Transcript מצגת של PowerPoint

‫מחלקות זמן הסתברותיות‬
Probabilistic Time Classes
‫‪ - BPP‬הגדרות‬
‫• ‪( BPP‬תזכורת)‪:‬‬
‫– שפות ‪ L‬שקיימים עבורן‪:‬‬
‫• מכונה דטרמיניסטית שרצה בזמן פולינומי ‪M‬‬
‫• ופולינום )‪p(n‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫• אם ‪ x‬שייך ל‪ L-‬אז ‪Prr[M(x,r) = Accept] ≥ 2/3‬‬
‫• אם ‪ x‬לא שייך ל‪ L-‬אז ‪Prr[M(x,r) = Accept] < 1/3‬‬
‫• עבור ])|‪r~Uni[{0,1}p(|x‬‬
‫‪ - BPP‬הגדרות‬
‫• נרצה להרחיב את ההגדרה‪:‬‬
‫– לכל ]‪ p1<p2 ϵ [0,1‬נגדיר )‪:BPP(p1,p2‬‬
‫• אם ‪ x‬שייך ל‪ L-‬אז ‪Prr[M(x,r) = Accept] ≥ p2‬‬
‫• אם ‪ x‬לא שייך ל‪ L-‬אז ‪Prr[M(x,r) = Accept] < p1‬‬
‫• עבור ])|‪r~Uni[{0,1}p(|x‬‬
‫נתעניין גם במחלקות עם טעות חד‪-‬צדדית‪:‬‬
‫)‪RP=BPP(0,1/2), coRP=BPP(1/2,1‬‬
‫‪RP ⊆ NP‬‬
‫• טענה‪RP ⊆ NP :‬‬
‫• הוכחה‪ :‬תהי ‪ ML ,L∈RP‬מכונת‪ RP-‬שמקבלת את ‪.L‬‬
‫צ"ל מכונת‪-‬מוודא ‪ M’L‬שמקבלת את ‪.L‬‬
‫‪ M’L‬תריץ את ‪ ML‬עם העד במקום הסרט הרנדומי‪:‬‬
‫אם ‪ x‬שייך ל‪ M’L ,L-‬תקבל עבור לפחות ½ מהעדים האפשריים‬
‫(בפרט‪ ,‬תקבל עבור לפחות עד אחד)‪.‬‬
‫אם ‪ x‬לא שייך ל‪ M’L ,L-‬לא תקבל עבור אף עד‪.‬‬
‫גודל = ‪n‬‬
‫הקלט‬
‫•‬
‫•‬
‫)‪BPP = BPP(2-n,1-2-n‬‬
‫טענה‪BPP = BPP(2-n,1-2-n) :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫– ‪ – BPP(2-n,1-2-n) ⊆ BPP‬טריוויאלי‬
‫– )‪:BPP ⊆ BPP(2-n,1-2-n‬‬
‫• תהי ‪ ML ,L∈BPP‬מכונת‪ BPP-‬שמקבלת את ‪.L‬‬
‫צ"ל מכונת‪ M’L BPP(2-n,1-2-n)-‬שמקבלת את ‪.L‬‬
‫‪ M’L‬תריץ את ‪" ML‬הרבה" פעמים ותקבל אמ"ם ‪ ML‬קיבלה ביותר‬
‫מ‪ ½ -‬מההרצות‪.‬‬
‫אם ‪ x‬שייך ל‪ M’L ,L-‬תקבל בהסתברות לפחות |‪1-2-|x‬‬
‫אם ‪ x‬לא שייך ל‪ M’L ,L-‬תדחה בהסתברות לפחות |‪1-2-|x‬‬
‫(ז"א ‪ M’L -‬תקבל בהסתברות לכל היותר |‪)2-|x‬‬
‫)‪BPP = BPP(2-n,1-2-n‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪ M’L‬תריץ את ‪" ML‬הרבה" פעמים ותקבל אמ"ם ‪ ML‬קיבלה ביותר מ‪½ -‬‬
‫מההרצות‪.‬‬
‫‪ ...‬כמה הרבה?‬
‫אנחנו רוצים‪:‬‬
‫אם ‪ x‬לא שייך ל‪ L-‬אז‪Pr[# accepts > ½k] ≤ 2-|x| :‬‬
‫(‪ k‬הוא מספר ההרצות)‬
‫•‬
‫תזכורת – חסם צ'רנוף‪:‬‬
‫•‬
‫במקרה שלנו‪:‬‬
‫– ‪ Xi = 1‬אמ"ם ‪ ML‬מקבלת את הקלט ‪ x‬בהרצה ה‪-i-‬ית‬
‫– אם ההרצות בלתי תלויות אז גם ה‪ Xi-‬יהיו בלתי תלויים‬
‫– אם ‪ x‬לא שייך ל‪ ,L-‬במקרה הגרוע‪ ,E[Xi] = 1/3 :‬ולכן ‪E[∑Xi] = (1/3)k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  X i ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Pr X i  (1   )  E  X i    ‬‬
‫‪(1 ) ‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪ i‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ i‬‬
‫בגלל שהראנו רדוקציה בין מחלקות עם טעות‬
‫סימטרית‪ ,‬הכוון ההפוך (ז"א אם ‪ x‬שייך ל‪)L-‬‬
