Transcript épistémologie et didactique des mathématiques Guy Brousseau

Références
épistémologiques pour
la didactique des
mathématiques
Guy Brousseau
En marge du Cours 2010
1

Ce diaporama est une mise à jour de celui qui a accompagné la
conférence « épistémologie et didactique des mathématiques »
présentée au colloque de l’Afirse (Association francophone
internationale de recherche scientifique en éducation, section
française) « Didactiques, quelles références épistémologiques,
IUFM d’Aquitaine 2005 » et de l’article éponyme
2
I. Visite de définitions
Épistémologie
Didactique
3
ÉPISTÉMOLOGIE
4
ÉPISTÉMOLOGIE



Une partie de la didactique des
mathématiques est-elle une science ?
L’autre partie est-elle, elle-même, une
partie de l’épistémologie ?
« L’épistémologie est, étymologiquement,
la théorie de la science…
5


Bien que la forme anglaise du vocable ait
existé avant que le français ne l’assimile,
c’est pourtant avec le sens différent et
plus large de « théorie de la
connaissance » qu’il est généralement
utilisé par les Anglo-Saxons. »…
…… « le mot français lui-même renvoie à
deux styles de théorie de la science ;
6


l’un, plus proche de la philosophie d’obédience
américaine ou britannique, met l’accent sur les
processus les plus généraux de la connaissance,
sur leur logique, sur leur fondement notamment
psychologique ;
l’autre, assez caractéristique des épistémologues
français, et même continentaux, depuis la fin du
XIXe siècle, privilégie volontiers l’étude
spécifique des sciences, voire du développement
historique et concret de leurs problèmes. » …
7

… la prolifération des champs et des procédures
apparemment très nouvelles posent de façon
toujours plus pressante la question de l’unité de
la science et du sens qu’il lui faut accorder….





G.G. GRANGER.
La science ou les sciences ?
Tendance des disciplines à produire leur
épistémologie.
L’épistémologie peut-elle être une science?
Une épistémologie ou des épistémologies?
8



L’épistémologie génétique
Les courants épistémologiques et le
renouvellement de la didactique (réalisme,
cartésianisme, empirisme, positivisme,
structuralisme, constructivisme…)
D’où, la proposition suivante :
9

1. Une conception épistémologique (ou
une épistémologie) est un ensemble de
croyances, de connaissances et de savoirs
scientifiques ou non, tendant à dire ce que
sont les connaissances des sujets ou des
groupes humains, leur fonctionnement, les
moyens d’établir leur validité, de les
acquérir, de les développer, de les
échanger et donc de les enseigner et de
les apprendre.
10

2. L’épistémologie est une tentative
d’identifier et d’unifier des conceptions
épistémologiques diverses attachées à des
sciences, à des mouvements d’idées, à
des groupes humains, à des institutions ou
à des cultures.
11
DIDACTIQUE
12
DIDACTIQUE


La didactique d’une connaissance (d’un objet,
d’un fait, d’une discipline…) est d’abord le projet
social de la faire approprier par un individu ou
par un organisme social, et l’étude de la façon
dont les sociétés diffusent, transforment et
s’approprient cette connaissance en fonction de
leurs besoins et de leurs désirs.
Elle comprend l’enseignement, l’ingénierie, les
approches scientifiques et les réflexions
épistémologiques à ce propos
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Est-ce une Théorie-Pratique ?
 La Pratique (l’enseignement lui même)
La didactique serait l’art de produire des
conditions qui peuvent déterminer
l’apprentissage d’une connaissance chez
un actant (organisme quelconque : humain,
institution, animal ou système)


La Théorie de cette pratique
La Didactique serait alors l’étude scientifique ou non - de la didactique.
14
La didactique est un objet d’études et un champ
« scientifique » pour de nombreuses disciplines :
 La Psychologie , la Sociologie…, La linguistique…
l’Anthropologie … et bien d’autres… et
naturellement la discipline enseignée
Mais aucune ne
semble, seule, pouvoir l’absorber entièrement,
 ni lui donner une définition catégorique
 ni pouvoir recevoir ses résultats,
 ni assumer la responsabilité des transformations
spécifiques que doivent subir les connaissances
que ces disciplines lui proposent. Hors de leur
champ d’origine, elles sont le plus souvent de
simples métaphores…
15
LES THEORIES DES SITUATIONS

« Il n’y a de liberté qu’en situation il n’y a
de situation que par la liberté »

