Transcript Functia Logaritmica


Am ales acest subiect pentru a incerca sa
facem mai usoara intelegerea acestei
functii(logaritmice)
 Definitie:


- fie a>0 ; a≠1 ;
- functiaf:(0;+∞)→R,definita
prin f(x)=logax se numeste
functia logaritmica de baza
a


Proprietatea I :
-daca x=1 → f(1)=log a1=0 →
graficul functiei logaritmica
contine punctul (1;0).
-functia logaritmica este
Proprietatea II :
monotona,mai exact:
1. daca a>1, functia logaritmica
este strict crescatoare;
2. daca 0<a<1, functia logaritmica
este strict descrescatoare;

Proprietatea III: -monotonia functiei logaritmice
este folosita la rezolvarea
inecuatiilor,inegalitatilor
logaritmice:
1. pentru a>1, avem log a x1 <
log a x2 ↔ x1 < x2 ;
2. pentru 0<a<1, avem log a x1
< log a x2 ↔ x2 > x1 ;

Proprietatea IV: -functia logaritmica este:
1. concava,nu tine apa,daca a>1;
2. convexa,tine apa, daca 0<a<1;
-pe graficul ei nu exista 3 puncte
coliniare.

Proprietatea V:
-functia logaritmica este bijectiva,adica
injectiva si surjectiva;
-din faptul ca functia logaritmica este
bijectiva → echivalenta: logax=logay ↔
x=y .

Proprietatea VI:
-functia logaritmica este
inversabila(orice functie
bijectiva este inversabila),iar
functia inversa este functia
exponentiala avand acceasi
baza, a ,astfel daca:
f:(0;+∞)→ R , f(x)=logax →
inversa ei este functia
f -1 : R →(0;+∞) , f -1(x)= ax ;
-graficele lor sunt simetrice
fata de prima bisectoare,
dreapta y=x.
- fie functia logaritmica f:(0;+∞) → R , f(x)=logax
,a>0 ,a≠1;
- din proprietatile functiei logaritmice stim ca
graficul functiei logaritmica contine
punctul
(1;0);
-vom trasa graficul functiei logaritmice tinand cont
de valorile pe care le poate sa le ia baza
logaritmului, respectiv a ,si anume : a ℮(0;1) sau
a>1;
-astfel in trasarea graficului functiei logaritmice
avem doua cazuri:
Cazul 1: a ℮(0;1) , cand baza logaritmului
este subunitara;
Cazul 2: a>1, cand baza logaritmului este
supraunitara.
Cazul 1. baza functiei logaritmice este subunitara : a ℮(0;1)
-gragicul functiei cu baza subunitara , a ℮(0;1) ,este format
dintr-o singura ramura care coboara convex ,tine apa,
intersectand axa Ox in punctual de coordinate (1;0);
-graficul de valori:
-din tabelul de mai sus observam ca punctul (1;0) de pe graphic
delimiteaza graficul functiei logaritmice astfel:
1. G f este situate desupra axei Ox daca 0<x<1 → f(x)>0 ;
2. G f intesecteaza axa Ox daca x=1 ,punctul (1;0) ℮ G f →
f(1)=0;
3. G f este situate sub axa Ox daxa x>1 → f(x)< 0.
-graficul functiei logaritmice cu
baza subunitara ,
a ℮(0;1),este in ce in ce mai
apropiat de axele de coordinate xOy
cu cat baza este mai mica
y
Gf
(1,0)
X
Cazul 2. baza functiei logaritmice este supraunitara :a>1
-graficul functiei logaritmice cu baza supraunitara , a>1 ,
este format dintr-o singura ramura care urca concav ,nu tine
apa,intersectand axa Ox in punctele de coordonate (1;0) ;
-tabelul de valori :
-din tabelul de mai sus observam ca punctul (1;0) de pe
graphic delimiteaza graficul functiei logaritmice astfel:
1. G f este situat sub axa Ox daca 0<x<1 → f(x)< 0;
2. G f intersecteaza axa Ox daca x=1 ,punctul (1;0) ℮ G f →
f(1)=0;
3. G f este situate desupra axei Ox daca x>1 → f(x)> 0.
y
Gf
(1,0)
-in acest caz functia logaritmica este strict
crescatoare;
x
-semnul functiei logaritmice este important in
rezolvarea unor inegalitati, inecuatii, precum si in
determinarea domeniului de definitie al diferitelor
functii.
-fie functia logaritmica f:(0;+∞) → R , f(x)=logax
,a>0,a≠1;
-avem urmatoarele cazuri:



www.wikipedia.org
www.matematica.com.ro
www.referate.ro