Renato Assunção DCC, UFMG

Derivada numérica

 Lembre da definição de derivada  Como no caso da integral, a definição e’ uma operação de limite quando h  0  Uma estimativa simples e’ então tomar h ≈0 e usar a aproximação  Este e’ chamado o método das diferença sucessiva (forward difference method)

Precisão da diferença sucessiva

 Se f e’ diferenciavel duas vezes, podemos escrever sua expansao de Taylor de 2ª ordem:  Onde ε  (x, x+h)  Entao  Portanto, o erro de D h f e’

Exemplo

 Considere a função e calcule

f

' ( 2 )  Pelo método da diferença sucessiva:  Por outro lado, sabemos do calculo que f ’(x)=1/(1+x 2 ) e portanto

Um método mais preciso

 Considere as seguintes DUAS expansões de Taylor:  Isolando f ’ (x) encontramos:  Isto produz o método da diferença simétrica

Diferença simétrica

 Este método e’ uma media dos métodos de diferença sucessiva e diferença retroativa.

 Qual a precisão desta media?

 Como  e  O método da diferença simétrica tem um erro de aproximação igual a

Extrapolação de Richardson

 Extrapolação de Richardson pode ser usada para melhorar qualquer método numérico que tenha a ordem de grandeza de seu erro conhecida.  Podemos usa-la para melhorar:  Diferença sucessiva (O(h))  Diferença simétrica (O(h 2 ))  Nos podemos ser bastante específicos sobre o impacto da extrapolação de Richardson nestes dois casos.

 Se nos tivéssemos tomado a expansão completa de Taylor quando derivamos o método das diferenças simétricas teríamos:  ou  onde k 2 , k 4 , .. são constantes independentes de h.

 Agora podemos olhar a precisao da extrapolacao de Richardson para diferencas simetricas (p=2):   4/3 D h/2 – 1/3 D h Do slide anterior:  Multiplicando pelos fatores apropriados temos  Substituindo (2) em (1) temos  Assim, diferenças simétricas com extrapolação de Richardson tem erro O(h 4 )

Estimando a derivada segunda

 Vamos considerar de novo as duas expansões de Taylor:  Isolando f’’(x) encontramos  E assim temos a aproximação

Calculo diferencial e integral

 Newton e Leibniz inventaram o calculo diferencial e integral por volta de 1670.

 O objetivo era ter ferramentas matemáticas apropriadas para lidar com o movimento e mudanças no tempo.

 Entender, modelar e predizer o movimento dos corpos celestes era um dos maiores objetivos da ciência naqueles tempos.  Para os homens daquele tempo, compreender o movimento dos céus era ouvir a voz de Deus.

Calculo diferencial e integral

 Logo depois ocorre uma explosão cientifica revolucionaria: Os irmãos Bernoulli, Euler, Lagrange, Laplace, etc.  A ciência e engenharia modernas nascem, vicejam, crescem e criam o que temos hoje em dia.  Derivadas e integrais aparecem em todos os modelos científicos para descrever a natureza se um processo de mudança estiver envolvido no fenômeno estudado.

 A mais famosa lei da física, a 3ª lei de Newton, envolve uma segunda derivada: F = m * d 2 y(t)/dt 2

Um passo alem: Equações diferenciais

 Equação não linear usual:  achar os valores de t para os quais a igualdade f(t)=0 e’ válida  Equação diferencial ordinária: achar as funções y(t) para as quais a igualdade g(t, y(t), y’(t)) = 0 e’ válida PARA TODO t  Por exemplo: achar y(t) tal que seja válida a equação  y’(t)–3y(t) = 0 OU SEJA y’(t) = 3y(t).

 Isto e’, queremos achar as todas as funções y(t) tais que a sua função derivada y’(t) seja igual a 3 vezes a própria função y(t).

EDO de 1ª ordem

 Achar y(t) tal que y’(t) = 3y(t)  Geometricamente:  Desenhe o gráfico da função y(t)  Calcule a inclinação da reta tangente y’(t) em cada ponto t  A inclinação deve ser igual a 3 vezes o valor da função y(t)  Existe alguma função que satisfaz esta condição?

 Se existem, e’ possível encontra-las?

 Técnicas de solução ANALITICA de EDO: solução exata

EDO de 1ª ordem

 Achar y(t) tal que y’(t) = 3y(t)   Que tal y(t) = t 2 ??