J. P. SARTRE
La « théorie des situations » vise-t-elle à
justifier des prescriptions pour
l’enseignement ?
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





Non.
La théorie des situations ne vise directement
aucun but pratique :
Elle vise seulement à la connaissance d’une
catégorie de phénomènes, à les décrire, à les
expliquer, à les questionner expérimentalement
Elle vise à être consistante et à rendre compte
de ses fondements empiriques
Ses résultats peuvent néanmoins être utilisés
par des décideurs – sous leur responsabilité - .
Elle essaie d’éliminer de son champ les
spéculations abstraites et les prescriptions
17
La théorie des situations est-elle « fermée »

Pas du tout, elle se transforme. Elle subit des
modifications et des adjonctions : extensions
successives, adjonction de modèles : situation
de rappel (M.J. Perrin), étude (Y. Chevallard).
Récuse-t-elle les autres approches ?
 A priori non, au contraire, par contre « elle
prétend » pouvoir les analyser, les décrire, les
critiquer, s’en augmenter, s’en démarquer etc.,
ou les ignorer selon les cas.
18
Alors en quoi est-elle constante (principes) ?



La didactique scientifique doit satisfaire
une double contrainte :
a) interpréter des évènements
didactiques, (prenons pour l’instant ce
terme avec son sens naïf)
b) et produire des dispositifs susceptibles
de reproduire ces évènements.
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
Pour cela il faut :
 construire des modèles d’interaction
 étudier leur consistance
 vérifier leur compatibilité avec les
résultats (de didactique) et les apports
(d’autres sciences) acceptés
 et leur adéquation à l’interprétation et à
l’action didactique
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Primauté


1. De la connaissance mathématique que
l’observateur croit déceler chez l’actant ou
que le professeur veut enseigner.
2. Des conditions dans lesquelles cette
connaissance peut se manifester
 pour interpréter, comprendre et prévoir
les comportements désirés,
 puis pour les provoquer.
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Importance


3. d’interpréter ces conditions comme des
systèmes : les milieux matériels ou non
4. de représenter les motivations effectives ou supposées - des actions, en
modélisant la relation de l’actant avec le
milieu et avec la connaissance nécessaire
ou visée : les situations
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Les situations sont des systèmes
d’interaction d’un ou plusieurs actants
avec un milieu, qui nécessitent une
connaissance précise.
 Elles sont des modèles structurés comme
des jeux mathématiques
 Z (distinguer le modèle : « la situation »
et sa référence « les conditions »).
 Toute situation est en fait une classe de
situations générée par diverses conditions
ou variables.

23



5. La connaissance (désirée, utilisée ou
obtenue) n’est pas celle de tel ou tel
« élève » particulier, elle est celle d’une
population dans ce qu’elle a de commun
Son développement résulte de processus
socio psychologiques.
D’où une possibilité de modéliser plus
facilement les sujets par des actants aux
règles simplifiées qu’en les différenciant
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Principes méthodologiques :



Les objets de la théorie sont définis par
leur fonction dans une situation (et non
pas par leur aspect empirique). Cette
attitude correspond à la méthode utilisée
en mathématiques, où un objet est défini
par une relation (ensembles d’axiomes ou
définitions).
Ainsi un évènement didactique devient « un
ensemble de faits interprétables par l’évolution
d’une « situation didactique ».
Ex. Pauline à enseigné à sa cousine Mathilde
comment jouer à la marelle.
25

Un phénomène de didactique est une
relation établie expérimentalement entre
des observables.


Ex1. En situations scolaires, un processus
didactique « constructiviste » ne peut pas
aboutir et même ne peut pas se poursuivre en
l’absence d’institutionnalisations.
Ex2. La répétition « à l’identique » d’une même
situation didactique, même avec des élèves
différents produit une « obsolescence » c'est-àdire un difficulté croissante pour le professeur à
assurer son fonctionnement.
26
conséquences

Tout fait ou relation « importé », de
l’observation, de la pratique ou de la
culture didactique spontanée (même celle
des professeurs) ainsi que tout objet ou
tout concept importé d’un domaine non
didactique (la psychologie par exemple)
devra donc être interprété par une
définition didactique appropriée (par une
situation).
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Remarque sur l’insertion d’informations
psychologiques individuelles


