирование в решении
стереометрических задач
Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через заданные
точки K, L и M: точка К принадлежит грани AA1B1B; точка L принадлежит
грани AA1D1D и точка M принадлежит ребру C1D1
Решение стереометрических задач традиционным способом и
с помощью ортогональных проекций
Задача 1
Ромб ABCD, угол BAD которого равен 60о, является основанием двух пирамид, расположенных по одну сторону от
плоскости ABC. Вершина М1 первой из них проецируется в точку О – точку пересечения диагоналей ромба ABCD, а
вершина М2 второй пирамиды – в точку D. Считая AB = М1О = М2О = a, найти длину линии пересечения боковых
поверхностей заданных пирамид .
Решение
Первый способ
1. На рисунке видно, что боковые ребра пирамид и лежат в одной плоскости, которая является плоскостью симметрии
обеих пирамид. Обозначим точку пересечения этих ребер , тогда ломаная линия является линией пересечения боковых
поверхностей пирамид.
2. Введем декартову систему координат для плоскости симметрии M1BDM2 и составим уравнения прямых, содержащих
ребра и Определим координаты.
Второй способ
Исходные данные позволяют точно построить ортогональные проекции пирамид.. По двум проекциям нетрудно
определить длины отрезков. А если выполнить преобразование чертежа, как показано на рисунке справа, то легко
представить себе взаимное положение фигур. В случае если подобная задача будет иметь место в реальных условиях, то,
конечно, решать ее удобнее графически.
Задача 2
В правильной треугольной пирамиде DABC радиус окружности, описанной около основания ABC, равен 2, косинус
2
плоского угла при вершине D равен . Точка М принадлежит
плоскости, проходящей через вершину C и середины ребер
5
AB и AD.
Какое наименьшее значение может принимать площадь треугольника BDM?
Решение
Первый способ
1. Величина площади ∆ BDM будет зависеть от высоты МE, так как длина ребра BD (примем BD за основание треугольника
BDM) не изменяется. При высоте МE, соответствующей расстоянию от ребра BD до плоскости CKL, получится минимальная
площадь ∆ BDM . Ребро BD параллельно треугольнику CKL, так как KL – средняя линия треугольника ABD.
2. Построим ∆ ACE, перпендикулярный BD: AE BD, СE BD. Отсюда, по теореме о трех перпендикулярах AC BD. KL
пересекает AE в точке F.
FС – медиана треугольника ACE.
3. AC = AB = BC = R
3 2 3
AE = CE = CD
 sin  CDB
sin  CDB =
1  cos
CD  AD  BD 
2
4
 CDB = 1 

25
BC
2 sin
1
21
5
 CDB
2
sin
1
2
 CDB 
1  cos  CDB
2
1
2
5

2

3
10
;
CD 
2 3  10
2 3

10 .
4. Достроим ∆ ACE до параллелограмма ACEP. В соответствии с теоремой, называемой «равенство
параллелограмма»:
CP
2
 AE
CP
2
 2  AC
2
 2  AC
2
 CE
2
 CE
2
  AE
2
2
10 
CE =
21
42

5
CF 
1
162
2
5
1
2
;
1
42  42
42
162

2
 24 

; CF= CP ; CP  2  12 
;


9
2 S  CEF
; ME=
CF
10
1
AC
CE
2
2
BD  ME 
1

2
5
2 S  CEF  S  ACE 
Smin =
 . Преобразуем это выражение:
10 
5 
5
5
5
;
1

  AC 
2

2

1
2 3 
2
42
5
3 
9
5 ;
ME=
9  10
5 9

2
5.
2
Ответ: Smin =
5
.
Второй способ
Выполним преобразование чертежа – замену плоскостей проекций Новая плоскость
проекций π3 выбрана так, чтобы одна из прямых стала ей перпендикулярна, т.е.
спроецируется на нее в точку. На новой плоскости проекций  3 отрезок CL
изображается в виде точки, то есть CL   3
.Тогда на основании признака
перпендикулярности плоскостей треугольник KCL будет перпендикулярен  .Расстояние
3
от BD до треугольника KCL определится длиной перпендикуляра, C'''N''',
проведенного из точки L''' на B'''D''':
C D   B C 
B D  =
2
C D   DO  CD
1
AB  3 .
B D  =
2
2
2
2
2
 CO
2
 6
Пусть B'''N''' = x, тогда по теореме о высоте,
проведенной из вершины прямого угла треугольника B'''D'''L''', получим
B'''N''' = 1.
Из прямоугольного
треугольника B'''C'''N''': C'''N''‘=
B C   B N 
2
Окончательно, наименьшая площадь
треугольника BDM равняется:
S  BDM
min
1
10  2 
2
1
  BD 
2
C'''N''' =
5 ..
Ответ:
S  BDM
min

