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第十四章 需求量固定之模式
第一節
第二節
第三節
第四節
第五節
第六節
第七節
經濟批量(EOQ)
經濟生產量(EPQ)
定量、定期存貨系統之引進
折價批量模式
預期降、漲價之模式
多項物料之EOQ模式及有限條件之
EOQ模式
現值模式
• 一般製造業之生產型態可區分為兩類：訂貨生
產(manufacture for order)，存貨生產
(manufacture for stock)。
• 前者由於訂貨契約之關係，並無產量多寡之問
題，但前者物料之採購與後者物料採購及產品
製造，則需決定其每批次之最佳訂貨量與最佳
生產量，以使攸關物料之總成本降到最低，以
獲致最低總成本之每批次最佳經濟訂貨量
(economic order quantity; EOQ)與經濟生產量
(economic production quantity; EPQ)。
第一節
經濟批量(EOQ)
一、基本模式
• 經濟批量之基本假設如下：
– 市場之需求率(生產之消耗率)為一定值，且批量與
時間成線性遞減之變動
– 每次購買之數量可以擺放之空間，都不限制
– 每批次之整備(訂購)成本皆相同，不因購買量不同
而變動，每件物料之購製成本、儲存成本皆為定值
– 沒有數量折扣
– 物料之前置時間為零
– 不允許缺貨
– D：市場需求率(生產消耗率)，其單位為(件/時間)
，通常以(件/天)代表之
– Cs：每批次之整備(訂購)成本，其單位為(元/次)
– Ck：每件物料之購製成本，其單位為(元/件)
– C1：每件物料，每單位時間內之儲存成本，其單位
為(元/件‧時間)，通常以(元/件‧天)表
示之
– Q：每批次之購製數量，其單位為(件/次)，或為(件
/時間)
– Tq：每批次購製數量之消耗時間。亦即每批購製之
相隔時間
圖14-1 存貨水準隨時間之變化圖
• 如圖14-1所示，其每批次購製量為Q件，且於
Tq時間內消耗完畢，故Tq=Q/D
∵於Tq期間內之總成本為：
1
Cs  Ck Q  QC1Tq
2
∴每一單位時間之總成本為：
1

 1 
Cs  Ck Q  2 QC1Tq   T 
 q 
D
1
 Cs  Ck D  QC1
Q
2
上式之
D
Cs
Q
，意即將每批次之整備(訂購)成本平均分攤於
每一單位物料，其值為
Cs
，而每單位時間共消耗D件，所
Q
以每單位時間分攤之整備(訂購)成本為 D C。其每單位時間
s
Q
之儲存成本為 1 C1Q 。而CkD為其每單位時間之購製成本。
2
將每單位時間之總成本方程式對Q作微分，可
推演出Q之最佳值為：
2 DCs
Q 
C1


q
T 
( EOQ基本公式)
2Cs
DC1
每單位時間之最佳總成本為：
1
1
2 DCs C1  Ck D 
2DCS C1
2
2
 2 DCs C1  Ck D
例題１
• 設某產品之需求量為每月25單位，所需產
品均勻領出，整備(訂購)成本為15元，購製
成本每單位1元，儲存成本每單位每月0.3元。
假設不允許缺貨，則應每隔幾個月購製一
批及每批數量若干，方可使總成本為最小？
解：此處每月需求量D=25，
儲存成本 C1=0.3，
整備(訂購)成本Cs=15
在不允許缺貨的情況下
2 DCs
2  25 15
Q 

 50
C1
0.3


Q
50

Tq 

2
D 25
∴應每隔2個月購製一次，每次購製50單位。
二、允許短缺之經濟批量
圖14-2 允許短缺之存貨水準隨時間之變化圖
若有缺貨發生，則於 Tq 期間必有一 t1 期間，係為支付
其三角型(A)面積相對之儲存成本之損失；亦必有一
期間，係為支付其三角型(B)面積相對之短缺成本之
損失，如14-2所示。
Q
Tq 
D
S
t1 
D
(Q  S )
t 2  Tq  t1 
D
則於Tq 期間之總成本為:
[整備(訂購)成本]  [購置成本]  [儲存成本]  [短缺成本]
1
1
 Cs  Ck Q  C1St1  C2 (Q  S )t 2
2
2
C1S 2 C2 (Q  S ) 2
 C s  Ck Q 

