Transcript PROPRIETATILE DETERMINANTILOR

PROPRIETATILE
DETERMINANTILOR
CUPRINS
Proprietatea 1
Proprietatea 2
Concluzii
Proprietatea 3
Aplicatie practica
Proprietatea 4
Proprietatea 5
Proprietatea 6
Proprietatea 7
Proprietatea 8
Proprietatea 9
Test
Rezolvare test
Competenţe specifice vizate:
C3.1Aplicarea proprietăţilor în probleme de
calcul
C3.2Rezolvarea unor ecuaţii utilizând
algoritmii de calcul

PROPRIETATEA 1

Determinantul matricei pătratice A este egal cu
determinantul matricei transpuse
;
Obs.
Acesta proprietate ne arata ca orice proprietate
valabila pentru linii este valabila si pentru coloane.
EXEMPLU
2
6
1  2
0
1
1
2
1
0
2  6  2 1  1
1 2 1
1
PROPRIETATEA 2
Dacă matricea A are două linii(coloane) egale, atunci
determinantul ei este egal cu zero;
exemplu
2
3
1
1  2 2  0
2
3 1
L1 = L3
2
2
1
1 1 2  0
0
C1=C2
0
1
PROPRIETATEA 3
Dacă matricea B se obţine din matricea
A permutand două linii (coloane),
atunci det B=- det A;
EXEMPLU
3 5 1 


A  5 2 5 
0 5 1 


5

B  3
0

2
5
5
5

1
1 
In matricea B am schimbat liniile 1si 2
din matricea A.
detA = -19
Det B=19
PROPRIETATEA 4
• Dacă toate elementele unei linii (coloane) ale
unei matrice se înmulţesc cu un număr a, atunci
se obţine o matrice al cărei determinant este
egal cu produsul dintre a şi determinantul
matricei;
EXEMPLU
Inmultim elementele liniei 2
cu nr. 4 obtinem matricea :
3

A  5
0

5
2
5
1

5 
1 
Det B = -76 = 4(-19) = 4 det A
 3 5

B   20 8
0
5

1 

20 
1 
OBSERVATIE
• ESTE O PROPRIETATE IMPORTANTA PENTRU
CA NE PERMITE SA SCOATEM FACTOR
COMUN DE PE LINII SI/SAU COLOANE
ASTFEL INCAT DETERMINANTUL CARE
RAMANE ESTE MAI USOR DE CALCULAT.
exemplu
24
16
40
1  2
2 
2
1
3
3
8 1
2
2
5
2
2
3
1
PROPRIETATEA 5
• Dacă toate elementele unei linii (coloane) dintr-o
matrice pătratică sînt egale cu zero, atunci
determinantul acestei matrice este egal cu zero;
EXEMPLU
2 3 1
0 0 0 0
2 3 1
0
3
1
0 2 2 0
0 3 1
PROPRIETATEA 6
• Dacă o matrice conţine două linii (coloane)
proporţionale, atunci determinantul ei este egal
cu zero;
exemplu
2 3 1
6 9 3  0
1 3 1
L2= 3L1
Observam ca liniile 1 si 2 sunt
proportionale pentru ca
elementele liniei 2 se obtin din
elementele liniei1 prin inmultire
cu 3
PROPRIETATEA 7
• Dacă o linie (coloana) a unei matrice este o
combinaţie liniară a altor două linii (coloane),
atunci determinantul acestei matrice este egal cu
zero;
EXEMPLU
3 5 1 


A  3 5 3 
0 5 1 


L2=L1+2L3
Det A =0
Observam ca elementele liniei 2 se
obtin prin adunarea elementelor liniei
1 cu elementele liniei 3 inmultite cu 2.
deci linia 2 este o combinatie liniare a
liniilor 1si 3.
Proprietatea 8
• Daca elementele unei linii (coloane)se pot scrie
ca suma de doi termeni atunci determinantul
matricei de poate scrie ca suma de doi
determinanti in care elementele
liniilor(coloanelor) sunt aceleasi cu exceptia liniei
(coloanei) scrisa ca suma.
exemplu
2 3 1
2
3
1
2 3 1
2
3
1
4 2  3  2  2 11 1 4  2 1 1  2 1  4
1 3 1
1
3 1
1 3 1 1 3 1
PROPRIETATEA 9
• Dacă la elementele unei linii (coloane) a matricei
A adunăm elementele ale altei linii(coloane)
înmulţite cu unul şi acelaşi număr a,atunci se
obţine o matrice, al cărei determinant este egal
cu determinantul matricei A;
concluzii
• CAND UN DETERMINANT ESTE ZERO?
Dacă matricea A are două linii(coloane) egale, atunci determinantul ei este
egal cu zero;

