Transcript x 2
LINEARNO PROGRAMIRANJE OPTIMIZACIJA MAX/MIN Standardni problem maksimuma Linearna funkcija cilja z(x) Varijable odlučivanja (strukturne varijable) xj Linearna ograničenja (nejednačine oblika « ≤ » Uslov nenegativnosti MAKSIMIZACIJA Standardni problem minimuma • na neke varijable odlučivanja nema uslova nenegativnosti, tj. neke su neograničene Kako takav problem prevodimo na standardni problem maksimuma? Kanonski oblik problema LP ograničenja u obliku jednačna Da bismo ograničenja problema (P) preveli u jednačine, uvodimo dopunske (dodatne, slack) varijable, j=1,…,m, tako da vrijedi Problem linearnog programiranja • Grafičko rješenje Problem: Zadana je neka funkcija (tzv. funkcija cilja) kojoj treba odrediti maksimum, odnosno minimum na zadanom skupu. Skup je zadan nejednakostima (tzv. ograničenjima). Naša metoda je grafička Grafičko prikazivanje Uslov za grafičko prikazivanje problema linearnog programiranja je postojanje samo dvije strukturne varijable. Grafičko rješenje prikazujemo u koordinatnom sistemu. Da bismo nacrtali graf prvo moramo restrikcije svesti na kanonski oblik. - ako su restrikcije jednačine one su predstavljene pravcima, - ako su nejednačine tada one dijele područje na - područje dopuštenog rješenja i područje nedopuštenog rješenja. Nedopušteno područje je šrafirano. Osim restrikcija šrafiramo i ovisno o uslovima nenegativnosti za strukturne varijable. Šrafiranje ovisno o strukturnim varijablama - Šrafiranjem definišemo područje dopuštenog rješenja koje može biti zatvoreno, otvoreno (neograničeno rješenje) ili ga ne mora biti (nema rješenja). - U slučaju da nam se pojavi artificijelna varijabla dopušteno rješenje može biti samo dužina ili samo jedna tačka. Ako u restrikcijama imamo jednačine ili jednačine tada nam grafički prikaz rješenja može biti: 1. Dužina (od A do B) 2. Tačka (imamo dvije jednačine; samo presjek je jedino dopušteno i optimalno rješenje!) 3. Nema rješenja (imamo dvije jednačine čiji je presjek izvan područja dopuštenog rješenja, tj. u području nedopuštenog rješenja određenog nejednačinama!) Optimalno rješenje • Sve tačke dopuštenog rješenja dolaze u obzir kao rješenje. Naravno traži se optimalno rješenje koje je za maksimum maksimalni z, a za minimum minimalni z. Optimalno rješenje tražimo u rubnim tačkama dopuštenog rješenja. Optimalno rješenje pronalazimo pomoću dva jednakovrijedna načina: • A. Pristup funkcije cilja – za z uvrstimo neku konstantnu vrijednost npr. z=0, tj. izjednačimo funkciju cilja s nulom. Taj pravac predstavlja prag dobitka (profita). Obim proizvodnje pri kojem ćemo postići maksimalan dobitak pronalazimo tako da vučemo paralelu ovog pravca do najudaljenije tačke. • B. Pristup ekstremnih troškova – vrijednosti tačaka uvrštavamo u funkciju cilja te tražimo najveći (za max!), tj. najmanji (za min!) rezultat. Šta znači NENEGATIVNOST rješenja? gdje je tačka ( 30, rješenje