Transcript Parni i neparni brojevi

Parni i neparni brojevi
Created by Inna Shapiro ©2008
Zadatak 1.
Zbroj dvaju prirodnih brojeva je
paran broj.
Što je sa umnoškom tih brojeva - je
li on paran ili neparan?
Rješenje
Zbroj dvaju brojeva je paran ako
vrijedi jedno od sljedećeg:
(1) oba broja su parna, ili
(2) oba broja su neparna.
U prvom slučaju umnožak će biti
paran, a u drugom neparan.
Zadatak 2.
Zbroj triju prirodnih brojeva je
paran broj.
Što je sa umnoškom tih brojeva - je
li on paran ili neparan?
Rješenje
Zbroj triju brojeva je paran ako
vrijedi:
(1) sva tri broja su parna, ili
(2) dva broja su neparna, a jedan
paran.
U oba slučaja umnožak će biti paran
(jer je barem jedan faktor paran).
Zadatak 3.
U prirodnom broju A sve su znamenke
jednake 4, npr. 4444 ili 444 444.
U broju B sve su znamenke jednake 3, npr.
33 333 ili 33.
Može li broj A biti djeljiv sa brojem B?
Može li broj B biti djeljiv sa brojem A?
Rješenje
1) Broj A može biti djeljiv sa B, npr.
444 444 : 33 = 13 468 .
2) Broj B ne može biti djeljiv sa brojem
A, jer je B neparan a A paran broj, a
neparan broj ne može biti djeljiv sa
parnim.
Zadatak 4.
Učitelj je na ploču napisao broj 20.
Zatim je od učenika zatražio da redom dolaze
pred ploču i da svaki učenik obriše broj sa
ploče i umjesto njega napiše broj koji je za 1
veći ili manji od obrisanog broja.
U razredu su 33 učenika.
Može li, nakon što svi učenici izvrše zadatak
(svaki točno jednom), na ploči ostati broj 10?
Rješenje
Ne, ne može.
Naime, rezultat će biti neparan broj.
Evo zašto:
Početni broj 20 je paran broj. Kad ga
1. učenik izmijeni, on će postati neparan,
2. učenik će ga pretvoriti u parnog,
3. opet u neparnog itd.
33. učenik će napisati neparan broj.
Zadatak 5.
Učitelj je na ploču napisao četiri broja:
0, 1, 0, 0.
Možeš izabrati bilo koja dva od ta četiri broja i
dodavati im broj 1 koliko puta želiš. Zatim možeš
izabrati bilo koja druga dva broja i opet im
dodavati broj 1 koliko puta želiš.
I tako dalje (dokle želiš).
Možeš li na taj način postići da sva četiri broja
postanu jednaka?
Rješenje
Zbroj zadana četiri broja je neparan.
Dodavajući broj 1 dvojici brojeva, zbroj
novodobivenih brojeva će i dalje također
biti neparan.
Stoga ne možemo dobiti četiri jednaka
broja, jer bi njihov zbroj bio pozitivan.
Zadatak 6.
U kanti je 25 litara mlijeka.
Gazda Marko ima puno praznih boca od
1, 3 i 5 litara.
Može li on napuniti točno 10 takvih
boca sa onih 25 litara mlijeka?
Ako može, kako?
Rješenje
Ne, ne može.
Naime, 1, 3 i 5 su neparni brojevi.
Bilo koje dvije boce zajedno sadržavat
će paran broj litara mlijeka.
Stoga će i 10 boca zajedno također
sadržavati paran broj litara mlijeka, a
25 je neparan broj.
Zadatak 7.
Mate tvrdi da je pronašao četiri broja
čiji su i zbroj i umnožak neparni
brojevi.
Ana tvrdi da je to nemoguće, tj. da ne
postoje takva četiri broja.
Tko je u pravu?
Rješenje
Ana je u pravu.
Naime, ako je bilo koji od ta 4 broja
paran, onda je i umnožak paran.
Dakle, sva četiri broja moraju biti
neparna. No, onda im je zbroj paran.
Dakle, nemoguće je da im i zbroj i
umnožak budu parni.
Zadatak 8.
Na okruglom stolu nalazi se 11
tanjura.
Domaćica Marija želi
raspodijeliti trešnje u tanjure
tako da se brojevi trešanja u
susjednim tanjurima razlikuju
točno za 1.
Može li se to učiniti? Kako?
Rješenje
Nemoguće je tako raspodijeliti trešnje.
Naime, pretpostavimo da u 1. tanjuru imamo neparan
broj trešanja. Tada je u 2. tanjuru paran broj
trešanja, u 3. neparan, i tako dalje do 11. tanjura u
kojem je neparan broj trešanja. No, 1. i 11. tanjur su
susjedni, a oba sadrže neparan broj trešanja. Dakle,
takva raspodjela ne zadovoljava zadane uvjete.
Isto vrijedi i ako u 1. tanjur stavimo paran broj
trešanja.
Zadatak 9.
Imamo brojeve od 1 do 17:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Kako između njih staviti znakove + i - da bi
rezultat bio 0 ?
Može li se to?
Rješenje
Nemoguće je tako postići rezultat 0.
Naime, prvi broj, broj 1 je neparan. Kad mu dodamo ili
oduzmeno paran broj 2, i rezultat će biti neparan.
Nakon toga dodajemo ili oduzimamo neparan broj 3, čime
se parnost rezultata mijenja u paran, i ostaje takva i nakon
dodavanja ili oduzimanja idućeg parnog broja (4). Itd.
Dakle, parnost rezultata mijenja se samo
dodavanjem/oduzimanjem neparnih brojeva.
Ovdje imamo 9 neparnih brojeva. Zbrajanjem/oduzimanjem
zadnjeg, rezultat će postati neparan, pa ne može biti 0.
Zadatak 10.
Zadani su brojevi od 1 do 2005.
1 2 3 4 5 6 ... 2003 2004 2005
Kako između njih staviti znakove + i da bi rezultat bio 0 ?
Može li se to?
Rješenje
Ne može.
Obrazloženje je slično kao u prošlom zadatku.
Parnost rezultata mijenja se samo dodavanjem ili
oduzimanjem neparnog broja.
Ovdje imamo 1003 neparna broja.
Kod prvog od njih (broja 1) rezultat je neparan, kod
drugog neparnog broja (broja 3) je paran, kod
trećeg neparnog (broja 5) je neparan, kod četvrtog
je paran itd., pa će kod 1003. neparnog broja (broja
2005) rezultat biti neparan. Stoga on ne može biti 0.
Autorica prezentacije:
Inna Shapiro
Originalnu prezentaciju na engleskom jeziku
možete naći na:
http://www.raisesmartkids.net/
Prevela s engleskog: Antonija Horvatek
Najtoplije zahvaljujem kolegici Inni Shapiro na dopuštenju da ovu
prezentaciju stavim na svoje web stranice.
Antonija Horvatek
Matematika na dlanu
http://www.antonija-horvatek.from.hr/