Neste caso, y’(t) = 2 t  t 2 = y(t)   Que tal y(t) = cos(t) ?

Neste caso, y’(t) = -sen(t)  cos(t) = y(t)  OU ainda y(t) = log(t) ??

 y‘(t) = 1/t que não e’ a própria função y(t)=log(t)

EDO de 1ª ordem

 Achar y(t) tal que y’(t) = 3y(t)  Que tal y(t) = e 3t ??

 De fato, para esta função, temos y’(t) = 3 e 3t = 3 y(t)   e’ uma solução da equação diferencial.   Existe alguma outra função que também seja solução? Sim: todas as funções da forma y(t) = c e também e’ uma solução.

3t onde c  R  Existem outras? Não, estas são todas, não existem mais funções para as quais temos y’(t) = 3 y(t)  PARA TODO t

EDO 1ª ordem com valor inicial

 Achar y(t) tal que  y’(t) = 3y(t)  E ALEM DISSO, y(0) = 2  Agora, colocamos uma restrição adicional, uma condição sobre o valor inicial da função y(t).

 No tempo t=0, a função deve valer y(0)=2  Como todas as soluções de y’(t) = 3y(t) são da forma y(t) = c e 3t temos de encontrar alguma que satisfaça a condição inicial.

 2 = y(0) = c e 3*0 = c.1  y(t) = 2 e 3t

Notação: ordinária?

 Equações diferenciais: ok  Mas por que Equações diferenciais ORDINÁRIAS?  Existem Equações diferenciais EXTRAORDINÁRIAS?

 Não. O palavra “ordinária” e’ usada para diferenciar das equações diferenciais PARCIAIS.

 Parciais: equações que envolvem funções de mais de uma variável e suas derivadas parciais.  Exemplo: Equação de difusão do calor numa barra de densidade homogênea.  Seja u(t,x) a temperatura no ponto x no tempo t  Então onde c depende do material 

t



c

 

x

2

EDO de 1ª ordem

 Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem são equações envolvendo apenas a derivada y’(t) e a funcao y(t) e possivelmente outras funções FIXAS e conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)).  Por exemplo:  y’(t) = p(t) * y(t) + g(t)  Casos particulares:  y’(t) = 3 * y(t) + sin(t)  y’(t) = (3*t 2 + 2t -1) * y(t) + sin(t)

EDO de ordem n

 EDO ordem n são equações envolvendo :  As derivadas y n (t), y n-1 (t),..., y’(t)  a função y(t)  e possivelmente outras funções FIXAS e conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)).  Por exemplo, uma EDO de 2ª ordem:  y”(t) = sin(t) * y’(t) + y(t) + 3t  Qual a (ou as) FUNCAO y(t) tal que a sua FUNCAO derivada segunda y’’(t) obedece a equação acima?

 Mas isto e’ so’ um exercício de matemáticos sem ter o que fazer, certo?

Exemplos de EDOs famosas

 Decaimento radioativo: proporção carbono 14/carbono-12 presente na matéria orgânica viva é constante.

 No entanto, na matéria orgânica morta a quantidade de 14C diminui com o tempo, a uma taxa proporcional à quantidade existente.  Se designarmos essa quantidade por Q, teremos:  Q’(t) = -c Q(t) onde c > 0 e’ uma constante

Exemplos de EDOs famosas

 Corpo em queda livre com atrito devido a resistência do ar:  Mv’(t) = mg – k v(t) ou v’(t) + k/m v(t) – g = 0  Engenharia Química: balanço de massa ou volume ou energia num reator químico.  O volume de líquido num tanque e a concentração de uma solução A mudam com o tempo.  Entra e sai líquido a taxas constantes e diferentes.  Os líquidos possuem concentrações de A diferentes.  Descrever a concentração de A em cada instante : terminamos em uma EDOs

Exemplos de EDOs famosas

      Oscilador harmônico amortecido:  y’’(t) + a y’(t) + b y(t) = 0 Para descrever a física do átomo de hidrogênio:  Legendre: (1-t 2 )y’’(t) – 2 t y’(t) + k(k+1) y(t) = 0 Para descrever o comprimento de onda no átomo de hidrogênio:  Laguerre: t y’’(t) + (1-t) y’(t) + k y(t) = 0 Membranas vibratórias:  Bessel : t 2 y’’(t) + t y’(t) + (t 2 – k 2 ) y(t) = 0 Mecânica quântica:  Hermite: y’’(t) – 2 t y’(t) + 2 k y(t) = 0 Arco-íris  y’’(t) + t y(t) = 0

EDO linear de 1ª ordem

 Suponha que y’(t) = a(t) * y(t) + b(t)  Solução:  Com o fator integrante  Se y’(t) = - y 2 (t)  EDO NÃO-LINEAR.  Esta EDO particular pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis .

EDO de 1ª ordem

 Vamos considerar problemas do seguinte tipo:  Existe alguma solução? Quando ela e’ única?

 TEOREMA:

Métodos numéricos: Euler

 Nosso problema de EDO de 1ª ordem:  Euler e’ o método mais simples.

 Acha uma aproximação para a solução y(t) num intervalo [t 0 , t N ]   Divide o intervalo em N subintervalos de comprimentos iguais: t com h=(t N -t 0 )/N Se h e’ pequeno, temos 0 , t 1 , ..., t N onde t k =t 0 + k * h

Método de Euler

 Nosso problema de EDO de 1ª ordem:  t 0 , t 1 , ..., t N onde t k =t 0 + k * h com h=(t N -t 0 )/N  Se h e’ pequeno, temos  Algoritmo:  Temos uma aproximação y 0 , y 1 , y 2 , ..., y N para y(t)

Método de Euler – 1ª iteracao

y(t) y

' (

t

) 

f



t

,

y

(

t

)  ,

y



y

0 Slope 

f



t

0 ,

y

0 

(t 0 , y 0 ) y

1  

y

0

y

0  

f f



t

0 , 

t

0 ,

y

0 

t

1

y

0 

h



t

0  

y

(

t

0 

h

) 

y

(

t

1 )

t 0

Passo h

t 1

Valor de y(t 0 + h) Valor aproximado y 1

t

Interpretação gráfica: primeiro passo do método de Euler 29

Método de Euler – 2ª iteração

y(t)

Valor verdadeiro y(x 2 )

y

2 

y

1 

f



t

1 ,

y

1 

h

Note que y 2 valor em t 2 e’ o de uma reta que passa por (t 1 , y 1 ) e que tem inclinação f(t 1 ,y 1 ).

y 1 t 1 h

Tamanho do passo Segunda iteração do método de Euler

t 2 y 2

Valor aproximado

t

30

Método de Euler – 2ª iteração

NÃO ESTAMOS USANDO

y(t)

Valor verdadeiro y(t 2 ) y * 2 = y(t 1 ) + f(t 1 , y(t 1 ))h uma reta passando por y(t 1 ) e com inclinação f(t y(t 1 1 ,y(t ) 1 )) pois NOS NÃO TEMOS Na 1ª iteração obtivemos uma aproximação y 1 para y(t 1 )

y 1 t 1 h

Tamanho do passo

t 2 y 2

Valor aproximado

t y

2 

y

1 

f



t

1 ,

y

1 

h

31

Método de Euler – iteração i

y

Valor verdadeiro y(t i+1 )

y i

 1 

y i



f



t i

,

y i



h h



t i

 1 

t i y i+1

, Valor aproximado

y i h

Tamanho do passo

t i

Passo genérico do método de Euler

t i+1 t

32

Erros em Euler

         Assim, na n-ésima iteração, gostaríamos de aproximar y n+1 pelo valor em t n+1 = t n +h da reta tangente a y(t) no ponto (t n , y(t n )) Entretanto, NÃO TEMOS y(t n ) mas somente uma aproximação y n Assim, temos dois erros acumulando-se em cada iteração do método de Euler.

Existe um erro em aproximar y(t n ) por y n , a n-ésima iteração Além disso, gostaríamos de ter f(t n ,y(t n )) mas usamos f(t n ,y n )

Exemplo

Uma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920 o C ) e comeca a resfriar ‘a temperatura ambiente de 300K (ou 27 o C). Assumindo que o calor e’ dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura  (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO

d

   2 .

2067  10  12   4  81  10 8  ,

dt

  1200

K

Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o método de Euler.

Assuma um passo de tamanho h=240 segundos 34

Solução

Primeira iteração:  1

d



f dt



i

 1  1   2 .

2067  10  12   4  81  10 8         2 .

