Transcript Kontrakce délek - Gymnázium Havířov

FYZIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA
SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY
6. KONTRAKCE DÉLEK
Mgr. Monika Bouchalová
Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o.
III/2-2-2-06
Zpracováno 14. ledna 2013
Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo
CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“.
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
1
6. KONTRAKCE DÉLEK
Tyč leží v pohybující se
soustavě S´.
S
y
S´
y´
• pozorovatel v S vyznačí na
ose x okamžité polohy
koncových bodů tyče M a N
(současně)
• označení však není současné
pro pozorovatele v S´
• délka předmětů je také
relativní – vzhledem ke
vztažné soustavě
v
M´
O´
M
l0
l
N´
N
O
x´
x
• l0 – délka tyče
v klidové soustavě (skutečná)
• l – délka tyče
naměřená v soustavě S
6. KONTRAKCE DÉLEK
Měříme-li délku tyče
pomocí světla
S
y
S´
y´
v
(od jednoho konce vyšleme paprsek,
na druhém se odrazí od zrcadla
a letí zpět),
M´
měříme čas,
za který tuto vzdálenost uletí
a musíme počítat
s rychlostí pohybu tyče.
O´
M
l0
l
N´
N
O
x´
x
• l0 – délka tyče
v klidové soustavě (skutečná)
• l – délka tyče
naměřená v soustavě S
Odvození vztahu pro kontrakci
• v S´ je tyč vůči pozorovateli
v klidu
• světlo urazí vzdálenost
O´Z´O´ za čas:
2  l0
t´
c
• v S´ jsou vyslání paprsku
a jeho zpětný návrat
dvě soumístné události
oddělené intervalem t´
S´
y´
l0
O´
Z´
x≡x´
Odvození vztahu pro kontrakci
• v S pozorovatel na Zemi
uvidí, že tyč popojíždí
a světlo urazí vzdálenosti:
• k zrcátku
l
c  t1  v  t1  l  t1  c  v
y
S
O
S´
y´
v
vt1
l
O´
x≡x´
ct1
Odvození vztahu pro kontrakci
• v S pozorovatel na Zemi
uvidí, že tyč popojíždí
a světlo urazí vzdálenosti:
• k zrcátku
l
c  t1  v  t1  l  t1  c  v
• zpět na začátek tyče
c  t2  l  v  t2  t 2  l
cv
y
S
O
S´
y´
v
vt1
l
O´
x≡x´
ct1
S
y´
S´
vt2
O
O´
v
l
ct2
x≡x´
Odvození vztahu pro kontrakci
• v S pozorovatel na Zemi
uvidí, že tyč popojíždí
a světlo urazí vzdálenosti:
• k zrcátku
l
c  t1  v  t1  l  t1  c  v
• zpět na začátek tyče
c  t2  l  v  t2  t 2  l
cv
y
S
O
v
vt1
l
O´
S
y´
l
l

cv cv
2l c
t 2
c  v2
y´
x≡x´
ct1
• tam a zpátky
t  t1  t 2 
S´
S´
vt2
O
O´
v
l
ct2
x≡x´
Mezi t a t´ je dilatační vztah:
Kontrakce délek
Délka tyče l v soustavě,
vzhledem k níž se tyč
pohybuje rychlostí v,
je vždy menší, než délka
tyče l0 v soustavě klidové.
Rozměry tělesa kolmé
k vektoru rychlosti
se nezkracují.
2l c
t 2
c  v2
t
t´
1
2
v
c2
2  l0
t´
c
2.l0
2.l.c
c

c2  v2
v2
1 2
c
v 2 2.l0 2  v 2 
2.l.c 1  2 
c 1  2 
c
c
 c 
 v2 
v2
l 1  2  l0 1  2 
c
 c 
 v2 
 v2 
v2
l 1  2   l0 1  2 . 1  2
c
 c 
 c 
v2
0  1 2  1
c
l l 0
v2
l  l0 . 1  2
c
7.7 Osy dvou IVS jsou rovnoběžné. Soustava S′ se pohybuje vzhledem
k soustavě S rychlostí 0,6c ve směru osy x. V soustavě S´ je umístěna
tyč o délce 8,0 m. Jakou délku této tyče změří pozorovatel
v soustavě S′, je-li tyč
v2
a)l  l0 . 1  2  6,4m
a) rovnoběžná s osou x,
c
b) rovnoběžná s osou y?
b) l = l0 = 8,0 m; ve směru kolmém k ose x kontrakce délky nenastává.
2
2
2
v
v
l
7.8 Kosmická loď o délce 100 m letí l  l0 . 1    1 
2
2
2
c
c
l
0
kolem Země a jeví se pozorovateli
na Zemi zkrácena na 50 m.
Jak velkou rychlostí loď letí?
l2
v  c 1  2  0,866c  2,6 108 m s1
l0
7.9 Těleso tvaru krychle o hraně 4,5 m se
a )V0  a 3  91m 3
pohybuje vzhledem k Zemi rychlostí 0,8c
2
v
ve směru rovnoběžném s jednou hranou b)V  a 3 1  2  55m 3
c
krychle. Jaký je objem krychle
a) v její klidové soustavě, b) v soustavě spojené se Zemí?
0
0
Př. Jakou rychlostí se vzdaluje od Země raketa, je-li její délka pro
pozorovatele na Zemi třetinová?
v?
l0
l
3
v2
l  l0 . 1  2
c
l0
v2
 l0 1  2
3
c
1
v2
 1 2
9
c
vc
8
 0,94c  2,83108 m s1
9
Př. Obdélník má v pohybující se soustavě rozměry 1m x 0,6 m. Jakou
rychlostí se musí soustava pohybovat, aby se v klidové soustavě
zdálo, že je to čtverec?
l  0,6m
l0  1m
v?
v2
l  l0 . 1  2
c
l2
v  c 1 2
l0
0,62
v  c 1 2
1
v  2,4 108 ms1
Př. Jako rychlostí se musí pohybovat třímetrové auto, aby se „vešlo“
do dvoumetrové garáže? l  2m
4
l0  3m v  c 1
v  0,74c  2,22108 ms1
9
v?
Použitá literatura
Literatura:
BARTUŠKA, K.: Fyzika pro gymnázia – Speciální teorie relativity. Prometheus, Praha 2001
ISBN 978-80-7196-209-0
LEPIL, O. a kol.,: Fyzika – sbírka úloh pro střední školy. Prometheus, Praha 2010
ISBN 978-80-7196-266-3
TARÁBEK, P., ČERVINKOVÁ, P.: Odmaturuj z fyziky. Didaktis, Brno 2004 ISBN 80-86285-39-1
Obrázky: vlastní.