Transcript 10 FM

ELG3575
10. La modulation FM à
large bande
La modulation de fréquence à large bande
(« Wideband FM » - WBFM)
• La modulation FM à bande étroite exige que bF << 1.
• Alors tous les signaux FM pour lesquelles ce n’est pas vrai sont
considérés d’être la modulation à large bande.
• Cependant, typiquement bF > 1
• Pour la modulation FM à large bande, la largeur de bande du
signal modulé est plus large que la modulation des signaux FM
à bande étroite parce que Dfmax est plus grande.
• Alors, le spectre d’un signal FM à large bande est non zéro sur
une plus grande gamme de fréquences.
Signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt et son
enveloppe complexe.
• Prenons l’exemple où m(t) = Amcos2pfmt.
• Le signal FM est :
s FM
Am k f


( t )  Ac cos  2 p f c t 
sin  2 p f m t   Ac cos 2 p f c t  b F sin  2 p f m t 
fm



s FM ( t )  A c Re e
j  2 p f c t  b F sin  2 p f m t  
s FM ( t )  Re{ ~
s FM ( t ) e
~
s FM ( t )  A c e
j 2pf c t
j b F sin( 2 p f m t )
}

La série de Fourier de l’enveloppe complexe
du signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt.
• L’enveloppe complexe du signal FM dans ce cas est un signal
périodique avec fréquence fondamentale fm.
~
s FM ( t ) 


~
Sne
j 2 p nf m t
n  
où
~
Sn
1 / 2 fm

fm

Ac e

Ac e
1 / 2 f m
1 / 2 fm

fm
1 / 2 f m
j b F sin( 2 p f m t )
e
 j 2 p nf m t
j ( b F sin( 2 p f m t )  2 p nf m t )
dt
dt
La série de Fourier de l’enveloppe complexe
du signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt.
~
• En remplaçant 2pfmt par x, S n devient
Ac
~
Sn 
2p
p
e
j ( b F sin x  nx )
dx
p
• La fonction de Bessel du premier genre d’ordre n, Jn(b) est
donnée par :
J n (b ) 
• Alors
1
2p
p
e
j ( b sin x  nx )
p
~
S n  Ac J n ( b F )
dx
La série de Fourier de l’enveloppe complexe
du signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt.
• Alors l’enveloppe complexe peut être exprimé par

~
s FM ( t ) 

Ac J n ( b F )e
j 2 p nf m t
n  
• Et le signal FM est:
s FM ( t )
j 2pf c t

Re{ ~
s FM ( t ) e

 
Re   A c J n ( b F ) e
 n  



n  
}
j ( 2 p f c t  2 p nf m t )



A c J n ( b F ) cos( 2 p ( f c  nf m ) t )
Le spectre du signal WBFM quand m(t) =
Amcos2pfmt.
• Le spectre de ce signal est :
S FM ( f ) 
Ac
2


J n ( b F )  ( f  f c  nf m )   ( f  f c  nf m ) 
n  
• Cette expression démontre que le spectre du signal FM consiste
d’un nombre infini d’impulsions aux fréquences f = fc+nfm.
• Alors la largeur de bande théorique d’un signal FM est infinie.
• Cependant, des propriétés de la fonction de Bessel du premier
genre, la plupart des impulsions de l’expression ci-dessus ne
contribuent pas beaucoup à la puissance du signal FM.
• Nous définissons la largeur de bande pratique d’un signal d’être
la largeur de bande qui au moins 99% de la puissance totale du
signal.
La fonction Jn(b)
1
n=0
0.8
n=1
0.6
n=2
n=3
0.4
J n(b )
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-20
-15
-10
-5
0
5
b
10
15
20
Les propriétés de Jn(b)
1) Si n est un entier :
Jn(b) = J-n(b) pour n paire
et
Jn(b) =-J-n(b) pour n impaire
2) Quand b << 1
J 0( b) ≈ 1
J1(b) ≈ b/2
et
Jn(b) ≈ 0, n > 1