Dans le champ de la didactique, prendre
en compte une information psychologique
sur les sujets signifie : « introduire une
contrainte supplémentaire dans le modèle
simplifié d’actant utilisé dans les analyses
de situations ».
Il reste alors à réorganiser l’ensemble du
modèle et à voir ses conséquences (dans
quelle mesure le jeu en vaut-il la
chandelle).
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autres principes




D’autres principes précisent les objets et
les règles de la théorie :
Postulat de correspondance entre les
connaissances mathématiques et les situations.
Règles de décomposition et composition des
situations:
Hypothèse de l’existence de situations
fondamentales etc.
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Métaphores et Théories
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Métaphores et théories




Suivant la structure et les règles d’évolution
nécessaires il a fallu distinguer au moins deux
systèmes théoriques imbriqués :
La Théorie des situations mathématiques (TSM)
S a-didactiques: situations qui suscitent une activité mathématique,
mais qui excluent toute intervention didactique, ex. les problèmes )
La Théorie des situations didactiques en
mathématiques (TSDM)
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
La Théorie des situations mathématiques
(a-didactiques*)
Spontanément ou non,
les sujets créent des
connaissances au cours
d’interactions avec leur
(leurs) milieux,
Connaissance
Milieu
La psychologie cognitive,
l’épistémologie génétique
… étudient ce système
Ce schéma s’applique
aussi bien aux élèves
qu’aux enfants ou aux
mathématiciens)
apprenti
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Le savoir est une
partie des
connaissances
Connaissance
Savoir
L’enseignement est
une partie du milieu
L’élève un des
aspects de l’apprenti
Ensemble ou
isolément, leur
fonctionnement ne
se réduit pas à des
fonctions
psychologiques
Enseignement
Milieu
élève
apprenti
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L’enseignement classique est
conçu comme l’action d’un
système éducatif sur des
étudiants à propos d’un
savoir scolaire
La pédagogie s’intéresse
à l’éducation, à l’élève et
plus accessoirement au
savoir (péda. spéciale)
La didactique rationnelle
de Comenius se limite
au système et aux
savoirs généraux ou
particuliers
Savoir
Scolaire
Système
Educatif
étudiant
Le classique et réducteur
triangle didactique, intègre le
savoir à l’une et l’étudiant à
l’autre.
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L’enseignement est alors conçu comme un système qui agit
sur les élèves et leur savoir : le professeur interprète les
connaissances de l’élève en termes de savoirs scolaires,
confond étudiant et apprenti et utilise mais ignore le milieu
Savoir Connaissance
Scolaire
Système
Educatif
Action
étudiant
Milieu
apprenti
Enseignement
aculturation
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La recherche en didactique étend son étude aux
interactions entre le système éducatif et le système
propre de l’apprenti
Savoir
Scolaire
Système
Educatif
Connaissance
Milieu
Interactions
étudiant
apprenti
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
La Théorie des situations didactiques envisage
l’ensemble comme un système hexagonal
Savoir
Scolaire Connaissance
Système
Educatif
Interaction
étudiant
Milieu
apprenti
Enseignement
aculturation
37
arguments
38


-


Ainsi chacune des approches anciennes ou actuelles tend
à isoler une partie des éléments du modèle.
L’infernale métaphore du « triangle didactique » incline
à ignorer le rôle du « milieu » propre à la connaissance,
à confondre les connaissances avec le savoir et avec le
savoir à enseigner
à confondre l’élève avec le sujet psychologique (et ainsi
à confondre le personnage joué par un acteur avec la
personne privée qui exerce cette profession!)
Or les principaux problèmes de didactique exigent
souvent encore de considérer l’ensemble tous les sous
systèmes au cours de l’étude de l’un d’entre eux.
Les phénomènes que nous avons mis en évidence
montrent que la combinaison d’approches partielles
indépendantes conduit à des errements.
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La création des mathématiques serait-elle
seulement affaire de psychologie?




Dans cette perspective les contemporains d’Hadamard
ont donc imaginé que l’acquisition de nouvelles
connaissances par les mathématiciens relèverait de la
psychologie (et plus tard des neurosciences).
L’apprentissage des connaissances déjà établies devait
suivre d’autres lois – toujours psychologiques -, mais
plus simples que celles de l’invention, puisqu’il ne
s’agirait après tout « que » d’assimiler et de pratiquer.
La didactique résidait entièrement dans la reformulation
et la réorganisation « rationnelle » des connaissances.
L’enseignement suivait cette « rationalité » du savoir, il
ne mobilisait que la mémoire des élèves, la
compréhension n’étant qu’un plus individuel.
Les approches classiques sont précieuses mais insuffisantes
40