sistema 40) presjek pravaca i , tj. Označeno je područje skup mogućih rješenja promatranog problema. je pravac i sadrži sve tačke x1 , x2 ) , tj. kombinacije količina proizvodnje za koje je profit jednak nuli. Optimalno je rješenje problema tačka (vektor) (30,40) u kojoj profit poprima svoju maksimalnu vrijednost ZAKLJUČAK Kako je tačka (30,40) presjek pravaca ograničenja rezanja i spajanja su u optimalnom rješenju zadovoljena s jednakošću. To znači da proizvodeći 30 jedinica proizvoda A i 40 jedinica proizvoda B, u potpunosti iskorištavamo kapacitete oba odjela, i odjela rezanja i odjela spajanja. Kažemo da su ta dva ograničenja aktivna. Ograničenja nenegativnosti x1 0 , x2 0, su zadovoljena sa strogom nejednakošću jer je pa su ta ograničenja neaktivna. (30,40), ona je optimalno rješenje. Linearno programiranje Za rješavanje problema se koriste 2 metode : 1. Grafička metoda: ograničena na 2 - dimenzionalne probleme) 2. Simplex metoda - za probleme koji su više od 2- dimenzionalnog problema (3,4,5...n varijabli) 25 Linearno programiranje • Funkcija cilja • Ograničenja – Linearne funkcije – Ograničenja znaka max/minf x1 , x2 ,...,xn : c1 x1 c2 x2 ... cn xn ai1 x1 ai2 x 2 ... ain x n bi , i=1,2,...m Xj ≥ 0, j=1,2,3..,n Maksimum i minimum se nalaze na granicama oblasti koju određuju data ograničenja tj. u oblasti dopustivih rješenja. U prostijim slučajevima kada je broj promjenljivih n = 2 ili n = 3 kao i kad je: n–m=2 gdje je: m - broj ograničenja, n - broj promjenljivih može se primjeniti geometrijska metoda TEOREMA: „Ako je oblast dopustivih rješenja zadatka linearnog programiranja ograničen, tada se maksimum ili minimum funkcije cilja dobija u jednoj ekstremnoj tačci na granici oblasti D. Skup dopustivih rješenja geometrijski predstavlja poliedar u prostoru, a funkcija cilja dostiže minimum odnosno maksimum u jednom tjemenu poliedra. Geometrijskom metodom maksimizirati funkciju z( x1 , x2 ) 24x1 19x2 pod ograničenjima: 5 x1 4.5 x 2 350 3 x1 8 x 2 480 2 x1 x 2 115 x1 50 x 2 55 x1 , x 2 0 (1) 5x1+4.5x2=350 x1=0 ; x2=77.78 (0, 77.78) x2=0 ; x2=70 (70, 0) (2) 3x1+8x2=48 x1=0 x2=60 (0, 60) x2=0 x2=160 (160, 0) (3) 2x1+x2=115 x1=0 x2=115 (0, 115) x2=0 x1=57.5 (57.5, 0) (4) x1=50 (50, 0) (5) x2=55 (0, 55) Kada smo nacrtali svih 5 pravaca tražimo njihove međusobne presjeka kojima dobijamo vrhove poligona: Z=24x1+19x2 ZA=24*0+19*55=1045 (1) 5x1+4.5x2=350 ZB=24*20+19*55=1525 /*2 ZC=24*41.875+19*31.25= (2) 2x1+x2=115 /*(- 1598.75 5) ZD=24*50+19*15=1485 ZE=24*50+19*0=1200 10x1+9x2=700 –10x1-5x2=-575 Optimalno rješenje je x1=41.875 i x2=31.25 pri 4x2=125 čemu je: x2=31.25 x1=41.875 Zmax=Z(41.875,31.25)=1598.75 Linearno programiranje - primjer Moguća rješenja samo za xi 0 max z = 4x1 + 3x2 Ograničenja 60 X2 D 50 x1 + x2 40 40 B 2x1 + x2 60 30 x1 0, x2 0 E 20 10 C A 30 40 X1 F 10 20 50 60 Linearnoprogramirje – primjer max z = 4x1 + 3x2 Ograničenja x 1 + x2 + s1 = 40 2x1 + x2 + s2 = 60 x1 0, x2 0, s1 0, s2 0 6 osnovnih rješenja dokaz Ugaone tačke x1 x2 s1 s2 z Komentar A 40 0 0 -20 160 nemoguće B 0 40 0 20 120 C 30 0 10 0 120 D 0 60 -20 0 180 nemoguće E 20 20 0 0 140 RJEŠENJE PROBLEMA F 0 0 40 60 0 Linearno programiranje – nerješiv problem • Preograničen problem max z = 4x1 + 3x2 2x1 + x2 D 50 Ograničenja x1 + x2 60 40 40 B 60 30 x1 20, x2 30 E 20 10 C A 30 40 F 10 20 50 60 GRAFIČKOM METODOM riješiti postavljeni problem: max (40X1 + 50X2) 10X1 + 10X2 ≤ 8000 10X1 + 30X2 ≤ 18000 20X1 + 10X2 ≤ 14000 X1, X2 ≥ 0 Prvi par tačaka: Drugi par tačaka: 10X1 + 10X2 = 8000 10X1 + 30X2 = 18000 X1 = 0 => X2 = 800 X1 = 0 => X2 = 600 X2 = 0 => X1 = 800 X2 = 0 => X1 = 1800 Treći par tačaka: 20X1 + 10X2 = 14000 X1 = 0 => X2 = 1400 X2 = 0 => X1 = 700 1600 X1 0 300 610 700 A B C D 1400 1200 X2 600 500 190 0 F (X1, X2) 30000 37000 33900 28000 H2 1000 rješenje je u tački B(300, 500) za jer se za nju traži maksimum: 800 F (X1, X2) = 40X1 + 50X2 600 400 200 0 100 300 500 700 800 900 1100 1300 1500 1700 1800 Primjer 1. (Proizvodnja) Neko preduzeće proizvodi dvije vrste proizvoda A i B, na dvije grupe strojeva, S1 i S2 . Dnevni kapaciteti i karakteristike strojeva dati su u tablici: Dobit je po jedinici proizvoda A 200 KM, a po jedinici proizvoda B, 150 KM. Sastavite linearni model dnevne proizvodnje koja će osigurati maksimalnu dobit. Dobit je po jedinici proizvoda A 200 KM, a po jedinici proizvoda B, 150 KM. Varijable odlučivanja: x1 količina proizvoda A x2 količina proizvoda B Primjer 2. (Proizvodnja) U jednom se pogonu proizvode dva proizvoda na tri grupe strojeva. Za promatrani vremenski period je potrebno donijeti odluku koja će se količina prvog i drugog proizvoda proizvesti u tom pogonu. Ograničenja su realizacije programa proizvodnje kapaciteti raspoloživih strojeva i mogućnost plasmana proizvoda na tržište. Tehnološki su uslovi proizvodnje dati tablicom: Analizom tržišta procijenjeno je da se u promatranom vremenskom periodu ne može prodati više od 3500 jedinica prvog proizvoda i 4000 jedinica drugog proizvoda. Cilj je donijeti odluku kojom će se ostvariti maksimalna dobit, ako je ona za prvi proizvod 15 KM, a za drugi 10 KM po jedinici proizvoda. . Sastavite linearni model proizvodnje za promatrani period. Primjer 3. (Proizvodnja) Neko preduzeće proizvodi dva artikla, A i B, na tri grupe strojeva S1, S2 i S3 . Podaci o iskorištenju kapaciteta dati su u tablici: Radno je vrijeme 8 sati dnevno. Dobit je po jedinici proizvoda A 15 KM, a po jedinici proizvoda B 20 KM. Sastavite linearni model dnevne proizvodnje koja će osigurati maksimalnu dobit. Varijable odlučivanja: x1 količina proizvoda A x2 količina proizvoda B 1/2 x1 + 1/3 x2 8 / * 6 1/3 x1 + 1/2 x2 8 / * 6 1/2 x1 + 1/2 x2 8 / * 2 Primjer 4 • Preduzeće treba da proizvodi dva proizvoda, A i B, na tri grupe mašina, M1 , M2 i M3. Normativ vremena izrade ovih proizvoda na