3) 
n  
J n (b )  1
2
4) Im{Jn(b)}=0
Puissance du signal FM
• La puissance d’un signal FM est :
2
Ac
P FM 
2

s FM ( t )


A c J n ( b F ) cos( 2 p ( f c  nf m ) t )
n  
• Si on trouve la puissance à partir de l’expression ci-dessus, on
trouve:
2
P 
Ac
2


n  
J n (b F )
2
Filtrage d’un signal FM pour limiter sa largeur
de bande.
B
s FM (t ) 


x (t)
A c J n ( b F ) co s( 2 p ( f c  n f m ) t )
n  
-f c
fc
f
Nous voulons choisir B pour que la puissance de x(t)
soit au moins 0.99× la puissance de sFM(t).
X
x (t ) 

A c J n ( b F ) cos( 2 p ( f c  nf m ) t )
n X
où X est la plus grande valeur de n qui satisfait les relations :
f c  Xf
m
 fc 
B
2
et
f c  Xf
m
 fc 
B
2
• La puissance de x(t) est :
2
Px 
X
Ac
2

J n (b F )
2
n X
• Alors, on doit choisir X pour que :
X

J n ( b F )  0 . 99
2
n X
• On sait que Jn2(bF) = J-n2(bF). Alors
X
J ( b F )  2  J n ( b F )  0 . 99
2
0
2
n 1
Valeurs de la fonction Jn(b).
n
b=0.1
b=0.2
b=0.5
b=1
b=2
b=3
b=5
b=10
0
0.997
0.99
0.938
0.765
0.224
-0.2601
-0.178
-0.246
1
0.05
0.1
0.242
0.44
0.577
0.3391
-0.323
0.043
2
0.001
0.005
0.031
0.115
0.353
0.4861
0.047
0.255
3
2×10-5≈0
1.6×10-4
0.0026
0.02
0.129
0.3091
0.365
0.058
0.002
0.034
0.1320
0.391
-0.220
5
0.007
0.0430
0.261
-0.234
6
0.001
0.0114
0.131
-0.014
0.0025
0.053
0.217
8
0.018
0.318
9
0.006
0.292
10
0.001
0.207
4
7
11
0.123
12
0.063
13
0.029
Exemple
•
•
Le signal m(t) = Amcos(2pfmt) va être transmis en utilisant la
modulation FM. Trouvez la largeur de bande pratique pour
(a) Am = 5V, fm = 20 Hz et kf = 4 Hz/V
(b) Am = 10V, fm = 400 Hz et kf = 200 Hz/V.
SOLUTION
(a) Dans cette exemple, bF = (5)(4)/(20) = 1. On doit trouver X
X
2
J
(
b
)

2
pour que S = 0 F  J n2 ( b F )  0 .99 . Du tableau, si X = 1, S =
n 1
2
2
(0.765 +2×0.44 )=0.9648. Si X = 2, S = 0.9648+2×0.1152 =
0.9912. Alors X = 2 et B = 4fm.
(b) Ici, bF = (10)(200)/(400) = 5. Il faut que X = 6, pour que S =
0.994. Alors B = 12fm.
La règle de Carson
• Pour m(t) = Amcos(2pfmt), si nous évaluons la largeur de bande
pour chaque b où b est un entier, on trouve que X = b+1.
• Alors, on estime la largeur de bande pratique du signal FM B =
2(bF+1)fm.
• Pour n’importe quel signal m(t) avec valeur maximum Am et
largeur de bande Bm, la largeur de bande du signal modulé est
difficile à trouver.
• Mais le pire cas, c’est quand c’est quand le spectre du signal
m(t) est concentré autour de la fréquence f = Bm (comme une
onde sinusoïdale).
• Alors, la largeur de bande d’un signal FM, BFM, qui transmet le
signal m(t) est estimée par la loi de Carson qui dit :
B FM  2 ( b F  1) B m
(*****)