Transcript Pertemuan 2 – Probabilitas dan Nilai Harapan

Darmanto
Program Studi Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Brawijaya
Semester Gasal Thn. 2014/2015





Percobaan: suatu prosedur yang sedang dilaksanakan pada
kondisi tertentu, yang dapat diulang jumlah tertentu pada
kondisi yang sama dan hasilnya dapat diobservasi. Proses
yang menghasilkan data (mentah).

Ruang Sampel: himpunan semua hasil yang mungkin dari
suatu percobaan.

Kejadian: satu atau kumpulan beberapa atau semua titik
sampel dari ruang sampel.

Probabilitas: kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu
peristiwa (kejadian) tertentu.

Tiga pendekatan definisi probabilitas:
1. Pendekatan klasik
Rasio antara hasil banyaknya kejadian yang diamati dengan seluruh
kemungkinan hasil dari percobaan yang dilakukan.
P ( A) 
n( A)
n(S )
P(A) = Probabilitas kejadian A
n(A) = Banyak kemungkinan hasil kejadian A
n(S) = Banyak kemungkinan hasil dari suatu percobaan
2.
Pendekatan frekuensi relatif (empiris)
Proporsi waktu terjadinya suatu kejadian dalam jangka panjang, jika
kondisi stabil, atau frekuensi relatif dari seluruh kejadian dalam
sejumlah besar percobaan.
P ( X  x )  lim
f
,n  
n
P(X=x)
f
n
= probabilitas terjadinya kejadian X
= frekuensi terjadinya kejadian X
= banyaknya percobaan yang dilakukan
3.
Pendekatan subjektif
Tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada
fakta-fakta atau peristiwa masa lalu yang ada atau berupa terkaan
saja (intuisi).

Kejadian Saling Lepas (Mutually Exclusive)
o Dua kejadian atau lebih yang tidak dapat terjadi secara bersamaan.
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )

Kejadian Tidak Saling Lepas (Non-Mutually Exclusive)
o Dua kejadian atau lebih yang dapat terjadi pada saat bersamaan.
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )

Kejadian Saling Bebas (Independent)
o Dua atau lebih kejadian yang tidak saling mempengaruhi atau
dipengaruhi kejadian lainnya.
P ( A  B )  P ( A) P ( B )

Kejadian Tidak Saling Bebas (Dependent)
o Dua atau lebih kejadian yang saling mempengaruhi atau
dipengaruhi kejadian lainnya.
P ( A  B )  P ( A)P (B | A)

Kejadian Bersyarat
o Suatu kejadian yang akan terjadi dengan syarat kejadian lain telah
terjadi.
o Jika kejadian B bersyarat kejadian A, maka
P ( B | A) 
P(A  B)
P ( A)

Kejadian Komplementer
o Kejadian yang saling melengkapi.
o Jika kejadian A komplementer terhadap kejadian B, maka
P ( A)  P ( B )  1

Teorema 1:
o Bila p1, p2, p3, …, pn merupakan probabilitas terjadinya n kejadian
yang saling lepas, maka probabilitas salah satu dari kejadian
adalah
p1  p 2  p 3  ...  p n

Teorema 2:
o Bila p1, p2, p3, …, pn merupakan probabilitas terjadinya n kejadian
yang saling bebas, maka probabilitas salah satu dari kejadian
adalah
p1 p 2 p 3 ... p n

Teorema 3:
o Bila probabilitas terjadinya kejadian pertama p1, dan probabilitas
terjadinya kejadian kedua p2, maka probabilitas terjadinya kejadian
pertama dan kedua dalam urutan seperti itu adalah
p1 p 2

Contoh: Probabilitas Ali dan Badu hidup paling sedikit
setahun lagi, masing-masing 0,8 dan 0,9. Berapakah
probabilitas:
Keduanya hidup paling sedikit setahun lagi?
b. Paling sedikit seorang akan mati?
Solusi:
a. Kejadiannya saling bebas, peluang keduanya akan hidup paling
sedikit setahun lagi adalah (0,8)(0,9) = 0,72.
b. Paling sedikit seorang mati sama dengan salah seorang atau
keduanya mati, dan kedua kejadian ini saling lepas.
a.
P(Ali hidup) = 0,8 → P(Ali mati) = 0,2
P(Badu hidup) = 0,9 → P(Badu mati) = 0,1
P(Ali hidup, Badu mati)= (0,8)(0,1)
= 0,08
P(Ali mati, Badu hidup)= (0,2)(0,9)
= 0,18
P(keduanya mati)
= (0,1)(0,2)
= 0,02
P(paling sedikit satu mati)
= 0,28.

Contoh: Ali dan Badu melemparkan uang logam secara
bergantian dan yang mendapat muka terlebih dahulu dinyatakan
menang. Bila Ali mendapat giliran pertama, berapa probabilitas
Badu menang?
Solusi:
Badu menang jika pada giliran 1 Ali mendapat belakang dan Badi muka,
atau pada giliran pertama keduanya mendapat muka, dan pada giliran
kedua Ali masih mendapat belakang tapi Badu dapat muka, demikian
seterusnya, atau
Urutan
BM
BB, BM
BB, BB, BM
BB, BB, BB, BM
…
Probabilitas
(1/2)2
(1/2)4
(1/2)6
(1/2)8
…
Semua kejadian tersebut bersifat saling lepas sehingga diperoleh
probabilitas Badu menang adalah
2
4
6
8
1
 
2
2
1
1
1
1
1




...


