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Números Complexos
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Δ (b2 - 4ac)
na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos
com um valor negativo (Δ < 0). Nesse caso, sempre
dizemos ser impossível a raiz no universo considerado
(R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este
problema, sendo Gauss e Argand os que realmente
conseguiram expor uma interpretação geométrica num
outro conjunto de números, chamado de números
complexos,
que
representamos
por
C.
Esquematicamente,
temos:
R
C
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e
representa-se por C, o conjunto de pares ordenados,
ou seja:
► z = (x, y), onde x pertence a R e y pertence a R.
► z=
►z
x + y.i (forma algébrica) , em que i = √-1
= (x, y) Afixo
Exemplos:
A (5, 3) = 5 + 3i
B(2, 1) = 2 + i
C(-1, 3) = -1 + 3i ...
y
3
A
5
x
Dessa forma, todo número complexo z = (x,y) pode
ser escrito na forma z = x + y.i, conhecido como
forma algébrica, onde temos:
►x
= Re(z), parte real de z (termo independente)
►y
= Im(z), parte imaginária de z (coeficiente do i)
Igualdade entre números complexos
Dois números complexos são iguais se, e
somente se, apresentam simultaneamente
iguais a parte real e a parte imaginária.
Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos
que:
► z1
= z2 ↔ a = c e b = d
Adição de números complexos
Para somarmos dois números complexos basta
somarmos, separadamente, as partes reais e
imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi
e z2 = c + di, temos que:
► z1
+ z2 = (a + c) + (b + d)i
Subtração de números complexos
Para subtrairmos dois números complexos basta
subtrairmos, separadamente, as partes reais e
imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi
e z2 = c + di, temos que:
► z1
– z2 = (a - c) + (b - d)i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicarmos dois números complexos basta
efetuarmos a distributiva dos dois binômios,
observando os valores das potência de i. Assim, se
z1 = a + bi e z2 = c + di, temos que:
► z1
.z2 = (a + bi).(c + di )
► z1
.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
► z1
.z2 = a.c + bdi2 = adi + bci
► z1
.z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Exemplo: Qual a área do triângulo cuja representação
sobre o plano cartesiano são os afixos do números
complexos w1, w2 e w3 abaixo?
A) z1= 2  w1 = i.z1 = 2i
B) z2 = 5  w2 = i.z2 = 5i
C) z3 = 6 + 2i  w3 = 2i.z3 = 12i + 4i2 = - 4 + 12i
4
12
b.h 3.4
A

6
2
2
5
3
2
-4
Conjugado de um número complexo
Dado z = a + bi, define-se como conjugado
de z (representa-se por z ) → z = a - bi
Exemplo:
z= 3 - 5i → z = 3 + 5i
z = 7i → z = - 7i
z=3→ z=3
Divisão de números complexos
Para dividirmos dois números complexos basta
multiplicarmos o numerador e o denominador pelo
conjugado do denominador.
Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:
► z1
/ z2 = [z1 . z2] / [z2 . z2] =
► [(a
+ bi).(c - di)] / [(c + di).(c - di)]
Exemplo: Calcule: (7+4i)/(1+2i).
7  4i 1  2i
z
.
1  2i 1  2i
7  14i  4i  8i
z
2
1  4i
7  14i  4i  8
z
1 4
15  10i
z
5
z  3  2i
2
Exemplo: (FUVEST) Determine o valor de , para que a parte
imaginária de (2 + i)/( + 2i) seja nula.
2i
2  i   2i

.
  2i   2i   2i
2  4i  i  2i 2
 2  4i 2
2  4i  i  2
2 4
(2  2)  (  4)i
2 4
2  2   4
 2
i
2
 4  4
Se a parte imaginária é zero, então:
-4=0
=4
Potências de i
Se, por definição, temos que i = √-1, então:
i0 = 1
i1 = i
Soma = 0
i2 = -1
i3 = i2 .i = (-1).i = -i
i4 = i2 .i2 = (-1).(-1)=1
i5 = i4 .1= 1.i = i
i6 = i5 .i = i.i = i2 = -1
i7 = i6 .i = (-1).i = -i ......
Potências de i
Observamos que no desenvolvimento de in n
pertencente a N, os valores se repetem de
4 em 4 unidades. Desta forma, para
calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o
resto da divisão de n por 4.
Exemplo: Calcule i63
63 : 4 dá resto 3,
Logo: i63 = i3 = -i
Exemplo: Obtenha o valor de:
a) i2007 + i2009 + i1006 + i1008 =
i3 + i1+ i2 + i0 =
-i+i–1+1 =0
18
n
b)  i
n=5
18
n
5
6
7
18
5
6
i

i

i

i

...

