Transcript Distribución con

Formas cuadráticas
Distribución de Chi-Cuadrado

Distribución Chi-cuadrado central

Distribución de Y’Y con Y~Nn(0,I)

Distribución Chi-cuadrado no central

Distribución de Y’Y con Y~Nn(,I)

Esperanza de una Chi-cuadrado no central

Varianza de una Chi-cuadrado no central

Distribución de la suma de Chi-cuadrado no
centrales independientes
Distribución 2 central
Función de Densidad
 u ( n 2) / 2e u / 2

2
  n 2( n / 2)
 (u, n )   2

 0 para u  0

Función generatriz de momentos
mu(t )  (1 2t )n / 2 ; con  t  1/ 2
Distribución 2central
Definición a partir de normales

Sea
z  z1, z2 ,..., zn 

con
z ~ Nn (0, I)

y definimos
U  zz

Entonces
U ~  (n )
2
mU (t ) 
e
t  zz 
 2 
 n /2 1/2 zz
 
e
dz 
Rn

  2 
 n /2 1/2 zz  t  zz 
e
dz
Rn
mU (t ) 
  2 
Rn
 n / 2 (1/ 2t ) zz 
e
dz
Teorema 1.10.1
Graybill F.A. Theory and Application of Linear Models.
Duxbury Press. (pag. 48)

Sean




a0 y b0 constantes,
a y b vectores nx1,
A una matriz simétrica nxn de constantes y
B una matriz definida positiva de constantes.
 
I
  ...  x'Ax  x' a  a  expx'Bx  x' b  b  dx
o
 
I

o
1
dx2 ... dxn

1 n / 2 1/ 2
 B exp14 b' B 1 b  bo trAB1  b' B 1 a  12 b' B1 AB1 b  2ao
2


mU (t ) 
  2 
 n / 2 (1/ 2t ) zz 
e
dz
Rn
 
I
  ...  x'Ax  x' a  a  expx'Bx  x' b  b  dx
o
 
I

o
1
dx2 ... dxn

1 n / 2 1/ 2
 B exp14 b' B 1 b  bo trAB1  b' B 1 a  12 b' B1 AB1 b  2ao
2


  2 
mU (t ) 
 n / 2 (1/ 2t ) zz 
e
dz
Rn
a0
B  1/ 2  t  I
A0
b0
a0   2 
n / 2
b0  0

1 n/2
1/ 2
mU (t )  
(1/ 2  t )I
2

1 n/2 n/2
 
2 (1  2t ) n / 2
2

 (1 2t )n / 2
  2 2  
n / 2
2  2 
n / 2

Distribución 2
Esperanza y varianza
E (U )  n
V (U )  2n
Distribución 2 no central
Función de densidad
  e    j v ( n 2 j 2) / 2e v / 2

n 2 j
j ( n / 2)
j
!

j

0
2
2

2
 (v, n,  )  


0 para v  0


( j =1 para  =0 y j=0 )

Distribución 2 no central
Función generatriz de momentos
mV (t )  (1  2t )
n / 2
 2t  
exp 
; con  t  1/ 2 

 1  2t 

Encontrar esperanza y varianza de una chicuadrado no central
Distribución 2
Esperanza y varianza
E (U )  n  2
V (U )  2(n  4 )
Chi cuadrado no central a partir de normales
independientes con esperanzas distintas de 0
y ~ Nn (μ, I)
2

V  y y; V ~  (n,  )


1

μ
μ
2

Ver demostración en notas de clases
Distribución 2
f ( u)
0.20
n=4; =0
0.18
0.16
0.14
0.12
n=4; =1
0.10
0.08
n=4; =5
0.06
0.04
0.02
0.00
0.0
5.0
10.0
15.0
u
20.0
25.0
30.0
Distribución de la suma de chicuadrados independientes
y1 ~ Nn1 (μ1, I)
U1  y1 y1
y2 ~ Nn2 (μ2, I)
U2  y2 y2
Cov( y1, y2 )  0
U1  U2  y1 y1  y2 y2  yy
y  [ y1 | y2 ]
y ~ Nn1n2 (μ, I)
μ  [μ1 | μ2 ]
U1  U2 ~  2  n;  
n  n1  n2
  21 μμ  21 (μ1μ1  μ2μ2 )  1  2
Distribución de
formas cuadráticas
Distribución de formas
cuadráticas

Distribución de Y’AY, Y~Nn(0,I), A idempotente simétrica

Distribución de Y’AY, Y~Nn(,I), A idempotente simétrica

Distribución de Y’AY, Y~Nn(,),A simétrica A idempotente

Condiciones equivalente a A idempotente

Distribución (n-1)S2/2

Independencia de Formas Cuadráticas y Lineales

Prueba T para una muestra

Independencia de formas cuadráticas

Esperanza de formas cuadráticas
Distribución con y ~ N 0, I
Anxn
Simétrica e idempotente de rango k
Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que
PAP  D
Teorema 1.2.50 Grabill, 1975
LOS ELEMENTOS DE D SON CERO O UNOS. ¿Por qué?
z  Py
yAy  yPDPy
yAy  zDz
z ~ N 0, I 