Dacă toate elementele unei linii(coloane) dintr-o matrice pătratică
sunt egale cu zero, atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;
Dacă o linie(coloana) a unei matrice este o combinaţie liniară a altor două
linii(coloane), atunci determinantul acestei matrice este egal cu zero;
Dacă o matrice conţine două linii(coloane) proporţionale, atunci
determinantul ei este egal cu zero;
Aplicatie practica
xa
x
x
xb
x
x
x
x
xc
x
x
x
x
x
x
x
x
 a
xb
x
x
 x
x
xb
x
x
x
x
a
x x
xc
x
x
0
xb
0
x
x
xc
xb
x
x
0  a
 b
x
xc
x
xc
x 0 b
xc x x

 
x

xc

x
 b x 2  xc  x 2  a x 2  xb  xc  x 2 
xc
 xbc  xac  xab  xab  bc  ac

Test
1. Daca o linie a unui determinant este inmultita cu 2 determinantul se
modifica ?
2. Daca la coloana a doua adaug prima coloana obtin un determinant mai mare
decat primul ?
3. La linia a doua a unui determinant scad prima linie inmultita cu doi. Ce se
intampla ?
4. Fie determinantul
cu
x
x
x
x
x
x 1 x
x
x
x2
x
x
1
x2
x x
x
x3 x
x
el va fi egal cu
x3
0
0
x2
x
x
x3
x
x
x
1 0
0
x
x
x
x
x0 2
x 0 0
0
3
sau
explicaţi răspunsul ales.
5. Daca inversez liniile cu coloanele intr-un determinant atunci se obtine un
determinant nul?
Test
6. Daca toate elementele unui determinant sunt pozitive determinantul este
pozitiv?
7. Un determinant este nul daca toate elementele sale sunt nule?
8. Daca o linie este egala cu o coloana determinantul este nul?
9. Daca o coloana a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte
coloane atunci determinantul este egal cu
?
10. Exista proprietati valabile doar pentru linii sau pentru coloane?
11. Se poate calcula determinantul unei matrici de doua linii si trei coloane?
12. Daca inmultesc cu zero o linie si o adun la alta se obtine un determinant nul?
Test
13. Care este mai mare:
- determinantul care are elementele de pe doua linii egale cu 10 sau altul
care are elementele de pe ultimele doua coloane egale cu 100?
14. Este corect urmatorul calcul
2 4 6
1 2 3
?
4 2 6  2 2 1 3
15. Este corect urmatorul calcul
16. Motivati de ce determinantul
6 4 2
3 2 1
1  2  3
1 2 3
 2  1  3  1  2 1 3
 3  2 1
3 2 1
1
4
2
?
este egal cu 0, fara a face calcule.
3 1
6
 5 0  10
I7. Daca Det(A) > Det(B) atunci Det(A*B) > Det(A) * Det(B) ?
Test
18. Fie
ab 1 c
abc 1 c
.
1 1 c
b  c 1 a  a  b  c 1 a  (a  b  c)  1 1 a  a  b  c
ca 1 b abc 1 b
1 1 b
a) Ce proprietati au fost aplicate?
b) Sunt corect aplicate?
c) Unde este greseala?
19. Daca schimb doua linii intre ele determinantul obtinut este opusul
determinantului initial.
20. Cand inmultim un determinant cu un numar vom inmulti toate elementele
determinntului cu acel numar ?
Rezolvare test
1. Da
2. Nu
3. Se obtine acelasi determinant.
4. Corect este al doilea calcul.
5. Nu
6. Nu
7. Nu
8. Nu
9. Nu
10. Proprietatile sunt valabile atat pentru linii cat si pentru coloane.
Rezolvare test
11. Determinantul se calculeaza numai pentru matrici patratice.
12. Nu
13. Ambii determinanti sunt nuli.
14. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o coloana.
15. Nu, Factorul comun se scoate de pe o linie sau de pe o coloana.
16. Da deoarece una din linii este combinatie liniara a celorlalte doua.
17. Nu
18. a) Proprietatile 2, 9. b) Nu c) Ultimul determinant este nul datorita
proprietatii 2 deci rezultatul este 0.
19. Da
20. Nu