‫נובע משיקולי סימטריה‬
‫)‪BPP = BPP(2-n,1-2-n‬‬
‫•‬
‫•‬
‫צ"ל‪ :‬אם ‪ x‬לא שייך ל‪ L-‬אז‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫חסם צ'רנוף‪:‬‬
‫‪E  X ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫•‬
‫במקרה שלנו‪:‬‬
‫– אם ‪ x‬לא שייך ל‪ ,L-‬במקרה הגרוע‪ ,E[Xi] = 1/3 :‬ולכן ‪E[∑Xi] = (1/3)k‬‬
‫– ז"א‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫|‪Pr[# accepts > ½k] ≤ 2-|x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Pr X i  (1   )  E  X i    ‬‬
‫‪(1 ) ‬‬
‫‪ i‬‬
‫) ‪   (1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪?SAT∈BPP‬‬
‫•‬
‫•‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ SAT ∈ BPP‬אז ‪NP = RP‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫– תהי ‪ M‬מ"ט‪ BPP(2-n,1-2-n)-‬שמקבלת את ‪SAT‬‬
‫– צ"ל ’‪ M‬מ"ט‪ RP-‬שמקבלת את ‪:SAT‬‬
‫• ’‪ M‬תחשב השמה ע"י מעבר בלולאה על כל המשתנים ‪ xi‬בנוסחה ‪:ϕ‬‬
‫– ’‪ M‬תנסה להציב ‪ True‬ב‪ xi-‬ותבדוק בעזרת ‪ M‬האם עדיין‬
‫קיימת השמה מספקת ל‪ϕ -‬‬
‫– אם ‪ M‬דחתה‪ M’ ,‬תציב ‪ False‬ב‪xi-‬‬
‫• ’‪ M‬תציב את ההשמה ב‪ ϕ-‬ותקבל אמ"ם ההשמה מספקת‪.‬‬
‫‪?SAT∈BPP‬‬
‫•‬
‫•‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ SAT ∈ BPP‬אז ‪NP = RP‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫– תהי ‪ M‬מ"ט‪ BPP(2-n,1-2-n)-‬שמקבלת את ‪SAT‬‬
‫– צ"ל ’‪ M‬מ"ט‪ RP-‬שמקבלת את ‪SAT‬‬
‫•‬
‫נכונות‪:‬‬
‫– נאותות ‪ -‬אם לא קיימת השמה מספקת ל‪ ,ϕ -‬אזי בפרט ההשמה‬
‫שתתקבל בסוף הריצה לא תספק את ‪ ,ϕ‬ולכן ’‪ M‬תמיד תדחה‪.‬‬
‫– שלמות ‪ -‬אם קיימת השמה מספקת ל‪ ,ϕ-‬אזי בכל איטרציה ’‪ M‬תבחר‬
‫בהסתברות |‪ 1-2-|x‬השמה ל‪ xi-‬שמספקת את ‪.ϕ‬‬
‫חסם איחוד ‪-‬‬
‫סה"כ נקבל השמה לכל המשתנים שמספקת את ‪ ϕ‬בהסתברות של‬
‫לפחות‪:‬‬
‫½ > |‪1-|x|2-|x‬‬
‫)‪?SAT∈BPP(½-2-2n, ½+2-2n‬‬
‫•‬
‫•‬
‫טענה‪SAT∈BPP(½-2-2n, ½+2-2n) :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫– צ"ל ‪ M‬מ"ט‪ BPP(½-2-2n, ½+2-2n)-‬שמקבלת את ‪:SAT‬‬
‫• בהסתברות ‪ p=½-2-2n‬תקבל מיד‬
‫• בהסתברות ‪ 1-p=½+2-2n‬תגריל השמה לנוסחה ותקבל אמ"ם‬
‫ההשמה מספקת‬
‫)‪?SAT∈BPP(½-2-2n, ½+2-2n‬‬
‫•‬
‫צ"ל ‪ M‬מ"ט‪ BPP(½-2-2n, ½+2-2n)-‬שמקבלת את ‪:SAT‬‬
‫– בהסתברות ‪ p=½-2-2n‬תקבל מיד‬
‫– בהסתברות ‪ 1-p=½+2-2n‬תגריל השמה לכל המשתנים ותקבל אמ"ם‬
‫ההשמה מספקת את ‪ϕ‬‬
‫•‬
‫נכונות‪:‬‬
‫– נאותות – אם לא קיימת השמה מספקת‪ ,‬אז ‪ M‬תקבל רק במקרה‬
‫הראשון – בהסתברות ‪p=½-2-2n‬‬
‫– שלמות – אם קיימת השמה מספקת‪ M ,‬תגריל אותה בהסתברות‬
‫לפחות ‪2-n‬‬
‫ולכן ההסתברות ש‪ M-‬תקבל היא‪:‬‬
‫‪p+(1-p()Pr[satisfyng assignment]( ≥ ½-2-2n + 2-n-1‬‬
‫‪> ½+2-2n‬‬