i

i

i
 i  (1)  1  i

n 5
12 parcelas têm soma zero
18
n
5
6
i

i

i
 i  (1)

n 5

18
n
i
  1  i
n 5
Módulo de um número complexo
Dado z = a + bi, chama-se módulo de z a
sentença:
► |z| = √a2 + b2 , conhecido como ρ
Interpretação (forma) geométrica
Como dissemos anteriormente, a interpretação
geométrica dos números complexos é que deu o
impulso para o seu estudo. Assim, representamos o
complexo z = a + bi da seguinte maneira:
Forma Geométrica
Representação do
número complexo
z = a + bi
no plano cartesiano
(plano de
Argand/Gauss)
Perceba que:
|z| = √a2 + b2
y (Im.)
P(a,b)
b
|z|
a
x (Real)
Forma Geométrica
Agora observe apenas o
triângulo da figura anterior,
nele temos que:
►  é chamado argumento
de z.
b
sen 
z
a
cos 
z
|z|

a
b
Da interpretação geométrica, temos que:
b
sen   b  z  sen
z
b
cos   a  z  cos
z
z  a  bi
z  z  cos  i z  sen
Logo:
z  z cos  isen 
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de
um número complexo.
Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 12
- 5i. Calcule |z1|, |z2|, z1.z2, |z1. z2|, z1/z2 e |z1/z2|.
a) | z1 |  9  16  5 e | z2 |  144 25  13
b) z1 z2  (3  4i)(12  5i)  56  33i
c) | z1 z2 | 
562  332  4225  65  5x13  | z1 || z2 |
z1 3  4i 12  5i 16  63i 16  63i
d)

x


z2 12  5i 12  5i 144 25
169
2  632
z
16
e) 1 

2
z
169
2
4225 65
5 | z1 |



2
169
169 13 | z2 |
Obs.: como se pode perceber o módulo do produto é igual ao
produto dos módulos, o mesmo vale para o quociente
Exemplo: Considere o número complexo
z = -3√3 + 3i e calcule:
a)Módulo de z:
z 
 3 3   3
2
2
 27  9  6
b) O argumento principal de z:
3 3  3
cos 



6
2
a
sen 
b


3 1

6 2
dessa form aterem os:
5
  150º ou
6
c) A forma trigonométrica:
z = ρ.(cos + i. sen)
z = 6.(cos150º + i.sen 150º)
ou
z = 6.(cos5/6 + i.sen5/6)
Exemplo: Escreva na forma trigonométrica
z
 3 1
2
a
3
cos  
z
2
sen 
b 1

z 2
2
2
logo :  

6



z  2  cos  i sen 
6
6

Exemplo: Obtenha a forma algébrica de

5
 150 º , ou seja,   2º quadrante.
6
5
3

6
2
5 1
sen

6 2
cos
z  3  i.
5
5 

z  2 cos  isen 
6
6 

5
5 

Substituindo os valores em z  2 cos  isen , temos :
6
6 


3
1
z  2 
 i.    3  i
2
 2
Possibilidades de se trabalhar com
números complexos:
Forma
algébrica
Afixo
Forma
Forma
geométrica
trigonométrica
MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométrica
Sejam dados dois números z e w tais que:
z  z cos  isen 
w  w cos  isen 
Vejamos o que acontece quando fazemos z . w:
z  w  z cos  isen  w cos  isen 
z  w  z  w cos  isen  cos  isen 

