Transcript векторы

ВЕКТОРЫ
© Александрова О.А.
Лицей 554
Содержание










Историческая справка
Что такое вектор?
Длина вектора
Коллинеарные векторы
Направление векторов
Равенство векторов
Откладывание вектора от данной точки
Сложение векторов
Вычитание векторов
Умножение вектора на число
Историческая справка

Термин вектор (от лат.
Vector – “ несущий “)
впервые появился в 1845 г.
у ирландского математика
Уильяма Гамильтона (1805
– 1865) в работах по
построению числовых
систем.
Что такое вектор?
Понятие вектора возникает там, где
приходится иметь дело с объектами, которые
характеризуются величиной и направлением:
например, скорость, сила, давление. Такие величины
называются векторными величинами или
векторами.
Геометрическое понятие вектора


Наиболее наглядно величину и направление одновременно
можно задать с помощью направленного отрезка – вектора.
Направление вектора указывается стрелкой. Точка A
называется началом вектора, а точка B – концом.
Векторы обозначаются латинскими буквами a, b, c, …, а
также AB, CD, … (на первом месте ставится начало
вектора).
В
Конец
вектора
a
C
c
А
b
Начало
вектора
D
Нулевой вектор



Любую точку плоскости
можно считать вектором.
Такой вектор называется
нулевым.
Начало нулевого вектора
совпадает с его концом.
Нулевой вектор
обозначается 0 или СС.
М
MM - нулевой вектор
С
CC - нулевой вектор
Длина вектора


Расстояние между началом и концом вектора
называется длиной или модулем вектора. Длина
вектора обозначается |а| или |АВ|.
Длина нулевого вектора считается равной нулю.
A
B
C
a
D
N
|AB| = 6
|CD| = 5
|a| = 5
|NN| = 0
(каждая клетка на рисунке
имеет сторону, равную единице
измерения отрезков)
Коллинеарные векторы


Ненулевые векторы называются коллинеарными,
если они лежат либо на одной прямой, либо на
параллельных прямых.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому
вектору.
O
b
CD, KF, O, a, b –
коллинеарные
N
D
a
K
O, a – коллинеарные
O, NP – коллинеарные
P
C
m
F
NP, m – не коллинеарные
Направление векторов



Если два ненулевых
вектора коллинеарны и
направлены одинаково, то
эти векторы называются
сонаправленными.
Если два ненулевых
вектора коллинеарны и
направлены
противоположно, то эти
векторы называются
противоположно
направленными.
Нулевой вектор
сонаправлен с любым
вектором.
a
C
D
b
F
K
a ↑↑CD b ↑↑KF
Направление векторов



Если два ненулевых
вектора коллинеарны и
направлены одинаково, то
эти векторы называются
сонаправленными.
Если два ненулевых
вектора коллинеарны и
направлены
противоположно, то эти
векторы называются
противоположно
направленными.
Нулевой вектор
сонаправлен с любым
вектором.
a
C
D
b
F
K
a ↑↑CD b ↑↑KF
a ↑↓b
CD ↑↓ KF
Направление векторов



Если два ненулевых
вектора коллинеарны и
направлены одинаково, то
эти векторы называются
сонаправленными.
Если два ненулевых
вектора коллинеарны и
направлены
противоположно, то эти
векторы называются
противоположно
направленными.
Нулевой вектор
cонаправлен
с любым вектором.
a
C
D
b
F
K
M
a ↑↑CD b ↑↑KF
a ↑↓b
MM ↑↑a
a ↑↓ KF
MM ↑↑b
Равенство векторов



Векторы называются равными, если они сонаправлены и их
длины равны.
Равенство векторов обозначается: a = b
Все нулевые векторы равны друг другу.
C
a
ab
│a │=│b │
b
M
CC = MM

a=b
Откладывание вектора от
данной точки

От любой точки можно отложить вектор, равный
данному вектору, и притом только один.
N
В
а
М
А
Mp
N'
p II AB
MN = AB
MN' = AB
p
MN = a
Сложение векторов
Если тело переместить из точки А в точку В, а
потом из точки В в точку С, то его суммарное
перемещение из А в С представляется вектором АС.
Так складывают векторы АВ и ВС: АВ + ВС = АС.
В
А
С
Правило треугольника
B
a = AB
a
C
b = BC
b
a + b = AB + BC = AC
A

Вектор АС называется суммой векторов
а и b. Это правило сложения векторов
называется правилом треугольника.

Для любого вектора а справедливо
равенство: a + 0 = a.
Правило параллелограмма
a
B
a = AB = DC
b
a+b
A
C
b = AD = BC
D
a + b = AB + BC = AC
a+b=b+a
b + a = AD + DC = AC
Чтобы сложить неколлинеарные векторы а и b,нужно
отложить от какой-нибудь точки А векторы АВ = а и
АD = b и построить параллелограмм АВСD. Тогда
вектор АС = а + b.
Свойства сложение векторов

1.
Для любых векторов a, b и c справедливы
равенства:
a + b = b + a (переместительный закон)
доказательство см. «правило параллелограмма»
2.
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон)
B
a
a
c
b
C
c
(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD
a+(b+c)=AB+(BC+CD)=AB+BD=AD

A
b
D
a+(b+c)=a+(b+c)
Правило многоугольника
a = AB
D
a
c
b = BC
d
C
c = CD
e
E
b
B
A
d = DE
e = EF
F
a + b + c + d + e = AB + DC + CD + DE + EF = AF
Сложение нескольких векторов производится
следующим образом: первый вектор складывается со
вторым, затем их сумма складывается с третьим
вектором и т.д.Это правило называется правилом
многоугольника.
Вычитание векторов

Два ненулевых вектора называются
противоположными, если их длины
равны и они противоположно
направлены.
a
-a

Их сумма равна нулевому вектору.
а + (-а) = 0
Вычитание векторов
Разностью векторов а и b называется такой
вектор, сумма которого с вектором b равна
вектору а.
а – b = а + (-b)
а
а – b = ОВ – ОА = АВ
а
b
b
В
-b
В
А
О
а-b
О
а
а-b
ОА = а,
а
ОВ = а
АВ = -b
ОА = b
ОВ = а + (-b) = а - b
ОВ – ОА = АВ
А
b
Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора a на число k
называется такой вектор b, длина которого равна
|k|·|a|, причем векторы а и b сонаправлены при k>0 и
противоположно направлены при k<0.
k·a = b; если a ≠ 0, то lbl = lkl·lal,
b
a
a↑↑b при k > 0;
a↑↓b при k < 0;
если a = 0, то b = 0.
c
d
b= -½a
c = 1,5a
d = 2a