Si A tiene rango k, entonces sólo
existen k elementos diagonales de D
iguales a 1 siendo el resto iguales a 0
(¿por qué?)
 z1   z1 
yAy  zDz    D    z1z1
z2  z2 
z1 ~ Nk (0, I)
yAy ~ 
2
 k     rango(A)
2
Distribución con y ~ N μ, I 
Anxn
Simétrica e idempotente de rango k
Existe P ortogonal (P’P=PP’=I) tal que
P  [P1 | P2 ]
 Ik
PAP  
0
 P1AP1  Ik
z  Py
 P1 
 P1y   z1 
Py    y  
 z

P2 
P2 y  z 2 
0
0
yAy  Pz  A Pz  
 z1   Ik
 zPAPz  zDz    
z2   0
 z1 Ik z1  z1z1
0  z1 
z  

0  2 



z1 ~ Nk (Pμ
1 ,P1IP1)  Nk (Pμ
1 , I)
z1 z1 ~ 
2

1

rango( A), 2 μPPμ
1 1

PDP  A  PP
1 1A
 Ik
A  PDP  [P1 | P2 ] 
0
yAy ~ 
2

0   P1 

1 1
P   PP

0  2 
1
rango( A), 2 μAμ


Distribución con y ~ N μ, 
A idempotente
   
A, simétrica de rango k
z  1  y  μ  y  z  μ





yAy   z  μ A  z  μ  z  1μ A z  1μ  vBv

v ~ Nn 1μ, I

si B idempotente 



yAy ~  2  rango(B), 21 μ 1 B 1 μ 


   
1
μ
2
   
 
 
1
1 
1
1 





B  μ  2μ 
A 1 μ  21 μAμ

yAy ~  2 rango(B), 21 μAμ

BB  AA  AA
B  A
B idempotente 
AA  A
Para probar que BB=B tenemos que usar Lema 2 pag. 16 en Searle
Lema 2 pag. 16 en Searle
QXX  PXX  QX  PX
(QXX  PXX )(Q  P)  QXXQ  QXXP  PXXQ  PXXP
PX  QXPX  QX  PXXP  PXXQ  QXXP  QXXQ
(QXX  PXX )(Q  P)  PX  QX PX  QX   0  PX  QX   0
Si post multiplicamos ….
BB  AA
y
B  A
por

tenemos
BB  AA  AA  A
B  A  A
AA  A  AA  A
B2
B
Ejemplo: Distribución de
 n  1 S
2
/
2
S   n  1
2

y1, y2,..., yn 
proposición
Nn μ, I
2
1

n
  yi  y 
2
i 1
1 


 n  1 S /   2 y  I  Jn  y

 n 
2
2
1
demostración
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
  yi  y    y i2  2y i y  y 2   y i2 2ny 2  ny 2   y i2 ny 2
2
i 1
n
 y i2  yy  yIy
i 1
ny 2  y n1 Jn y
1 1
1 1
J n  11  


1 1
1
1


1
 y1 
 
n
n
n
n
 y2  1  n

1
1 n
yJ n y    y i ,  y i ,...,  y i 
  y1 y i  y 2  y i  ...  y n  y i 
n
n  i 1 i 1
i 1
i 1
i 1
   n  i 1

 
yn 
n
 1 2 2
1
1
  y1ny  y 2ny  ...  y n ny   ny  y i   n y   ny 2
n
n  i 1  n
y
1 
1 
I

Jn  y
2 
  n 
A
A  A 2 I =
1 
1  2 
1 
I

J

I
=
I

Jn 
n

2 
  n 
 n 
Luego lo que tenemos que mostrar es que
1 

I

 n Jn 


es idempotente
1 
1 

I

J
I

Jn  
n 

 n
 n

=I-
1
1
1
Jn  Jn  2 Jn Jn 
n
n
n
=I-2
1
1
Jn 
Jn 
n
n
 1 
  I- J n 
 n

Síntesis
 n  1 S
2
/   yAy
2
1 
1 
A  2  I  Jn 
  n 
A
idempotente
2
1

yAy ~   rango( A), μ ' Aμ 
2


1 
1 


rango  I  J n   traza  I  J n  ¿ porqué ?
 n 
 n 
Síntesis

Además…


1 
1 
1
1 
n








μ
I

J
μ

μ
I
μ

μ
J
μ

μ
μ

μ
μ
n 
 n n
0
2
2 
2 
n
n
2
2 


 2 

1
Luego…
yAy ~  2  n  1
Independencia de formas
cuadráticas y lineales de un
vector aleatorio con
distribución Normal
Caso 1. El vector aleatorio con tiene
matriz de covarianzas identidad
y ~ N μ, I 
Bqn
Ann
(simétrica )
BA  0  independencia de
By
y
yAy

simétrica de A

garantiza la existencia de P ortogonal
tal que (Teorema 1.2.50 Grabill, 1975).
PAP  D