z  w  z  w cos cos  isen cos  isen cos  i 2 sensen

z  w  z  w cos cos  sensen  sen cos  sen cos i 
z  w  z  w cos     isen   
MULTIPLICAÇÃO na forma trigonométrica
Conclusão: na multiplicação de dois números z e w na
forma trigonométrica:
 O módulo do produto é O PRODUTO DOS MÓDULOS;
 O argumento do produto é A SOMA DOS ARGUMENTOS.
Exemplo: Dados os números:






z1  2 cos  isen  e z2  3 cos  isen 
6
6
3
3


Calcule z1 . z2:
   
   
z1 z2  2.3 cos    i sen  
 6 3 
 6 3



z1 z2  6  cos  isen 
2
2

Observação:
O produto de n números complexos z1 z2 ...zn ,pode ser
generalizado por:
z1.z2 ...zn  1.2 ...n cos(1  2  ... n )  isen(1  2  ... n )
DIVISÃO na forma trigonométrica
Sendo dados dois números z e w tais que:
z  z cos  isen 
w  w cos  isen 
Na divisão de z por w, dizemos que:’
O módulo da quociente é O QUOCIENTE DOS MÓDULOS;
O argumento do quociente é A DIFERENÇA DOS
ARGUMENTOS.
z
z
 cos     isen   
w w
Exemplo: Sejam os números complexos:
z1  6cos 240º isen240º 
z2  cos30º isen30º
z3  2cos150º isen150º 
Calcule: z1/z2 e z1.z2.z3:
Resolução:
z1 6
 cos240º 30º   isen240º 30º 
z2 1
z1
 6cos210º  i sen210º .
z2
z1 z2 z3  6.1.2cos240º30º150º   isen240º30º150º 
z1z2 z3  12cos420ºisen420º 
z1z2 z3  12cos60ºisen60º .
POTENCIAÇÃO na forma trigonométrica
Primeira fórmula de De Moivre
Vamos primeiro lembrar que: POTENCIAÇÃO É UMA
MULTIPLICAÇÃO DE FATORES IGUAIS. Deste modo,
sendo dado um número z:
z  z cos  isen 
Para calcularmos zn fazemos:
z  z  z  z  z  z  z
n
z n  z cos  isen  z cos  isen  z cos  isen 
z  z cos         isen       
n
n
z  z cos n     isen n   
n
n
POTENCIAÇÃO na forma trigonométrica
Primeira fórmula de De Moivre
Conclusão: na potenciação de dois números z e w na
forma trigonométrica:
 O módulo da potência é A POTÊNCIA DO MÓDULO;
 O argumento da potência é O PRODUTO DO EXPOENTE
PELO ARGUMENTO.
Exemplo: Dado z = 2(cos30º + isen30º), obtenha a
forma trigonométrica de z3:
Resolução:
3
3
z  2 cos3.30ºisen3.30º 
z 3  8.(cos90ºisen90º )  8(0  i.1)  8i.
Exemplo: Calcule z5 onde z = 2 + 2i3.
Resolução:
| z | 4  4.3  4
1
3 
z  2  i 2 3  4 
i   4cos60º isen60º ,
2 2 
1
3

z  4 cos5  60º isen5  60º   1024  i
2 
2
5
5
z 5  512 512 3 i
Logo,
RADICIAÇÃO na forma trigonométrica
Segunda fórmula de Moivre
Vamos primeiro lembrar que: RADICIAÇÃO É A
OPERAÇÃO INVERSA DA POTENCIAÇÃO. Deste modo,
sendo dado um número z:
z  z cos  isen 
No cálculo das raízes n-ésimas de z, dizemos que:
O módulo de cada uma das raízes é A RAIZ DO MÓDULO;
O argumento de cada uma das raizes é O QUOCIENTE DO
ARGUMENTO, ESCRITO NA SUA FORMA GERAL, PELO
ÍNDICE DA RAIZ. Neste caso, devemos atribuir valores para
k a fim de obtermos valores particulares para as raízes.
RADICIAÇÃO na forma trigonométrica
Segunda fórmula de Moivre
    k  2 
   k  2  
z  wk  z  cos
  isen
 
n
n



 
Com k  0, 1, 2,, n  1
n
n
RADICIAÇÃO – explicando melhor
Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é
resolver a equação zon = z.
n
z  wk  wk  z
n
Se considerarmos: wk = |wk|(cos 0 + isen 0)
Então de:
wk n = z
Teremos:
|wk|n[cos(no) + isen (n0)] = |z|(cos + i sen)
Se os ângulos são dados em radianos,
wk
n
wk 
 z e n 0    k  2 , k  0, k  Z
n
z e 0 
  k  2
n
Portanto, existem exatamente n raízes distintas quando z  0,
a saber, encontradas por meio expressão:
wk = |wk|(cos 0 + isen 0)
n
z  wk 
n
    k  2 
   k  2  
z  cos
  sen
i 
n
n