2D
2D
每單位時間之總成本為：

C1S 2 C2 (Q  S ) 2   1 
T (Q, S )  Cs  Ck 

 
2D
2D

  Tq 
Cs D
C1S
C2 (Q  S )

 Ck D 

Q
2Q
2Q
2
2
對 Q , S 作偏微分，可推演出最 佳之 Q 與 S 值：
2DCs C1  C2
Q 
C1
C2
*
 C2  *
2DCs
C2
S 
Q 
C1 C1  C2
C1  C2 

2DCs
C2  *  C1  *
C1
*
*
Q  S  1
Q  
Q 
C2 C1  C2
 C1  C2 
C1  C2 
*
2Cs C1  C2
Q
T  
D
DC1
C2
*
*
q
其每單位時間之最佳總成本 :
C
2

 Ck D
T(Q , S ) 2DCsC1
C1  C2
*
*
三、允許損失銷售之經濟批量
圖14-3 允許損失銷售之存貨水準隨時間之變化圖
第二節
經濟生產量(EPQ)
一、基本模式
圖14-4 經濟生產模式存貨水準隨時間之變化圖
設 I 為生產期間 t1 結束時之庫存量
I = (P-D) t1
= (P-D) Q/P
則其每單位時間之總成本方程式：
1
1
T (Q)  (Cs  Ck Q  C1ITq )
Tq
2
D
1
PD
 Cs  Ck D  C1 (
)Q
Q
2
P
對Q作微分，可推演出最佳之Q值：
2 DCs
Q 
C1
P
PD
2 DCs
C1
PD
P

I 
且其最佳之生產時間：

Q
t1 
P
2 DCs

C1
1
P( P  D)
其最佳之生產相隔時間：

I
t2 
D
2Cs

DC1
而
PD
P

Q
Tq 
D
2Cs

DC1
P
PD
其每單位時間之最佳總成本：

T (Q )  2 DCs C1
PD
 Ck D
P
例題3
若D=20,000單位/年，即D=
(設一年有250個工作天)
=80 單位/天
10
Cs  20元 / 次
C1 
 0.04元 / 天
250
P  100 單位 / 天
Ck  50元 / 單位
則
2 DCs
Q 
C1

P
PD
2  80  20
100

0.04
100  80
 632(單位)

T (Q )  2 DCs C1
PD
 Ck D
P
 2  80  20  0.04
 4, 005(元 / 天)
100  80
 50  80
100
二、允許短缺之經濟生產量
圖14-5 允許短缺之經濟生產量存貨水準隨時間之變化圖
t 4 : 為生產期間，但仍屬缺貨期間。
t1 : 為生產期間，其庫存量係為正值。
t 2 : 為非生產期間，但庫存量係為正值。
t3 : 為非生產期間，其屬缺貨期間。
則其每單位時間之總成本方程式為：
D
(C1  C2 ) I12 C2 P  D
T (Q, I1 )  Cs C k D 

(
)Q  C2 I1
PD
Q
2
P
2Q
P
依前述模式之解法，將總成本方程式對Q與Tq 作微分，可
推演出最佳之Q與Tq 值：
Q 
*
P
C1  C2
PD
C2
2 DCs
C1
*
Q
Tq* 

D
2C s
DC1
P
C1  C2
PD
C2
其最佳之高庫存量I1* :
 C2  P  D  *

I  
Q 
 C1  C2  P 
*
1
2 DCs
C2
PD
C2
P
C1  C2
而其中之最佳t 4* , t1* , t 2* , t3* 值為 :
I 2*

