Transcript Аффинные преобразования.

Аффинные
преобразования.
Проект Унжиной
Анастасии.
10 класс.
Методологический паспорт.







Тема: Аффинные преобразования плоскости.
Проблема: Изучение понятия аффинных
преобразований плоскости, их свойств, особенностей
и применения на практике.
Актуальность: Углубление знаний по теме позволило
с большей легкостью решать планиметрические
задачи, задачи на соотношения отрезков.
Объект исследования: Аффинные преобразования
фигур на плоскости, параллельное проектирование,
неподвижные точки аффинных преобразований.
Цель: Углубление знаний по теме, решение задач.
Задачи: Изучение теоретического материала,
исследование свойств различных видов аффинных
преобразований, решение задач.
Методы исследования: Теоретический и
практический.
Определение аффинных
преобразований.

Аффинным называется преобразование
плоскости, переводящее каждую прямую в
прямую и параллельные прямые а
параллельные.
Свойства аффинных преобразований.

1) аффинные преобразования
сохраняют линейные
отношения между векторами.

2) Аффинные преобразования
сохраняют отношения
коллинеарных отрезков. В
частности, середины отрезков
переходят в середины отрезков,
а медианы треугольников,
соответственно, в медианы
образов этих треугольников.


3) При аффинных
преобразованиях отрезки
переходят в отрезки,
треугольники – в треугольники,
тетраэдры – в тетраэдры.

4) Композиция аффинных
преобразований плоскости
является аффинным
преобразованием плоскости.
Теорема о задании аффинных преобразований.

Для любых данных треугольников АВС и А’В’С’
существует единственное аффинное
преобразование, переводящее А в А’, В в В’, С в С’.
Доказательство: На прямой АС
отметим все точки, расстояние от
которых до точки С кратно длине
отрезка АС, и проведем через них
прямые, параллельные ВС.
Аналогично с ВС, A’C’ и B’C’.
Докажем, что вершины параллелограммов построенных
по треугольнику ABC переходят в вершины
параллелограммов, построенных аналогичным образом
по треугольнику А’В’С’.

Вершина D параллелограмма
АСВD перейдет в вершину D’
параллелограмма А’ В’ С’ D’, так
как прямые AD и BD,
параллельные прямым ВС и АС,
перейдут в прямые A’D’ и B’D’,
параллельные прямым В’С’ и
A’D’.
Центры всех параллелограммов первой решетки
переходят в центры соответствующих
параллелограммов второй решетки.

Произвольная точка М
определяет
последовательность
вложенных
параллелограммов с
уменьшающимися
сторонами. Этой
последовательности
соответствует
аналогичная, (точка
М’). Образ любой
точки определяется
однозначно.
Неподвижные точки основная характеристика аффинного
преобразования. Возможны варианты:
 1) Нет неподвижных точек.
(Параллельный перенос)

2) Одна неподвижная точка.
(Центральная симметрия)


3) Если аффинное преобразование имеет две
неподвижные точки А и В, то любая точка прямой АВ
является неподвижной точкой этого преобразования.



Возьмем С (С  АВ), и
покажем, что φ (С) = С.
 (А) = А и  (В) = В,
следовательно  (АВ) =
(АВ).
Поэтому  (С)  (АВ).
Далее, согласно
свойству аффинных
преобразований, (А, В,
С) = ( (А),  (В),  (С)),
т.е. (А, В, С) = (А, В, 
(С)). Отсюда следует,
что  (С) = С.
Метод аффинных
преобразований.
Использование
преобразований для
решения задач.
Задача №1.

Доказать, что
середины
оснований
трапеции, точка
пересечения ее
диагоналей и точка
пересечения ее
боковых сторон,
лежат на одной
прямой.
Решение.

Переведем треугольник AKD в равнобедренный
треугольник AK'D (например, сдвигом вдоль
прямых параллельных AD). Для
равнобедренной трапеции AB'C'D утверждение
задачи почти очевидно, а значит, оно
справедливо и для исходной трапеции ABCD
Задача №2.