Or cette conception réduit ou même ignore des facteurs
essentiels:
Les caractéristiques du fonctionnement des cerveaux
humains accessibles aux neurosciences sont
très générales (peu spécifiques à telle ou telle
connaissance précise),
communes à la plus grande partie de l’humanité,
et probablement à peu près constantes depuis des
siècles.
Les différences entre les comportement cognitifs et leurs
évolutions proviennent essentiellement des modifications
de la société, du milieu, de la culture, et surtout du
savoir lui-même.
Vouloir ignorer l’effet du temps et de l’histoire des
individus et des sociétés dans le fonctionnement et la
genèse des connaissances et des savoirs est
probablement une erreur.
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La Philosophie des sciences et la sociologie


L’organisation actuelle des sciences est encore fondée
sur les conceptions philosophiques du 19ième siècle. Elle
s’est incarnée dans des structures sociales qui ont
permis à chacune des développements très importants
dans leur champs.
Mais elles ont dû accepter les mythes fondateurs
communs, et elles peinent à remettre en cause, leur
partie, mais surtout celle des autres, par des démarches
scientifiques; Abandonner la protection assurée par une
structuration sociale appuyée sur un tel travail ne va pas
de soi.
42



Par exemple, la psychologie, telle qu’elle est, ne peut pas
remettre en cause les résultats, l’essence, ou même
l’organisation didactique des mathématiques, ni se
charger d’imposer aux études historiques, à la sociologie,
à la linguistique ou à l’anthropologie des catégories qui
correspondraient à ses hypothèses.
Comme la psychologie, chaque discipline reste confinée
dans des généralités insuffisantes pour expliquer les
phénomènes de construction et de diffusion des
connaissances.
Construire une science de la didactique est aujourd’hui
une entreprise d’une complexité comparable à la
construction de la théorie de l’évolution au 19ième siècle.
43
Contrastes, Oppositions, Paradoxes





L’étude anthropologique des pratiques professionnelles et des
opinions des différents partenaires de l’éducation fait apparaître des
divergences importantes et des oppositions :
1. La complexité des modalités d’actions envisageables – et
envisagées par les professeurs : formes de cours, méthodes,…
s’oppose à l’extrême simplicité de la représentation qu’en a le public.
Elle finit par être partagée par les professeurs à propos du travail de
leurs collègues
2. Grande flexibilité des réponses opportunes des professeurs et
grande rigidité des réponses qu’ils doivent exiger des élèves
3. Importance mais grande difficulté à utiliser et à gérer (utiliser,
décrire, prévoir, assumer) le non dit ou le non dicible, l’intention, qui
jouent pourtant un rôle essentiel mais caché et qui ne sont pas
identifiés
4. L’opposition entre la complexité effective du travail d’enseignement
tel qu’il est éprouvé par les enseignants, et la simplicité dérisoire de
l’image qu’en donne la société par ses décisions, par ses discours et
par les approches scientifiques qu’elle encourage.
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Conséquences et causes



1. Ces vues schématiques ont pénétré les composantes
du système au point que chaque sous système et même
chaque enseignant croit que de ses collègues réussissent
avec des méthodes simplistes et que ses difficultés
résultent de sa propre insuffisance.
Ce sentiment créée un incoercible obstacle à l’activité
d’enseignement et un désarroi fatal dans la population
Une vision absurde de l’enseignement et de la façon de
le conduire est propagée et encouragée par différents
milieux (économiques, scientifiques, politiques et
religieux) pour des raisons différentes mais qui se
conjuguent en un assaut de la société contre ses
structures éducatives, sociales et culturelles.
45


2. La fonction de l’école est d’acculturer ensemble les
élèves à une société déterminée, telle qu’elle est. En
faire un projet éducatif individuel ou particulier, ou
l’instrument d’une évolution politique ou sociale
déterminée la rend illégitime, a fortiori si ce n’est qu’un
projet privé. Cette société se fait alors l’ennemie de son
école, la détruit et se détruit ainsi elle-même.
Les activités sont dévalorisées aussi par la réduction aux
traces dérisoires qu’elles laissent dans les principaux
domaines scientifiques. Il en résulte à tous les niveaux
des erreurs systémiques si profondes que les
prétendues corrections ne cessent d’aggraver ce qu’on
prétend qu’elles doivent réformer
** L’abaissement de son l’école livre une société à sa désagrégation et à
ses ennemis. Mais des ambitions excessives pour l’école, ont un jour le
même effet : elles deviennent de grandes déceptions par l’école.
46
La Macrodidactique
47