grupama mašina, raspoloživi fond vremena mašina, kao i dobit po jedinici proizvoda daju se u slijedećoj tabeli : A x1 B x2 RFV sati M1 5 6 1.500 M2 9 2,8 1.800 M3 2 9,5 1.800 Dobit KM/kom. 30 50 • Potrebno je utvrditi optimalan plan proizvodnje pod uslovom da se postigne maksimalna dobit. • Funkcija kriterija F(x)=30x1+50x2 koju treba maksimizirati pod ograničenjima: A B 5x1 + 6 x2 1.500 x x 9x1 + 2,8x2 1.800 M 5 6 M 9 2,8 2x1 + 9,5x2 1.800 1 2 RFV sati 1 1.500 2 1.800 M3 2 9,5 Dobit KM/kom. 30 50 1.800 • U koordinatnom pravouglom sistemu OX1X2 predstavljamo nejednačine ograničenja kao jednačine. To će biti prave linije : • prava p1 5x1 + 6 x2 = 1.500 • prava p2 9x1 + 2,8x2 = 1.800 • prava p3 2x1 + 9,5x2 = 1.800 • Funkcija kriterija F(x) predstavlja snop beskonačno mnogo paralelnih pravih. Ako povlačimo prave paralelne sa pravom F(x) (funkcije kriterija) sve dalje od koordinatnog početka, povećavaće se i vrijednost funkcije kriterija, da bi u tački M, koja je najviše udaljena od koordinatnog početka, a leži na pravoj F(x), postigla svoju maksimalnu vrijednost. • Koordinate tačke M su x1 = 108 i x2 = 160 a vrijednost funkcije kriterija F(x) = 11.240 KM • Prema tome . plan proizvodnje sadrži : • Proizvod A • Proizvod B 108 jedinica 160 jedinica • A maksimalna dobit iznosi F(x) = 11.240 KM • Pošto su koordinate tačke M na presjeku pravih p1 i p2 ,tj. na presjeku (ne)jednačina ograničenja raspoloživog fonda vremena mašina M1 i M3, znači da je zadovoljen uslov jednakosti ova dva ograničenja te je raspoloživi fond vremena ovih mašina 100 % iskorišten. PRIMJERI ZA VJEŽBE POPIS SEMINARSKIH RADOVA Zadatak 1 • Neko preduzeće proizvodi 2 artikla A i B na strojevima S1 i S2. Na izradi jedinice artikla A stroj S1 utroši 5 sati a stroj S2 6 sati. Stroj S1 može raditi najviše 21 sat dnevno, a stroj S2 najviše 18 sati dnevno. Profit (dobitak) po jedinici prpozvoda A je 70KM, a po jedinici proizvoda B je 90 KM • Treba ispitati koliku količinu artikla A, a koju količinu artilča B treba preduzeće dnevno da proizvede da bi imalo maksimalni profit (maksimalnu dobit) Zadatak 2 Neko preduzeće ima na raspolaganju 3 vrste sirovina S1,S2,S3. Sirovina S1 ima 6 jedinica, sirovine S2 ima 10 jedinica, a sirovine S3 ima 15 jedinica. Od tih sirovina proizvode se 2 artikli A i B. Za izradu jedinice artikla A utroši se 1 jedinica sirovine S1, 2 jedinice sirovine S2 i 1 jedinica sirovine S3. Za izradu jedinice artikla B utroši se 1 jedinica sirovine S1, 1 jedinice sirovine S2 i 3 jedinica sirovine S3. Dohodak po jedinici artikla A iznosi 50KM, a po jedinici artikla B 40KM. Zadatak je da se ispita koliko jedinica artikla A, a koliko jedinica artikla B treba preduzeće da proizvede iz tih sirovina da bi imalo maksimalnu dobit Zadatak 3 • U benzinu odličnog kvaliteta treba da se dnevno nalaze 3 komponente K1,K2,K3 u iznosima ne manjim od 0.6kg komponente K1, 1 kg komponente K2 i 1.5 