Kepler törvények, az égitestek mozgása

Készítette: Szalai Tamás (csillagász, PhD-hallgató, SZTE) Lektorálta: Dr. Szatmáry Károly (egy. docens, SZTE Kísérleti Fizikai Tsz.) 2011. március

• • A XVII. század elejéig teljesen rossz elképzelések éltek az emberekben az égitestek mozgását illetően (Föld középpontú világkép, körpályák, bonyolult mozgástörvények).

Kopernikusz

ugyan rávilágított, hogy a bolygók a Nap körül keringenek, de mozgásukat ő sem tudta helyesen leírni (körpályákat használt).

•

Johannes Kepler

(1571 1630) német matematikus, csillagász írta le elsőként az égitestek helyes mozgástörvényeit (egykori mentora, Tycho Brahe észlelési adatait felhasználva).

• Az ő munkájából nőtt ki később az

égi mechanika

tudománya, ami segített nagyon pontosan meghatározni az égitestek mozgását, és eszközöket juttatni a világűrbe.

Kepler I. törvénye:

A bolygók olyan ellipszispályákon keringenek, amelyek egyik gyújtópontja (fókuszpontja) a Nap középpontjában van.

Kepler II. törvénye:

A bolygók vezérsugara (a bolygó és a Nap közötti szakasz) egyenlő idők alatt egyenlő területeket „súrol”. (A bolygók napközelben gyorsabban mozognak, mint naptávolban.)

Kepler III. törvénye:

A bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint az ellipszispályák nagytengelyeinek köbei:

Kicsit részletesebben a III. törvényről

• Vegyük egy m 2 test körül keringő, előbbihez képest elhanyagolható tömegű m 1 test körpályán történő mozgását: Azaz ha pl. a Nap körül keringő égitesteket nézzük, akkor r 3 /T 2 egy konstans érték → vagyis a keringési idő ismeretében kiszámítható az átlagos Nap bolygó távolság.

• A törvény általános formulája (ellipszis alakú pálya, nem elhanyagolható tömegek):

Az égitestek mozgása

• Az égi mechanika törvényeiből levezethető, hogy az égitestek mozgása kúpszelet alakú pályán történik. Ez lehet:

ellipszis

(e < 1) – az összenergia negatív (speciális eset:

kör

, e=0) • •

parabola

(e =1) – az összenergia nulla

hiperbola

(e > 1) – az összenergia pozitív (ahol

e

a pálya lapultsága)

Műholdak és űrszondák pályái

• A műholdak és űrszondák sokféle pályán helyezkednek el, és rendkívül sokrétű feladatot láthatnak el. Ahhoz, hogy egy testet Föld körüli pályára állítsunk, vagy a bolygóközi térbe küldjünk, a különböző, ún.

kozmikus sebességeknél

nagyobb értékre kell felgyorsítanunk azt.

•

I. kozmikus sebesség

(körsebesség)

:

Az a sebesség, mellyel indítva egy test (pl. műhold) az adott égitest (pl. a Föld) körüli pályára képes állni. Körpálya esetén a testet pályán tartó centripetális erő egyszerűen felírható: •

II.

kozmikus sebesség

(szökési sebesség): Az a minimális sebesség , mellyel egy test eltávolodhat az adott égitesttől. Ehhez a test mozgási energiájának legalább akkorának kell lennie, mint a lokális gravitációs potenciális energia: • Szokás még definiálni ún. III. és IV. kozmikus sebességet is, melyek a Naprendszer, illetve a Tejútrendszer elhagyásához szükséges minimális sebességeket jelentik (Földről indított űrszonda esetében ezek értéke 16,6 km/s, ill. ~ 500 km/s).

Föld körül keringő műholdak pályái

• • • A Föld körül keringő műholdak és egyéb égitestek különböző pályákon mozoghatnak. A pályák csoportosítása elsősorban az egyes pályaelemek alapján történik: excentricitás (e) alapján: körpálya (e=0), elliptikus pálya inklináció (i, pályahajlás) alapján: egyenlítői pálya (i=0 fok), közepes inklinációjú pálya, poláris pálya (i=90 fok) félnagytengely (h, magasság) alapján: LEO (Low Earth Orbit, 0 < h < 2000 km), MEO (Medium Earth Orbit, 2000 km < h < 35 768 km), GEO (Geosynchronous Earth Orbit, h = 35 768 km), HEO (High Earth Orbit, h > 35768 km)

•

Speciális pályák: Geoszinkron pálya:

ennek jellegzetessége, hogy a rajta mozgó műhold keringési ideje megegyezik a Föld tengelyforgási idejével (T = 24 óra = 86400 s). Körpályán, az Egyenlítő síkjában keringő műhold

geostacionárius pályán

mozog (így mindig a Föld egy adott pontja fölött tartózkodik, sok távközlési műhold ilyen).

Kepler III. törvénye alapján a félnagytengely: a = 42 164 km, a földfelszín feletti magasság pedig: • h = a – R Föld = 42 164 km – 6376 km =

35 768 km

.

További speciális pályák: napszinkron pálya (az adott terület a műhold fölött mindig ugyanabban a napszakban repül el), különböző távközlési és navigációs műholdcsaládok pályái (GPS, Molnyija stb.)

Űrszondák pályái

• A bolygóközi térben mozgó űrszondák számára két fontos tényező alakítja ki a pályák alakját: vagy a

legrövidebb idő alatt

, vagy a

legkisebb energiafogyasztással

kell eljutniuk céljukhoz.

Utóbbi eset hátránya, hogy egyrészt nem a leggyorsabb úton juttatja a szondát a célbolygóhoz, másrészt az indítás általában nem történhet tetszőleges időpontban, csak az ún.

indítási ablakok

ban.

Egy speciális, energiaminimumos pálya, az ún. Hohmann-ellipszis a Föld és a Mars között

A bolygóközi repülések során az ún.

gravitációs hintamanőverek

révén lehetőség van a szondák sebességének ill. a mozgás irányának megváltozta tására. Ekkor a szondának szorosan meg kell közelítenie egy bolygót, de úgy, hogy sebessége még meghaladja az ottani szökési sebességet. Így a szonda sebessége – a bolygó gravitációs teréből nyert impulzus momentum révén – nagyobb lesz, mint eredetileg volt. Ha az a cél, hogy a szonda pályára álljon a bolygó körül, akkor a relatív sebességet fékezéssel csökkenteni kell.

Gyorsítás (fent) ill. lassítás (lent) a gravitációs hinta manőver segítségével

Hasznos információforrások: Könyvek: • Univerzum (2006, IKAR, szerk.: M. Rees) • SH Atlasz – Csillagászat (2002, Athenaeum 2000, szerk.: J. Herrmann) • Amatőrcsillagászok kézikönyve (2009, MCSE, szerk.: Mizser A.) MCSE Meteor havi folyóirat + Csillagászati évkönyvek Feltárul a Világegyetem – Természet Világa különszám (2009) • Internet: tudasbazis.csillagaszat.hu

• • • • hirek.csillagaszat.hu

www.urvilag.hu

www.mcse.hu

(Magyar Csillagászati Egyesület oldala) astro.u-szeged.hu

(Szegedi Csillagvizsgáló oldala) • http://astro.u-szeged.hu/oktatas/csillagaszat.html

Letölthető segédanyag!

icsip.elte.hu

(ELTE interaktív csillagászati portál)