Reordenando los elementos de y, las filas y
columnas de A y de P
D11 0 
PAP  

0
0


D11 kk  de rango completo  rango( A)
BA  0 BPPAP  0 ¿ porqué ?
C11 C12  D11 0
BPPAP  
 0  C11  0 , C21  0



C
D
C21 C22   0 0
(¿Por qué?)
Cqn  0qk ,C2 q( n k ) 


Si definimos
z  Py
entonces
D11 0
yAy  zPAPz  z 
z  z1D11z1

 0 0
By  BPz  Cz  0,C2  z  C2z2
z  Py ~ Nn P PIP 
 Nn P I
z1
z2
Independientes ¿Por qué?
Implica independencia de
yAy
By
Caso 2. Generalización al caso en que el la
matriz de covarianzas es definida positiva
y ~ N μ, 
Bqn
Ann
(simétrica )
BA  0  independencia de
By
y
yAy
  
z  1y



z ~ N 1 1     1  N 1 I

y  z
yAy   z  A  z   zAz
BA ?  0
BA  BA
luego
BA  0
By  Bz
Por hipótesis
BA  0
yAy   z  A  z   zAz
By  Bz

z ~ N 1 I

BA  0
Independencia de formas
cuadráticas de un vector
aleatorio con distribución
Normal
y ~ N μ, 
Bnn
Ann
(simétrica )
BA  0  independencia de
y ' By
y
yAy
  
  
AB  AB
  
AB  AB
por hipótesis
AB  A B
C
K

0
por hipótesis
AB  A B
C
K

0
z  P ' 1y



z ~ N P ' 1 P ' 1     1P  N P ' 1 I


z ~ N P ' 1 I

yAy   Pz  A  Pz  
 zP A Pz  zPCPz 
yBy   Pz  B  Pz  
 zP B Pz  zPKPz 
C
K
P A PP B P  P A B P  0
C
K
D11 0 
 z 
z  z1D11z1

 0 0
C
K
0 0 
 z 
z  z2D22 z 2

0 D22 
Distribución T de
Student




Si Z es una variable aleatoria normal
estándar y
U es una Chi-cuadrado con  grados de
libertad y
y Z y U son variables independientes,
entonces
Z
U
se distribuye como una T de Student
con  grados de libertad.


Estadístico T
Demostrar que tiene distribución T bajo Ho
y   

T
2
S n
 y   
Normal estándar
(bajo H0)
 n
2
 n  1 S / 
 n  1
2
2

Raíz cuadrada de una Chi-cuadrado
dividida sus grados de libertad
 y   
 n
2
 n  1 S / 
 n  1
2
2

 y   

 n
2
S /
2
2


 y   
 n S /
2
2
2


 y   
 n  S
2
2
/
2



 y   
  n  S
2
2
/
2



 y   
S
2
/n



Para demostrar independencia del numerador
y del denominador

Tenemos que escribir el numerador y
denominador de:

 y   
S
2
/n


como una forma lineal y una cuadrática
respectivamente y mostrar que son
independientes
 y    
 [1 n ,1 n ,...,1 n ] y   
B  [1 n ,1 n ,...,1 n ]
S
2

/n 

1
1 

 y 
In  J n   y

 n  n  1 

n




1
1 

A
In  J n  

 n  n  1 

n



BA 

1
1 

 [1 n ,1 n ,...,1 n ]  In 
In  J n   

 n  n  1 

n



2
2
1 


[1 n ,1 n ,...,1 n]  In  Jn 
n  n  1
n 

1 

[1 n ,1 n ,...,1 n ]  In  J n  
n 

1
1
1
[1 n ,1 n ,...,1 n ]  [1 n ,1 n ,...,1 n ] 
1
n

1
1

1
1

1
1

1 1 1
1
1
[1 n ,1 n ,...,1 n ]  [n n , n n ,..., n n ]  0
n
Distribución F (no central)

U1 una chi-cuadrado no central con parámetros n1 y ,

U2 una chi-cuadrado central con n2 grados de libertad

U1 y U2 independientes

W=(U1/n1)/(U2/n2) es una F-no central
Distribución F (no central)

F
 
   
    j 2 j  n1  n2 n1 ( n1  2 ) / 2 ( 2 j  n1  2 ) / 2
w
n2
 e  
2

n1 w ( 2 j  n1  n2 ) / 2
n
n

2
j
j
!
2
1
1
 2  2
( w : n1 , n 2 ,  )   j  0
n2


0 para w  0

( j =1 para  =0 y j=0 )

Distribución F (no central)
0.6
0.5
Densidad
F(8,4,0)
0.3
0.2
F(8,4,10)
0.0
0.00
4.14
8.29
Variable F
12.43
16.57