2067  10  12   4  81  10 8  

i

0   1200

f f

  

t t i

0 ,

f

 ,  

i

0 

h



h

0 , 1200 1200 1200       2 .

2067 4 .

5579  240  10  240  12  1200 4   81  10 8   240  106 .

09

K

e’ a temperatura aproximada em      1 

t



t

1 106 .

09 

K t

0 

h

 0  240  240 35

Solução - continuação

Iteração 2:

Para

i

 1 ,

t

1  240 ,  1  106 .

09  2      1 

f

106 .

09 106 .

09 106 .

09 

t

1    , 

f

 1  

h

240 , 106 .

09  240   2 .

2067 0 .

017595  10  240  12  106 .

09 4  110 .

32

K

 81  10 8   240  2 e’ a temperatura aproximada em    2  110 .

32

K t



t

2 

t

1 

h

 240  240  480 36

Solução – continuação

A solução exata da EDO e’ dada pela raiz da equação não-linear 0 .

92593 ln  (

t

)   (

t

)  300 300  1 .

8519 tan  1  0 .

00333  (

t

)    0 .

22067  10  3

t

 2 .

9282 A solução  (480) desta equação não-linear em t=480 segundos e’  ( 480 )  647 .

57

K

Bem diferente da aproximação:    2  110 .

32

K

37

Comparação das soluções exata e numérica

1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 Exact Solution h=240 100 200 300

Time, t(sec)

400 500 Euler 38

Efeito do tamanho do passo h

Temperatura aos 480 segundos como uma função do passo h

Step, h 480 240 120 60 30  (480) −987.81

110.32

546.77

614.97

632.77

E t 1635.4

537.26

100.80

32.607

14.806

|є t |% 252.54

82.964

15.566

5.0352

2.2864

 ( 480 )  647 .

57

K

(valor exato) 39

Comparação com resultado exato

1500 1000 500 0 -500 0 -1000 -1500 Exact solution 100 200

Tim e, t (sec)

h=120 h=240 300 h=480 400 500 Apenas h=480, 240 e 120 40

Efeito do tamanho do passo h em Euler

Valor exato 800 400 0 0 -400 -800 -1200 100 200 300

Step size, h (s)

400 500 41

Mais um exemplo

 Considere a EDO   Como x 0 =0 então x n =nh Iteração:  Usando h=0.1 e 0.001

 E comparando com a  solução exata  temos a tabela ao lado

Erros no método de Euler

Vimos que o método de Euler PODE ter erros grandes. Para entender a ordem de grandeza desses erros, vamos fazer a expansão de Taylor em torno de x i

y i

 1 

y i



dy dx x i

,

y i



x i

 1 

x i

  1 2 !

d

2

y dx

2

x i

,

y i



x i

 1 

x i

 2  1 3 !

d

3

y dx

3

x i

,

y i



x i

 1 

x i

 3  ...

Isto e’:

y i

 1 

y i



f

(

x i

,

y i

) 

x i

 1 

x i

  1 2 !

f

' (

x i

,

y i

) 

x i

 1 

x i

 2  1 3 !

f

' ' (

x i

,

y i

) 

x i

 1 

x i

 3  ...

Os dois primeiros termos da serie de Taylor e’ o método de Euler

y i

 1 

y i



f



x i

,

y i



h

O erro na aproximação e’ dado por

E t



f

 

x i

,

y i



h

2 2 !



f

 

x i

,

y i



h

3 3 !

 ...



E t



h

2 43

Runge - Kutta

 Euler fez a seguinte aproximação  Que tal usar uma aproximação melhor para a integral?

 Por exemplo, podemos usar a regra do trapézio:  Neste caso, teremos então a aproximação  E o algoritmo

Runge-Kutta

 Encontramos a equação de iteração:  Existe um problema no entanto: y n+1 aparece dos dois lados da equação acima. Não conseguimos isolar y n+1 .

 Uma possibilidade e’ substituir y n+1 NO LADO DIREITO por sua aproximação baseada em Euler: y n+1 = y n + f(t n ,y n )h  Este e’ o metodo de Runge-Kutta de 2ª ordem

Runge Kutta de 2ª ordem

 Equação de iteração:  ou simplesmente  onde  Assim, este e’ um método de Euler com inclinação (s 1 +s 2 )/2

Runge – Kutta de 2ª ordem

 E’ possível uma interpretação gráfica-geométrica deste método de Runge-Kutta. Temos  com  Isto corresponde ao seguinte esquema em dois passos:  Tome um passo preliminar de Euler com inclinação s 1 em t n :   Com isto, obtenha uma segunda inclinação s 2 em t n +h A atualização de Euler realmente dada usa a média das inclinações s 1 em t n e s 2 em t n +h

Exemplo

Uma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920 o C ) e comeca a resfriar ‘a temperatura ambiente de 300K (ou 27 o C). Assumindo que o calor e’ dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura  (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO

d

   2 .