 
Onde k = 0, 1, ...(n - 1)  Z.
Exemplo: Calcular as raízes cúbicas de 8.
Primeiro vamos escrever z = 8 na forma trigonométrica:
z  82  0 2  8
cos 
a 8
 1
z 8
sen 
b 0
 0
z 8
logo,   0 e
z  8 cos0  i sen0
Agora, vamos extrair as raízes cúbicas de z = 8, sabendo que:
|z| = 8, n=3,  = 0.
    k  2
z  cos
n
 
n
z  wk 
8
  0  k  2
8  wk  8  cos
3
 
n
3

   k  2
  sen
n



 0  k  2
  sen
3



i 


i 

Agora é só atribuir valores para k, com k = 0, 1 e 2
k  0  w0  3 8  cos0  sen0i  21  0  i   2
  2
k  1  w1  8  cos
  3
3

 2

sen



 3
 1
3 


i   1  3i
i   2  
2 

 2
 1
  4 
3 
 4  
k  2  w2  8  cos
i   1  3i
  sen
i   2  
2 
 3 
  3 
 2
3
Vamos representar as raízes cúbicas de z = 8 no plano de
Argand-Gauss.
w0  2  w0 2,0
 
3i  w 1, 3 
w1  1  3i  w1 1, 3
w2  1 
3
2
-1
2
-3
Observações:
1. Perceba que quando
representamos no plano de
Argand-Gauss as raízes nésimas de z, os afixos destas
3
raízes representarão pontos
da
circunferência
trigonométrica;
-1
2
2. Perceba ainda que basta
achar o argumento da 1ª raiz
-3
(para k = 0), as demais
posicionam-se a 360/n graus
uma da outra.
3. No exemplo que resolvemos o argumento da 1ª raiz é 0 ( =
0) e o argumento das demais é 120º e 240º, pois 360º/3 = 120º;
4. As raízes n-ésimas de z formarão no plano de Argand-Gauss
um polígono regular de n lados.
Exercícios Resolvidos
01. Sejam os complexos z1 = (2x + 1) + yi e z2 = -y + 2i
Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 - y) + (y +2)i = 0
logo, é preciso que:
2x + 1 - y = 0 e y + 2 = 0
Resolvendo, temos que:
y = -2 e x = -3/2
02. Determine x, de modo que z = (x + 2i).(1 + i) seja
imaginário puro.
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + xi + 2i + 2i2
z = x + (x + 2)i – 2
z = (x - 2) + (x + 2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que:
(x - 2) = 0
Logo: x
=2
03. Qual é o conjugado de z = (2 + i)/(7 - 3i)?
Efetuando a divisão, temos que:
2  i 7  3i
z

7  31 7  3i
14  6i  7i  3i 2
z
7 2  9i 2
14  13i  3
z
49  9
11 13i
z

58 58
O conjugado de Z seria, então:
11 3i
z

58 58
04. Os módulos de z1 = x + 20 i e z2 = (x - 2) + 6i
são iguais, qual o valor de x?
Então,
|z1| = x2 + 20 e |z2|= (x - 2)2 + 36
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = - 4x + 40
4x = 20
Logo: x
=5
05. Escreva na forma trigonométrica o complexo z
= (1 + i)/i.
2
1

i

i

i

i
Efetuando-se a divisão, temos: z 


 1 i
2
i i
i
Para a forma trigonométrica, temos que:
z  1   1  1  1  2
2
2
b 1 2
2
sen   


z
2
2 2
a
1
2
2
cos  


z
2
2 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que:  = 315º
Logo que a forma trigonométrica é dada por:
z  2  cos315ºisen315º 