Les observations précédentes montrent que le
fonctionnement des systèmes microdidactiques
que nous avons étudiés plus haut peuvent avoir
des relations étroites avec des phénomènes
socioculturels de grande ampleur, des
dysfonctionnement spécifiquement liés à des
confusions, à des conceptions didactiques
inappropriées…, dont nous rassemblons l’étude
sous le nom de macrodidactique**.
**en référence à l’organisation de l’étude de
l’Économie
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La microdidactique concerne l’organisation
des dispositifs (longs ou courts, à grande ou à petite
échelle) de la diffusion des savoirs
et des conditions de la reconstitution permanente
d’une culture.
 Par opposition nous appelons macrodidactique des
mathématiques l’étude des caractères et des
comportements des grands systèmes politiques,
culturels, sociaux ou administratifs, en regard des divers
savoirs et de leur enseignement.
 Son champs s’étend
des modes de gestion de l’enseignement
(techniques, observations et théorie)
à l’ethnomathématique, qui étudie les différences de
formes et d’usages des connaissances développées dans
diverses sociétés.
Par exemple, la conception et l’usage des statistiques
différent sensiblement dans les pays anglo-saxons et
dans les pays latins.

49


-
L’étude des comportements de certaines
composantes du système éducatif fait ressortir
de graves inadaptations
Les plus importantes sont dues
à des conceptions inappropriées et cloisonnées
à des confusions épistémologiques
à des conceptions systémiques inappropriées
à des ambitions excessives
à l’assujettissement à des projets économiques
et politiques contraires à l’éthique éducative
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Diagnostics
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Le diagnostic




Gérer l’enseignement selon le modèle économique,
comme une société que l’on détruit quand son
rendement n’est pas satisfaisant est une absurdité.
Déjà l’économie fonctionne comme si le profit était
l’image universelle et limpide de l’utilité publique. On
peut en douter.
Mais les évaluations des résultats scolaires ne se lisent
pas comme les cours de la bourse. Ce ne sont pas les
évaluations qui sont trompeuses c’est leur analyse et
leur usage dans la métaphore économique.
Personne ne sait ce qu’elles représentent au juste ni
quelles décisions générales peuvent leur être associées.
52



Depuis 1970 les évaluations sporadiques résultant de
grossiers sondages et associés à des décisions
drastiques et générales sont progressivement
substituées à l’empirique mais subtil système
d’évaluation permanente utilisé traditionnellement par
les enseignants professionnels, associé à des décisions
variées et continûment corrigibles. Cette mesure est
absurde et elle se révèle inefficace depuis des décennies.
Corriger les institutions et les professeurs comme s’ils
étaient toujours capables de remédier à ce qui nous
déplaît est un procédé barbare, imbécile, et illégitime
comme le serait celui d’opposer un devoir de résultat à la
médecine.
Soutenir obstinément la pertinence de ce procédé relève
d’une perversité coupable ou d’une ignorance, d’une
prétention, d’une suffisance tout aussi coupables.
53
Questions



La didactique est autoréférentielle (Popper).
Est-ce vrai? Dans quelle mesure peut-elle
échapper à cette objection et devenir une
science…?
Les rapports réciproques de la didactique, de
l’épistémologie et des autres sciences peuvent ils
se révéler vraiment ailleurs que dans l’intimité
de recherches scientifiques spécifiques ?
En quoi la didactique est elle vraiment
l’épistémologie expérimentale ?
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La conférence et le texte initial de « Épistémologie et didactique des
mathématiques » ont été présentés au colloque de l’AFIRSE « Didactiques,
quelles références épistémologiques? » (IUFM d’Aquitaine, 2005)
Une première forme de ce diaporama a été présentée à la journée des
conseillers pédagogiques de la Gironde en 2008


Plan de la conférence initiale
I. Visite de définitions
 Épistémologie et Didactique
 Théorie des situations, métis,
praxis et logos
II. Exemple : obstacles épistémologiques
Naturels, sauts de complexité,
obstacles
III Conclusions
Sur les axes du colloque
Les didactiques, quels
assujettissements
un texte et des
dessins nouveaux
sont présentés ciaprès
Cette partie du Diaporama n’est
pas reproduite ici. Se rapporter
au texte de la conférence
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