На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD
взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти
стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d —
прямые, проходящие через B, C, D параллельно
прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что
прямые b, c, d проходят через одну точку.
Решение.


Переведем
параллелограмм
ABCD в квадрат со
стороной ВС.
Треугольник KLM
стал равнобедренным
прямоугольным.
Проведем b||KL,
d||LM.

P точка пересечения
прямых b и d. Нам
достаточно доказать,
что прямая PC
параллельна MK.

Угол между прямыми
CP и b равен 45°, но
угол между прямыми
MK и KL тоже равен
45°, и b параллельна
KL, следовательно, CP
параллельна MK.
Задача №3.

В трапеции ABCD с
основаниями AD и
BC через точку B
проведена прямая,
параллельная
стороне CD и
пересекающая
диагональ AC в
точке P, а через
точку C — прямая,
параллельная
стороне AB и
пересекающая
диагональ BD в
точке Q. Докажите,
что прямая PQ
параллельна
основаниям
трапеции.
Решение.

Рассмотрим аффинное преобразование,
переводящее ABCD в равнобедренную.
Тогда
при
симметрии
относительно
серединного
перпендикуляра
к AD точка P
переходит в
точку Q, т. е.
прямые PQ и AD
параллельны.
Параллельное проектирование.

Пусть М –
произвольная точка
пространства. Через
эту точку проведем
прямую ,
параллельную l. Точка
Р пересечения прямой
 с плоскостью 
называется
параллельной
проекцией точка М на
плоскость  в
направлении прямой l.
Если М – точка
плоскости , то Р
совпадает с М.
Параллельное проектирование – вид
аффинного преобразования.

Проекция прямой есть прямая. Все прямые,
проектирующие точки данной прямой m’, принадлежат
некоторой проектирующей плоскости, которая
пересекает плоскость проекции по некоторой прямой m
– параллельной проекции прямой m’.
Задача №4.
На диагоналях АС и ВА боковых граней
параллелепипеда АВСDABCD выбраны
точки M и N, так, что отрезок MN параллелен
диагонали параллелепипеда DB. Найти
соотношение MN к DB.
Решение.

Преобразуем
параллелепипед в куб с
помощью аффинного
преобразования.

Посмотрим на этот куб
вдоль диагонали ВС,
спроектировав нужные
нам точки в плоскость
DCBA.

Из теоремы Фалеса
следует, что образ
отрезка MN будет
равен одной трети
образа диагонали DB,
т.е. MN : DB = 1 : 3.
Задача № 5.

В пирамиде АВСD
точки M, F и K –
середины ребер
ВС, AD и CD
соответственно.
На прямых АМ и
CF соответственно
взяты точки Р и Q
так, что PQBK.
Найдите
соотношение PQ :
BK.
Решение.
В качестве плоскости
проектирования
выберем основание
пирамиды АВС, а в
качестве прямой – FC.
Образом отрезка FK
будет отрезок
CK’ = FK = 0.5 AC.
Образом отрезка PQ
будет отрезок PC.
(PCBK’)
Следовательно,
искомое
соотношение между
отрезками PQ и BK
равно 2 : 5.
Выводы:

Выполнение исследований
позволило доказать, что
аффинные преобразования на
плоскости и в пространстве
помогают решать задачи,
актуальные в реальной жизни и
на экзамене – на параллельность,
соотношения отрезков,
построение образов фигур и т.д.
Библиография:








1) А.Д. Александров и др. «Геометрия». Академический
школьный учебник 11. Москва 2006
2) Д.В. Беклемишев. «Курс аналитической геометрии и
линейной алгебры». Москва 2007
3) С.П. Фиников. «Аналитическая геометрия. Курс
лекций». Москва 2007
4) И.П. Егоров. «Высшая геометрия». Москва 2007
5) Ю. В. Садовничий и др. «Аналитическая геометрия.
Курс лекция с задачами». Москва 2006
6) В. Мирошин «Параллельное проектирование в
задачах»
7) Е. В. Потоскуев «Геометрия. 10 класс.» Москва 2004
8)А. Заславский «Геометрические преобразования» СанктПетербург 2004