kg komponente K3. Te se komponente nalaze u 2 artikla A i B koji postoje na tržištu. • U 1 kg artikla A nalazi se 0.1 kg komponente K1, 0.2kg komponente K2, i 0.1 kg komponente K3. • U 1 kg artikla B nalazi se 0.1 kg komponente K1, 0.1kg komponente K2, i 0.3 kg komponente K3. Cijena 1kg artikla A je 0.5 KM, a 1kg artikla B je 0.4 KM. Koliko kg artikla A, a koliko kg artikla B treba tom odličnom benzinu dnevno dodavati da biproizvodnja bila što jeftinija, a benzin primio sve što mu je potrebno za odličan kvalitet. Zadatak 4 • U ulju odličnog kvaliteta treba da se dnevno nalaze 3 komponente K1,K2,K3 u iznosima ne manjim od 0.6kg komponente K1, 1 kg komponente K2 i 1.5 kg komponente K3. Te se komponente nalaze u 2 artikla A i B koji postoje na tržištu. • U 1 kg artikla A nalazi se 0.1 kg komponente K1, 0.2kg komponente K2, i 0.1 kg komponente K3. • U 1 kg artikla B nalazi se 0.1 kg komponente K1, 0.1kg komponente K2, i 0.3 kg komponente K3. Cijena 1kg artikla A je 0.8 KM, a 1kg artikla B je 0.3 KM. Koliko kg artikla A, a koliko kg artikla B treba tom odličnom ulju dnevno dodavati da biproizvodnja bila što jeftinija, a ulje primio sve što mu je potrebno za odličan kvalitet. Zadatak 5 • Neko preduzeće proizvodi 3 artikla A, B i C na strojevima S1 i S2. • Vrijeme što ga utroši svaki od strojeva na izradi jednice svakog artikla A, B i C, kapaciteti strojeva i profit po jedinici svakog od tih artikala prikazuje tablica: A B C Kapacitet stroja S1 4 1 2 10 sati S2 6 1 4 16 sati Profit po jedinici 5 3 7 Koju količinu artikala A,B, C treba preduzeće dnevno da proizvede da bi imalo maksimalnu dobit Zadatak 6 • Neko preduzeće proizvodi 3 artikla A, B i C na strojevima S1 i S2. • Vrijeme što ga utroši svaki od strojeva na izradi jednice svakog artikla A, B i C, kapaciteti strojeva i profit po jedinici svakog od tih artikala prikazuje tablica: A B C Kapacitet stroja S1 4 1 2 10 sati S2 6 1 4 16 sati Profit po jedinici 12 2 4 Koju količinu artikala A,B, C treba preduzeće dnevno da proizvede da bi imalo maksimalnu dobit Zadatak 6 • Neko preduzeće proizvodi 3 artikla A1, A2 i A3 na mašinama M1 i M2. • Vrijeme što ga utroši svaki od mašina na izradi jednice svakog artikla A1, A2 i A3, kapaciteti strojeva i profit po jedinici svakog od tih artikala prikazuje tablica: A1 A2 A3 Kapacitet stroja M1 4 1 2 10 sati M2 6 1 4 16 sati Profit po jedinici 8 1 4 Koju količinu artikala A,B, C treba preduzeće dnevno da proizvede da bi imalo maksimalnu dobit Zadatak 7 • Neko preduzeće proizvodi 3 artikla A1, A2 na mašinama M1, M2 i M3. • Vrijeme što ga utroši svaki od mašina na izradi jednice svakog artikla A1, A2 kapaciteti strojeva i profit po jedinici svakog od tih artikala prikazuje tablica: A1 A2 Kapacitet stroja M1 3 7 16 sati M2 M3 Profiz po jedinici 2 5 7 4 14 sati 19 sati 50 70 Koju količinu artikala A1 i A2 treba preduzeće dnevno da proizvede da bi imalo maksimalnu dobit