t 
PD
2 DCS
C2
1
P( P  D)
C1
C1  C2
I1*

t 
PD
2 DCS
C1
1
P( P  D)
C2
C1  C2
*
4
*
1
*
I
t 2*  1 
D
2C S
DC1
*
2C S
I
t3*  2  DC2
D
PD
P
PD
P
C2
C1  C2
C1
C1  C2
其每單位時間之最佳總成本:
PD
C2
 Ck D
T (Q , I )  2DCsC1
P C1  C2
*
*
1
第三節 定量、定期存貨系統之引進
一、Q-system
• Q-system之兩大決策變數為批量與訂購點，因此吾
人必須計算批量與訂購點之數量。
• 在本章，我們只考慮需求量固定，前置時間也固定的
情況。因此其公式如下：
RP=D×LT
RP：表示訂購點
D ：表示單位時間之需求量
LT：表示前置時間之長短(與D之單位時間相同)
例題7
• 某項物料每月之需求為固定120單位，前置
時間為45天，儲存成本每塊錢每天0.001元，
購製成本每單位40元，整備(訂購)成本每次
2,000元，若該項物料不允許短缺。試以定
量訂貨控制系統處理此問題。
解：1.批量之求法如下：
以平均需求量之基準來求出批量
Q


2 DCs
C1
120
2
 2, 000
30

40  0.001
 632(單位 )
註：時間單位全部為「天」，故 D  120；C1 為每單位每天多少元，故
30
依資料 C  40  0.001  0.04
1
2.訂購點之求法如下：
依上述之資料得
120
RP  D  LT 
 45  180(單位)
30
因此，當該項物料庫存降至180單位時，便必
須發出訂單訂購632單位。
例題8
• 同例題7，若允許短缺，缺貨成本每單位每
天0.02元則
解：1.批量之計算如下：
2 DCs
Q 
C1

C1  C2
C2
120
 2, 000
0.04  0.02
30


40  0.001
0.02
 1, 095(單位)
2
 C2  
S 
Q
 C1  C2 
0.02

1, 095  365(單位)
0.04  0.02

2.訂購點之計算如下：
RP  D  LT  (Q  S  )  180  730  550(單位)
即當缺貨至550單位時訂購1,095單位
二、P-system
• 定期存貨控制系統之兩大決策變數為訂購週期
與最高庫存量
• 依此系統特性得知，最高庫存量是為應付訂購週期與
輸補期間之消耗，故其公式僅是將前述公式中之前置
時間變成訂購週期+前置時間，本節仍只考慮需求固
定，前置時間固定的情況
其公式如下：
M * = D  (Tq* + LT )
*
M ：表示最高庫存量
Tq* ：表示最佳訂購週期(一般均採用EOQ模式)
例題9
• 同例題7，採用定期存貨控制系統處理(不允
許短缺)
2Cs
2  2, 000
T 

 158(天)
120
C1 D
0.04 
30
120

M 
 (45  158)  812(單位)
30

q
即每隔158天訂購一次，訂購至812單位
例題10
• 同例題7，允許短缺，缺貨成本每單位每天
0.02元。
2Cs C1  C2
T 
C1 D
C2

q
2  2, 000
0.04  0.02

120
0.02
0.04 
30
 274(天)

120
M 
(45  274)  (Q  S  )  1, 276  730  546
30

即每隔247天訂購一次，每次訂購至546單位
第四節
一、整批折價
(一)折價為一段時
(二)折價為n-1段時
二、分段折價
(一)為兩段折價時
(二)為n段折價時
折價批量模式
第五節
預期降、漲價之模式
一、短期降價之批量決策
二、已知漲價點的批量決策
第六節
多項物料之EOQ模式 及
有限條件之EOQ模式
一、無限制條件之EOQ模式
二、受庫房容積限制條件之EOQ模式
三、製造準備時間限制條件之EOQ模式
第七節
現值模式
• 現值觀念如下:假設投資金額以連續複利計算，其利
率為α；因此經過時間t後，其本利和為 et 元；反之，
t
若在時間t投資1元，則其在時間0現值應為
元。
e
更進一步分析，若在時間
其投資金額為
t
i
n
元，
fi
i=1,2,…,n，則其在時間0之總現值應為  e t f i 元；
i 1
若在區間[0,b]已連續函數f(t)投資，則其在時間0之總
現值應為

b
0
e t f (元。
t )dt