 
 
 
 
2

2
2
2
2
1  3
1    

 2  


Contoh: Probabilitas seorang berumur 20 tahun dan seorang
lainnya berumur 40 tahun keduanya akan hidup 20 tahun lagi
adalah 0,6. Dari 50000 orang yang hidup pada umur 20 tahun,
3000 di antaranya mati sebelum usia 25 tahun. Hitunglah
probabilitas seseorang yang sekarang berumur 25 tahun akan
mati sebelum mencapai umur 60 tahun!
Solusi:
Misal, lx = jumlah orang yang tepat berusia x
Diketahui:
l20 = 50000
l25 = 50000 – 3000 = 47000 orang
Untuk menghitung probabilitas orang yang berumur 25 tahun akan mati
sebelum umur 60 tahun, maka diperlukan jumlah orang yang berumur 25
tahun (l25) dan jumlah orang yang berumur 25 tahun mati sebelum umur
60 tahun (l25 – l60) atau
l  l 60
P ( A )  25
l 25
Dimisalkan pula, npx = probabilitas orang berumur x tahun akan hidup
hingga x+n tahun.
Diketahui: 20p20.20p40 = 0,6 (probabilitas orang berumur 20 tahun
akan hidup 20 tahun lagi dan orang berumur 40 tahun akan hidup 20
tahun lagi).
Dapat pula dinyatakan dengan:
Probabilitas orang berumur 20 tahun akan hidup 20 tahun lagi
(mencapai 40 tahun) adalah 20p20 dan orang tersebut akan mencapai
umur 60 tahun jika dia mencapai umur 40 tahun adalah 40p20,
sehingga
20
p 20 . 20 p 40 
40
p 20  0, 6.
Diperoleh,
l 60  l 20 . 40 p 20  (50000)(0, 6)  30000.
Sehingga probabilitas orang berumur 25 tahun akan mati sebelum
mencapai umur 60 tahun adalah
P ( A) 
l 25  l 60
l 25

47000  30000
47000

17
47
.
1.
2.
Dari 100000 yang baru lahir pada waktu yang bersamaan,
85000 mencapai usia 20 tahun dan 40000 mencapai
umur 60 tahun. Berapa probabilitas seorang bayi yang
baru lahir mati sebelum umur 20 tahun? Berapa peluang
seorang berusia 20 tahun akan mati sebelum umur 60
tahun?
Probabilitas tepat satu dari tiga orang yang masing-masing
berusia 20, 35 dan 50 akan hidup 15 tahun lagi adalah
0,092; probabilitas akan mati dalam waktu 15 tahun
adalah 0,006. Jika probabilitas seseorang berumur 20
tahun akan mati sebelum umur 35 adalah 0,1; hitunglah
probabilitas bahwa orang itu akan hidup mencapai umur
65 tahun
3.
Probabilitas seseorang berumur 20 tahun akan hidup 20
tahun lagi adalah 0,9 dan peluang seseorang berumur 40
tahun akan hidup 10 tahun lagi adalah 0,8. Berapakah
probabilitas seseorang berumur 20 tahun akan hidup 30
tahun lagi? Berapa probabilitas seseorang berumur 20
tahun akan mati antara umur 40 dan 50?


1.
2.
3.
4.
Ali melempar sebuah uang logam sebanyak dua kali. Bila dalam dua lemparan
muncul angka maka Ali akan mendapatkan Rp. 10.000,- , bila dalam lemparan
pertama muncul angka dan lemparan kedua muncul gambar maka Ali akan
mendapatkan Rp. 5.000,- . Apabila muncul selain yang diatas, dia tidak
mendapatkan apa-apa. Hitung nilai harapannya !
Badu membuat suatu perjanjian dengan perusahaan asuransi sebagai berikut :
Bila dia tidak sakit sampai akhir tahun maka Badu akan membayar Rp. 10.000,pada perusahaan asuransi tersebut, namun apabila dia sakit maka perusahaan
asuransi akan membayarnya Rp. 1.000.000,- sebagai biaya pengobatan. Bila
diketahui peluang Badu sakit sampai akhir tahun adalah 0.001. Hitung nilai
harapannya !
Sebuah dadu dilemparkan. Bila muncul angka genap maka Ali akan mendapatkan
Rp. 10.000,- , bila angka enam yang muncul dia mendapatkan tambahan sejumlah
Rp 60.000,- . Berapakah Ali harus membayar bila angka ganjil yang muncul agar
judi tersebut adil !
Peluang seorang yang berusia 20 tahun dan seorang lainnya berusia 40 tahun
keduanya hidup 20 tahun lagi adalah 0.6. Dari 50.000 yang hidup pada usia 20
tahun, 3000 diantaranya meninggal sebelum 25 tahun. Hitung peluang seseorang
yang sekarang berusia 25 tahun akan meninggal sebelum mencapai usia 60
tahun.