2067  10  12   4  81  10 8  ,

dt

  1200

K

Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o método EULER MELHORADO (ou metodo classico de Runge-Kutta de segunda ordem) Assuma um passo de tamanho h=240 segundos

f d

   2 .

2067  10  12   4  81  10 8 

dt

  2 .

2067  10  12   4  81  10 8  

i

 1  

i

 1 2

s

1  1 2

s

2

h

48

Solução

Iteração 1:

i

 0 ,

t

0  0 ,  0   ( 0 )  1200

K s

1    

f f

 

t

0 , 

o

 0 , 1200   2 .

2067  10  12  1200 4  4 .

5579  81  10 8 

s

2    

f f f

 

t

0   0  240 ,

h

,  0 

s

1

h

240 , 1200 106 .

09     2 .

2067  10  12    106 .

09 4 .

5579 4  81  240   10 8   0 .

017595  1   0  1 2

s

1  1 2

s

2

h

 1200   1200  1   4 .

5579   2 2 .

2702   240  1 2  0 .

017595   655 .

16

K

240 49

Solução - continuação

Iteração 2:

i

 1 ,

t

1 

t

0 

h

 0  240  240 ,

s

1    

f f

 

t

1 ,  1  240 , 655 .

16   2 .

2067  10  12  655 .

16 4  0 .

38869  81  10 8   1  655 .

16

K s

2     

f f f

  

t

1 

h

,  1  240  240 , 480 , 561 .

87 

k

1

h

  655 .

16 2 .

2067  10  12  561 .

87  4    0 .

38869  240  81  10 8   0 .

20206  2   1  1 2

s

1  1 2

s

2

h

  655 .

16  655 .

16  1   0 .

38869   2 0 .

29538  240    584 .

27

K

1 2   0 .

20206  240 50

Solução - continuação

A solução exata da EDO e’ dada pela solução de uma equação não -linear: 0 .

92593 ln  (

t

)  (

t

)  300  300  1 .

8519 tan  1  0 .

0033333  (

t

)    0 .

22067  10  3

t

 2 .

9282 A solução para esta equação não-linear em t=480 segundos e’  ( 480 )  647 .

57

K

51

Comparação com resultado exatos

1200 Exact h=120 800 h=240 400 h=480 0 0 -400 100 200 300 400 500

Time, t(sec)

Euler melhorado (ponto médio) para diferentes valores de h 52

Efeito do tamanho do passo h

Temperatura em t=480 segundos como uma funcao do tamanho do passo h

Passo

h

480 240 120 60 30  (480) −393.87

584.27

651.35

649.91

648.21

Erro = E t 1041.4

63.304

−3.7762

−2.3406

−0.63219

|є t |% 160.82

9.7756

0.58313

0.36145

0.097625

 ( 480 )  647 .

57

K

(exact) 53

Efeito do tamanho do passo h

800 600 400 200 0 -200 0 -400 100 200 300

Step size, h

400 500 54

Um segundo método de Runge-Kutta

 O método de Runge-Kutta que acabamos de estudar começou aproximando uma integral pela regra do trapézio:  Podemos usar alguma outra regra: Simpson ou midpoint  Vamos usar midpoint:  Neste caso  Note que y(t+h/2) no lado direito não e’ conhecido. Vamos usar Euler de novo para este valor.

2º. Método de Runge - Kutta

 Temos a aproximação

y n

 1 

y n



t n n t

 

h f

(  ,

y

(  ))

d

 

y n



hf t n



h

2 ,

y

(

t n



h

/ 2 )  Usamos a aproximação de Euler para o termo y(t n +h/2):  y(t n +h/2) ≈y(t n )+h/2 * f(t n , y n )  Substituindo a iteração para y n+1 temos  Este método e’ conhecido como método de Euler modificado ou método do ponto médio

2º metodo de Runge-Kutta

 Também podemos ver este novo método de Runge Kutta como um processo em dois estágios.

