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ELG3575
5. Signaux en bande
passante
Pré-enveloppe positive
• Soit x(t) un signal réel avec une transformée de Fourier X(f).
• Nous définissons x+(t) comme la pré-enveloppe positive du
signal x(t).
• Le spectre de la pré-enveloppe positive est nulle pour les
fréquences négatives et proportionnel au spectre de x(t) pour
les fréquences positives.
• Le spectre de la pré-enveloppe positive est :
 2 X ( f ),

X  ( f )   X ( 0 ),
 0 ,
f 0
f 0
f 0
Pré-enveloppe positive
• Nous pouvons démontrer que X+(f) = X(f) + sgn(f)X(f) = X(f) + j(jsgn(f)X(f)) = X(f) + jXh(f) où Xh(f) = F{xh(t)}.
• Alors
x  ( t )  x ( t )  jx h ( t )
Exemples
• Trouvez la pré-enveloppe positive de x(t) = cos(2pfct).
• Trouvez la pré-enveloppe de y(t) = sinc(t).
– SOLUTION
• On sait que xh(t) = sin(2pfct), alors x+(t) = cos(2pfct)+jsin(2pfct).
• Alors x+(t) = ej2pfct.
• Pour y+(t) il faudra trouver Y+(f).
• Y(f) = P(f), alors Y+(f) = 2P(2(f-¼)). Alors y+(t) = F-1{Y+(f)} =
sinc(t/2)ej(p/2)t.
Pré-enveloppe négative
• La pré-enveloppe négative du signal x(t) est le signal dont son
contenu spectral est le spectre négatif de x(t).
 2 X ( f ),

X  ( f )   X ( 0 ),
 0,

f 0
f 0
f 0
• On voit que X+(f)+X-(f) = 2X(f), alors x+(t)+x-(t) = 2x(t).
• Alors x-(t) = x(t)-jxh(t).
Signaux en bande passante
• Le signal x(t) est un signal en bande passante si son spectre
est non-zéro dans la gamme de fréquences fc - (B/2) ≤ |f| ≤ fc +
B/2 où B est la largeur de bande de x(t) et B < fc.
|X (f)|
|X m |
-f c -B /2 -f c
-f c + B /2
fc-B /2
fc
fc+ B /2
f
Pré-enveloppe d’un signal en bande passante
• Prenons la pré-enveloppe du signal en bande passante x(t).
• |X+(f)| est démontré ci-dessous.
•
La pré-enveloppe x+(t) = x(t)+jxh(t).
|X + (f)|
2 |X m |
fc-B /2
fc
fc+ B /2
f
L’enveloppe complexe
• L’enveloppe complexe de x(t), ~x ( t ), est son équivalent en
bande de basse.
• C'est-à-dire que le spectre de ~x ( t ) a la même forme que celui
de x+(t), mais centré à f = 0.
• Alors, ~x ( t )  x  ( t ) e  j 2 p f c t
|F { x + (t) e  j 2 p f c t} |
2 |X m |
-B /2
B /2
f
L’enveloppe complexe
• Alors, nous définissons ~x ( t )  x  ( t ) e  j 2p f t comme l’enveloppe
complexe du signal en bande passante x(t).
• Nous voyons du spectre de ~x ( t )que la largeur de bande de
l’enveloppe complexe est B/2 pour un signal en bande passante
avec largeur de bande B.
c
La forme en quadrature d’un signal en bande
passante
~
 j 2p f c t
• Si x ( t )  x  ( t ) e
j 2p f t
• Alors x  ( t )  ~x ( t ) e c
• Aussi x ( t )  Re{ x  ( t )}
• Alors x ( t )  Re{ ~x ( t ) e j 2p f c t }  Re{ ~x ( t )} cos 2p f c t  Im{ ~x ( t )} sin 2p f c t
• Un signal en bande passante peut être exprimé dans la forme
x ( t )  x I ( t ) cos 2p f c t  x Q ( t ) sin 2p f c t
• Où
~
~
x
(
t
)

Im{
x ( t )}
x I ( t )  Re{ x ( t )} et
Q
Exemple 1
• x(t) = Acos(2pfct+f).
• Trouvez son enveloppe complexe ainsi que sa forme en
quadrature.
– SOLUTION
• X(f) = (1/2)ejfd(f-fc)+(1/2)e-jfd(f+fc)
• X+(f) = ejfd(f-fc)
~
jf
X ( f )  X  ( f  fc )  e d ( f )
~
x (t )  e
jf
 cos( f )  j sin( f )
• Alors x(t) = xI(t)cos(2pfct)-xQ(t)sin(2pfct) = cos(f)cos(2pfct)sin(f)sin(2pfct).
Exemple 2
• y(t) = 100sin(2p(fc-f1)t)+500cos2pfct+100sin(2p(fc+f1)t).
• Y(f) = -j50d(f-fc+f1)+j50d(f+fc-f1)+250d(f-fc)+250d(f+fc)j50d(f-fc-f1)+j50d(f+fc+f1).
• Y+(f) = -j100d(f-fc+f1) +500d(f-fc)-j100d(f-fc-f1)
~
Y ( f )  Y  ( f  f c )   j100 d ( f  f 1 )  500 d ( f )  j d ( f  f 1 )
~
y ( t )  500  j 200 cos( 2p f 1 t )
• y(t) = 500cos(2pfct)+200cos(2pf1t)sin(2pfct)