Transcript Zadania z indywidualnością

Zadania z indywidualnością
x y
Zadanie 1.
2
x
 2 x  10.
Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
Rozwiązanie standardowe:
Wzór na najmniejszą wartość funkcji kwadratowej:
Najmniejsza wartość = ̶ Δ/4a
Δ = 44, a = 1, zatem najmniejsza wartość = – 11
Zadanie 1.
2
Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia x  2 x  10.
Rozwiązanie niestandardowe:
x  2x 10  x 1 11
2
2
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie x 2  2x | x 1 | 1  0
Rozwiązanie standardowe:
Rozpatrujemy przypadki:
x 1
x
2
 3x  0
x  0, x  3
x 1
x
2
 x2  0
x  1, x  2
Zadanie 2.
Rozwiąż równanie x 2  2x | x 1 | 1  0
Rozwiązanie niestandardowe:
x 2  2x | x 1 | 1 | x 1 |2  | x 1 | 2  0
| x  1 | 2 lub | x  1 | 1
x  0 lub x  2
Zadanie 3.
Dane są liczby rzeczywiste x, y takie, że
x

x y
y
.
Oblicz
yx
Rozwiązanie standardowe:
Przekształcamy do postaci 2 x  2 ( x  y), skąd
y  ( 2 1) x i dalej
y
( 2  1) x
2

 1
.
yx
x y
2
2
.
2
Zadanie 3.
Dane są liczby rzeczywiste x, y takie, że
x

x y
y
.
Oblicz
yx
Rozwiązanie niestandardowe:
y
x
2
 1
 1
.
yx
x y
2
2
.
2
Zadanie 4.
Rozwiąż równanie
x
x 1 5

 .
x 1
x
2
Rozwiązanie standardowe:
Podnosimy obie strony do kwadratu,
otrzymujemy równanie kwadratowe
9 2 9
x  x  1  0.
4
4
Obliczamy pierwiastki.
Zadanie 4.
Rozwiąż równanie
x
x 1 5

 .
x 1
x
2
Rozwiązanie niestandardowe:
Podstawiamy
a
x
,
x 1
1 5
rozwiązujemy równanie a   ,
a 2
x
a następnie równania a 
.
x 1
2
Zadanie 5.
Wykaż, że jeśli wielomian
x  ax  b ma trzy różne
3
pierwiastki rzeczywiste, to a < 0.
Rozwiązanie standardowe (???):
Z założenia istnieją k, m, n takie, że wielomian można
zapisać w postaci ( x  k )(x  m)(x  n).
Stąd 0  k  m  n, a  km  kn  mn .
W rezultacie
0  k  m  n  k  m  n  2(km  kn  mn),
2
z czego wynika a < 0.
2
2
2
Zadanie 5.
Wykaż, że jeśli wielomian
x  ax  b ma trzy różne
3
pierwiastki rzeczywiste, to a < 0.
Rozwiązanie niestandardowe (?):
Jeśli a  0, to wielomian jest funkcją rosnącą,
a więc ma co najwyżej jeden pierwiastek.
Zadanie 6.
Niech f będzie wielomianem o współczynnikach
całkowitych. Wykaż, że jeśli c i d są różnymi liczbami
całkowitymi, to c – d dzieli f(c) – f(d).
Rozwiązanie standardowe:
Niech f ( x)  an xn  ... a1x a0 . Wówczas
f (c)  f (d )  an (c  d )  ... a1 (c  d ).
n
n
Zadanie 6.
Niech f będzie wielomianem o współczynnikach
całkowitych. Wykaż, że jeśli c i d są różnymi liczbami
całkowitymi, to c – d dzieli f(c) – f(d).
Rozwiązanie niestandardowe:
Z twierdzenia o reszcie:
f ( x)  q( x)(x  d )  f (d ),
zatem
f (c)  q(c)(c  d )  f (d ).
Zadanie 7.
Zbadaj, czy istnieje wielomian w stopnia 3 o
współczynnikach całkowitych, taki że w(0) = 1, w(1) =2,
w(2)=3 oraz w(3)=0.
Rozwiązanie standardowe:
Niech w( x)  ax3  bx2  cx  d. Podstawiamy
 a  b  c 1  2

 8a  4b  2c  1  3
27a  9b  3c  1  0

Układ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.
Zadanie 7.
Zbadaj, czy istnieje wielomian w stopnia 3 o
współczynnikach całkowitych, taki że w(0) = 1, w(1) =2,
w(2)=3 oraz w(3)=0.
Rozwiązanie niestandardowe 1:
Niech w( x)  ax3  bx2  cx  d.
Z pierwszego warunku: d = 1.
Z czwartego warunku: 27 a  9b  3c  1.
Zadanie 7.
Zbadaj, czy istnieje wielomian w stopnia 3 o
współczynnikach całkowitych, taki że w(0) = 1, w(1) =2,
w(2)=3 oraz w(3)=0.
Rozwiązanie niestandardowe 2:
Z pierwszego warunku: wyraz wolny = 1.
Pierwiastek 3 musi dzielić wyraz wolny, czyli 1.
Nie dzieli.
Zadanie 8.
2
Niech w( x)  x  x  1. Znajdź wszystkie wartości x, dla
których w(w(x))=w(x).
Rozwiązanie standardowe:
Podstawiamy: ( x 2  x  1)2  ( x 2  x  1)  1  x 2  x  1,
a stąd x  2 x  x  0.
4
3
2
Zadanie 8.
2
Niech w( x)  x  x  1. Znajdź wszystkie wartości x, dla
których w(w(x))=w(x).
Rozwiązanie niestandardowe 1:
Podstawiamy: w2 ( x)  w( x)  1  w( x),
2
x
 x  0.
a stąd w( x)  1, czyli
Zadanie 8.
2
Niech w( x)  x  x  1. Znajdź wszystkie wartości x, dla
których w(w(x))=w(x).
Rozwiązanie niestandardowe 2:
Jeśli w(a)=w(b), to a, b leżą symetrycznie
względem osi symetrii wykresu w,
czyli istnieje c takie, że x = ½ – c oraz w(x) = ½ + c .
2
Stąd  1  c    1  c   1  1  c.
2
2  2 
DODATEK
Zadanie bez numeru.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 2 liczba
jest niewymierna.
Rozwiązanie niestandardowe:
a
n
n
n
2
b

a
, czyli
2

.
Wtedy
Przypuśćmy, że
b
b b  a ,
n
n
n
wbrew Wielkiemu Twierdzeniu Fermata.
n
2
Zakończenie niestandardowe:
•
To już jest koniec,
nie ma już nic,
jesteśmy wolni,
możemy iść!