 Escrevemos  como  onde

Resumo dos 2 métodos de R-K

 Primeiro: o método clássico de 2ª ordem de R-K (ou método de Euler melhorado)   y n+1 com = y n + h (s 1 +s 2 )/2  Segundo: Método de Euler modificado (método do ponto médio)   y n+1 com = y n + h s 2  O que eles tem em comum?

Comparando os dois R-K

 Os dois métodos usam dois estágios intermediários s 1 obter uma iteração.

e s 2 para  Os estágios correspondem a diferentes estimativas para a inclinação da solução.

 No método clássico de RK (Euler melhorado) nós damos um passo completo y n+1 inclinações s 1 em t n = y n e s 2 + h (s 1 +s em t n +h 2 )/2 tomando a media das  No método de Euler modificado (ponto médio), nós usamos s 1 em t n para dar um meio-passo ate t n +h/2. A seguir, calculamos s 2 , a estimativa da inclinação no ponto médio, e então tomamos o passo completo y n+1 = y n + h s 2

Exemplo

 Considere a EDO  Euler modificado: y n+1 =y n +hs 2   Temos s 1 =x 2 n + y 2 n e s 2 =(x n +h/2) 2 +(y n +s 1 /2) 2  Exemplo numérico na tabela ao lado  y(x i ) e’ o valor exato e y i e’ a  aproximação numérica

De volta ao exemplo basico

Uma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920 o C ) e comeca a resfriar ‘a temperatura ambiente de 300K (ou 27 o C). Assumindo que o calor e’ dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura  (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO

d

   2 .

2067  10  12   4  81  10 8  ,

dt

  1200

K

Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o método EULER MELHORADO (ou método clássico de Runge-Kutta de segunda ordem) e EULER MODIFICADO (ou ponto médio) Assuma um passo de tamanho h=240 segundos 61

Comparação de Euler e RK de 2a ordem

Passo

h

480 240 120 60 30 Euler −987.84

110.32

546.77

614.97

632.77

 (480) Euler Melhorado −393.87

584.27

651.35

649.91

648.21

Ponto Medio 1208.4

976.87

690.20

654.85

649.02

 ( 480 )  647 .

57

K

(exato) Ralston (ignore) 449.78

690.01

667.71

652.25

648.61

62

Comparação de Euler e RK de 2a ordem

Passo h 480 240 120 60 30 Euler 252.54

82.964

15.566

5.0352

2.2864

Euler Melhorado 160.82

9.7756

0.58313

0.36145

0.097625



t

% Ponto Médio 86.612

50.851

6.5823

1.1239

0.22353

 ( 480 )  647 .

57

K

(exato) Ralston (ignore) 30.544

6.5537

3.1092

0.72299

0.15940

63

Comparação de Euler e RK de 2a ordem

1200 1100 1000 900 800 700 Analytical 600 500 0 Euler 100 Ralston 200 300

Time, t (sec)

400 500 600 64

Para a prova

 Memorizar apenas:  Método de Euler e os dois métodos mais simples de Runge-Kutta:   Euler melhorado (RK clássico de 2ª ordem) Euler modificado (ponto médio)  Pode ignorar o resto dos slides

Runge-Kutta 2ª ordem geral

 Podemos imaginar varias outras maneiras alternativas de calcular s 1 e s 2 .

 O método geral de Runge-Kutta de 2ª ordem e’ da forma  onde  com (esta notação vem de uma teoria mais avançada ligada a métodos implícitos)  Clássico RK (Euler melhorado):  Euler modificado (ponto médio): γ 1 =0, γ 2 =1 e α 2 = β 21 =1/2

Tabela de Butcher

 E’ costume arranjar os coeficientes α i , β ij tabela chamada tabela de Butcher e γ i em uma  Onde α 2 = β 21  Para o método ser de segunda ordem e ter certas propriedades desejáveis impomos também as condições

 

Tabela de Butcher

RK Clássico (Euler melhorado) α 2 = β 21  RK : Euler modificado (ponto médio)  RK: Método de Heun Método de Ralston

0

α 2 =3/4

0 0

β 21 =3/4 0 Γ 1 =1/3 Γ 2 =2/3

Runge-Kutta de 4ª ordem

 E’ o mais famoso método de Runge-Kutta  com  E tabela de Butcher