串聯諧振

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第十二章 諧 振 電 路
12-1
12-2
12-3
12-4
LC諧振電路
串聯RLC諧振電路
並聯RLC諧振電路
實用並聯諧振電路
12-1 LC諧振電路
(1)L-C串聯諧振電路:
將純電感及純電容兩者串聯如下圖所示,知
感抗 XL  jwL 容抗 Xc   j 1 ,總組抗 Z  jwL  j
wc
I
XL L
V
f可變
Xc
C
1
wc
串聯諧振電路頻率與阻抗的關係式
(1)當頻率f由0Hz增加到fo(諧振頻率)時,
Xc大於XL,屬於電容性電路,阻抗Z慢慢減
少,電流增加。
(2)當f=fo時,Xc=Xl,Z阻抗等於0,由歐姆
定律 I  V
可以知道電流會接近無限大。
Z
(3)當f > fo時,Xc < XL,屬於電感性電路,
且阻抗Z又慢慢的增大了,電流隨之變小。
從以上關係式我們可以畫出L-C串聯電路中,
電流對頻率的響應曲線圖,如下圖我們知
道當電源頻率為fo時,電流非常大,此情
況我們稱為L-C串聯諧振,其諧振條件為
1
XL=Xc,即
wL 
wc
2foL 
1
2foc
我們可以得諧振頻
1
率為 fo  2 LC
(2)L-C並聯諧振電路:
將L-C兩者並聯,如下圖所示,我們知感納
1
1 ,容納
,總導納
Y

jwc

j
BC  jwc
BL   j
wL
wL
I
L
V
f可變
BL
C
BC
並聯諧振電路頻率與導納的關係式
(1)當頻率f由0Hz增加到fo(諧振頻率)時,BL大於Bc,
屬於電感性電路,導納Y慢慢減少,電流也減少。
(2)當f=fo時,BL=Bc,導納Y等於0,由歐姆定律
I  VY  V  0  0 安培,此時電源電流為0,
注意:此時電感及電容器尚有電流,只是兩者大
小相同,方向相反而已。
(3)當f > fo時,BL小於XL,屬於電容性電路,且導
納 Y又慢慢增加,電流隨之增加。
從以上關係式我們可以畫出L-C並聯電路中,
電流對頻率的響應曲線圖,如下圖我們知
道當電源頻率為fo時,電流為0,此情況我
們稱為L-C並聯諧振,其諧振條件為BL=Bc,
1
即
wL 
wc
2foL 
1
2foc
我們可以得諧振頻
率為
fo 
1
2 LC
12-2 串聯RLC諧振電路
一般R-L-C串聯時,阻抗受R-L-之影響比較大,
因 Z  R  j( XL  XC),如果使電路中感抗XL=容抗Xc,
虛數部分互相抵消,則阻抗 Z  R 為最小,線
路電流達到最大值,此時我們稱為串聯諧振。
而諧振頻率
fo 
1
2 LC
諧 振 阻 抗
R-L-C串聯阻抗為 Z  R  j( XL  XC)
在諧振條件XL=Xc 使得諧振阻抗Zo=R
R
V
XL
XL = Xc
Xc
諧 振 電 流
R-L-C串聯電路加上電壓V伏特,當在
諧振時阻抗最小,其諧振電流為最大。
V
V
Io 

安培
Zo
R
在非諧振頻率時,阻抗Z增大。
諧 振 各 元 件 端 電 壓
從上面幾點可知達諧振時Z=R
可得電阻器端電壓
VR  IoR  IoZo  V
即電阻器端電壓等於電源電壓。
電感端電壓 VL  IoXL
電容端電壓 Vc  IoXc
諧 振 時 功 率 及 功 率 因 素
諧振時阻抗Z=R,表示為純電阻性。電壓
與電流同相,相差角為0度,所以功率因
素:
PF  COS  COS 0  1
0
且串聯電路中只有電阻R消耗功率,諧振
電流Io=V/R之下,功率:
Po=Io2R=V2/R
波 形 寬 度(頻帶寬度)
從電流曲線中,諧振時電流最大,如果取諧振電流的
1 / 2 =0.707倍的電流,將可由兩個頻率f1和f2所產生
,這在頻率內電流較大,表示訊號較容易通過,在兩頻
率之外,訊號將被切除或衰減稱為f1為下截止頻率,f2
稱為上截止頻率,兩頻率的寬度,稱為波形寬度,以BW
來表示,故:
BW=(f2-f1)Hz
I
Io
0.707I
o
f1
fo
BW
f2
f
例 題 實 做
如下圖所示,求(1)諧振頻率,(2)諧振阻抗 ,(3)諧振
電流(4)諧振時各原件端電壓(5)諧振功率及因素
I
R
10歐姆
L
0.5H
V=100伏
f可變
C
200uf
解 答
(1)諧振頻率fo 