5.
2

31 
2.
Использование Архимедова винта в
современных механизмах
Издавна архимедов винт применялся для подъёма воды в оросительные
каналы. Кроме того, это устройство также использовалось для «кражи»
земли у моря в Голландии и других местах при создании польдеров.
Гиперболический параболоид в архитектуре и
природе
Поверхность гиперболического
параболоида исследовал бельгийский
математик Эжен-Шарль Каталан (18141894)
Свойства параллельного проецирования
Проекция отрезка, параллельного плоскости α,
параллельна и равна данному отрезку
Проекции прямых, которые параллельны в
пространстве, также параллельны
Проекция точки, делящей отрезок в пространстве в
некотором соотношении, делит проекцию этого отрезка
в том же отношении
Проекция фрагмента плоскости, параллельной плоскости
проекции, равна натуральной величине этого фрагмента
Ортогональный чертеж прямой, параллельной плоскости
проекций
Прямая, параллельная плоскости проекций, называется линией уровня.
На ортогональном чертеже одна из проекций такой прямой параллельна
соответствующей плоскости проекций.
φ – это угол наклона горизонтальной прямой к фронтальной плоскости
проекций
Доказать, что если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой
расположены на одинаковом расстоянии от этой плоскости.
Дано:
Прямая a || α
Доказать: все точки
прямой a равноудалены
Условие задачи
от плоскости α.
Доказательство
Выберем на прямой a две произвольные точки А и В.
Докажем, что расстояния от точки А и от точки В до плоскости α равны: ААα = ВВα.
Если прямая a параллельна плоскости α, то в плоскости α содержится множество прямых,
параллельных данной прямой a, например, прямая a1.
Определим расстояния от точек А и В до плоскости α - ААα и ВВα:
Так как перпендикуляра к одной плоскости параллельны, то ААα || В Вα.
Проведем АА1 || ВВ1, соединим точки Аα и А1 Вα и В1 и рассмотрим два равных треугольника - ААαА1
и ВВαВ1: АА1 = ВВ1 как отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя другими
параллельными прямыми; АαА1 = ВαВ1 как проекции равных наклонных.
Из равенства треугольников следует, что ААα = ВВα – что и требовалось доказать.
Частный случай проецирования прямого угла
Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если хотя бы одна из
его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не
перпендикулярна этой плоскости проекции
Предположим, сторона BC прямого угла
ABC параллельна плоскости проекций α
и проецируется в прямую BαСα, а сторона
AB пересекает плоскость α в точке A,
которая совпадет с точкой Aα.
Доказательство
Проведем прямую а, параллельную
BC. Тогда по теореме о трех
перпендикулярах угол между AB и
прямой а будет прямым. Но а
параллельна BC, а BC параллельна BαСα,
следовательно угол AαBαСα будет также
прямым, что и требовалось доказать.
Ортогональный чертеж плоскости, перпендикулярной
плоскости проекций
Доказательство теоремы: «Прямая, перпендикулярная
проецирующей плоскости, является линией уровня»
Использование Архимедова винта в
современных механизмах
Издавна архимедов винт применялся для подъёма воды в оросительные
каналы. Кроме того, это устройство также использовалось для «кражи»
земли у моря в Голландии и других местах при создании польдеров.
Гиперболический параболоид в архитектуре и
природе
Поверхность гиперболического
параболоида исследовал бельгийский
математик Эжен-Шарль Каталан (18141894)
Список трудов
к.т.н., доцента Юренковой Любови Романовны за 2005-2010 гг.
1.
Юренкова Л.Р. - Учитесь видеть. Этюды о геометрии. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. –
112 с.
2. Юренкова Л.Р. и др. – Непрерывно изгибаемые многогранники в моделях и игрушках. - М.:
Студенческий вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сборник научно-исследовательских работ студентов.
М., МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
3. Юренкова Л.Р. и др. - Использование программы трехмерной анимации и моделирования при
изучении геометрии. – М.: Ежемесячный теоретический и научно-методический журнал
«Специалист» №4, 2006 г.
4. Юренкова Л.Р. и др. Графическое определение расстояния от точки до винтовой поверхности. – М.:
Ежемесячный теоретический и научно-методический журнал «Специалист» №5, 2006 г.
5. Юренкова Л.Р., Бурлай В.В. - Справочное пособие по инженерной графике (путеводитель по
стандартам): Учебное пособие. – М.: Российский новый университет, 2007. – 212 с.: ил.
6. Юренкова Л.Р., Бурлай В.В. – Учитесь чертить или первый шаг в машиностроительное черчение:
Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2008. 188 с.
7. Юренкова Л.Р. и др. – Прогнозирование развития отрасли железнодорожного вагоностроения. - М.:
Студенческий вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сборник научно-исследовательских работ студентов.
М., МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.
8. Юренкова Л.Р. и др. – Разработка проекта по реинжинирингу бизнес-процесса предприятия.. - М.:
Студенческий вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сборник тезисов докладов. М., МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2008.
9. Юренкова Л.Р. и др. – Разработка упражнений для развития конструкторского мышления. - М.:
Студенческий вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сборник тезисов докладов. М., МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2009.
10. Юренкова Л.Р. и др. – Конструкция «невозможной лестницы».. - М.: Студенческий вестник МГТУ им.
Н.Э. Баумана. Сборник тезисов докладов. М., МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.
11. Юренкова Л.Р. и др. Винтовая линия и поверхность. Формы и устройства с участием винтовой
поверхности. Учебное пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. 70 с.: ил.