1
1
2 LC
 16Hz
2 0.5  200106
(2)諧振阻抗Z  R  10
V V 100
(3)諧振電流Io 
 
 10安培
Zo R 10
解 答
(4)各元件端電壓
電阻電壓VR  V  100伏
電感電壓VL  IoXL  Io  woL
 10 2 16 0.5  500伏
電容電壓VC  IoXC  VL  500伏
(5)諧振功率Po  Io R  10 10 
2
1000瓦特
功率因素pf  cos0  1
0
2
12-3 並 聯 R L C 諧 振 電 路
若將R-L-C並聯如下圖,亦得到的諧振現象,稱
為R-L-C並聯諧振,並聯諧振阻抗、電流、對頻
率響應,與串聯諧振完全相反,故又稱反諧振。
I
IR
V
f可變
R
IL
G=1/R XL
IC
BL
Xc
BC
並 聯 諧 振 條 件
R-L-C並聯電路中,其導納:
Y  G  j(BC  BL)υ
欲達諧振時必須使虛數部分為0,即BLBc=0 或BL= Bc 而諧振頻率
fo 
1
2 lc
Hz
並 聯 諧 振 導 納 及 阻 抗
R-L-C並聯電路的導納為
Y  G  j( Bc  BL)
在諧振條件下BL=Bc,得諧振導納:
1
Y G 

R
而諧振阻抗:
Z 0  1 / Y  R
諧 振 電 流
R-L-C並聯電路加上電源電壓V伏特,當諧振
時阻抗Zo=R最大,其諧振電流為最小。
V V
Io 
  VYo  VG 安培
Zo R
在非諧振頻率時,阻抗Z變小,線路電流I
變大。如下圖所示:
並 聯 諧 振 各 元 件 電 流
R-L-C並聯諧振時Yo=G ,Zo=R,總電流
Io = VYo=VG 或 Io=V/Zo=V/R
V
 Io
電阻器之電流為: IR 
R
電感器之電流為:
V
IL  VB L 
XL
V
電容器之電流為: Ic  VB c  Xc
功 率 及 功 率 因 素
R-L-C並聯諧振時,Ys = G,Zs = R ,表示電
路為純電阻性,電壓與電流相同角,相角差為
0度。所以功率因素:
PF  COS  COS 0  1
0
在電路中只有電阻R有消耗功率,諧振電流Io=
V/R=VG=IR之下,功率為:
Po  Io R  IR
2
2
2
V
R
R
例 題 實 做(2)
如下圖所示,求(1)諧振頻率(2)諧振阻抗(3)諧振
導納(4)諧振電流(5)諧振時各元件的電流(6)諧振
功率及功率因素
I
IR
V=200伏
R
50k歐姆
IL
XL
IC
L Xc
4H
C
200
uf
解 答
(1)諧振頻率fo 
1
2 LC
1
1


 8Hz

3
2 4  (100106 ) 2  2010
(2)諧振阻抗Z  R  50k
1
1
(3)諧振導納Yo  G  
 0.02m
3
R 5010
解 答
( 4 ) 諧振電流 Io 
V
V
200


 4 mA
3
Zo
R
50 揆10
( 5 ) 各元件電流
V
200


 4 mA  Io
IR
3
R
50 揆10
V
200


1A
IL
XL
2  揆8 揆4
V

 IL  1 A
IC
Xc
3 2
2
揆


( 6 ) 諧振功率 Po IR R ( 4 10 ) 揆50 揆
103  0 . 8 瓦特
0

1
pf
cos
0
功率因素
12-4 實 用 並 聯 諧 振 電 路
實用電感器:前面所述電感器皆為理想電感器,
即內阻為零的電感器,但實際上電感器是由線圈
導線所繞成,因此,電感器內部包括有導線電阻
的存在,而且電阻值R與純電感量L可視為串連電
路,其等效電路如下:
R
電感器
L
實用電容器:由電容器的構造,我們可知電容
器的引接線及極板,雖有電阻值存在,但值甚
小,可以忽略。因此電容器可視為內部極板電
阻為零的理想電容器。
實 用 L-C 並 聯 諧 振 電 路
將電容器C與電感器L並聯,其等下電路如下,
其諧振頻率,經公式的推導可得
1
fo 
2 LC
R 2C
1
Hz
L
I
R
V
C
L
實
際
電
感
器
在實用方面:品質因素大於10時,其L比C之值
甚大,使 R2C / L 甚小可以忽略,因此,當Q<10
時才使用上面公式(
1
fo 
2 LC
R 2C
1
Hz
L
)計算
諧振頻率,當Q>10時將 R2C / L 省略,可使用
fo 
1
2
LC
來計算。
實 際 L-C 並聯諧振電路的特性
(1)諧振頻率
Q  10時,fo 
1
2
LC
1
Q  10時,fo 
2 LC
R 2C
1
L
(2)諧振導納
R
R
Yo  2
 2
為最小
2 2
2
R  ws L
R  XLO
(3)諧振阻抗
1
R  XLO
XLO
ZO 

 R
為最大
R
R
YO
2
2
2
(4)諧振電流
V
R
IO 
 V YO  V  2
為最小
R  XLO
Z
(5)諧振功率因素
諧振時電壓與電流同相,功率因素為1
當f  fo時為電阻性,f  fo時為電感性,
f  fo時為電容性。