Transcript Jawab

GELOMBANG MEKANIK
 GELOMBANG PADA TALI/KAWAT
• Gelombang mekanik dapat menjalar sepanjang
tali atau kawat bila direntangkan (diberi
tegangan)
• Pada saat gelombang menjalar, setiap bagian tali
melakukan gerakan vertikal
– Gelombang perpindahan/simpangan
– Termasuk gelombang transversal
Sebuah segmen tali yang mengalami perpindahan vertikal
T
1
T sin 2
(x)
2
(x + x)
T
T sin 1
x
 F  T (sin  2  sin  1 )
sin   tg 
tg  2 

x
 F T ( tg  2  tg  1 )
tg  1 
x  x

x

x
 
F  T 
 x



 x x 

x  x

x

x  x

x

x

2
x
2
T
2
x
2

x

x
x  x
 F  m a   L x
Hukum Newton

f
f ( x  x)  f ( x) 
Deret Taylor
x   L x

2
t
2
c
 Kecepa tan gelombang
T
 Tegangan

2
t
2

2
t
2

x

x

x
x

2
x
2
F
T 
2
 L x
2
c
x
T
2

2
x
2

2
x
2
pada tali [ m / s ]
pada tali [ N ]
 L  Rapat massa linier tali [ kg / m ]
c
T
L
x
Contoh Soal 8.1
Suatu gelombang transversal menjalar sepanjang suatu kawat yang
mempunyai rapat massa sebesar 20 g/m. Kawat ini mendapat tegangan
sebesar 40 N. Amplituda dari gelombang ini adalah 5 mm dan
frekuensinya adalah 80 c/s. Nyatakan perpindahan  dan kecepatan
perpindahan v sebagai fungsi ruang dan waktu.
Jawab :
A  5 x10
c
T
L
3

T  40 N
m
40
20 x10
3
 L  20 x10
3
 
 44 , 7 m / s
f  80 Hz
kg / m
c

f
44 , 7
 0 ,56 m
80
  2  f  2  ( 80 )  503 rad / s
k 
2


2
0 ,56
 11 , 24 rad / m
 ( x , t )  A sin ( k x   t )
 ( x , t )  5 x10
v( x, t ) 

t
3
 5 x10
sin (12 , 24 x  503 t )
3
m
(  503 ) cos (12 , 24 x  503 t )
v ( x , t )   2 ,52 cos (12 , 24 x  503 t )
Contoh Soal 8.2
Sebuah osilator mekanik yang dihubungkan dengan ujung sebuah kawat
menyebabkan perpindahan transversal dari ujung kawat tersebut bergetar
dengan  = 0,01 sin (20 t) m
Tegangan pada kawat adalah 10 N dan kawat tersebut mempunyai rapat
massa sebesar 20 g/m. Hitung kecepatan, panjang gelombang, dan
frekuensinya.
Jawab :
 o  0 , 01 m
c
f 
T
L

2


  20 rad / s
10
20 x10
20
2
3
 L  20 x10
T  10 N
3
kg / m
 22 ,361 m / s
 3 ,18 Hz
 
c
f

22 ,361
3 ,18
 7 , 03 m
Contoh Soal 8.3
Sebuah kawat baja berdiameter 1 mm mendapat tegangan sebesar 10
N. Baja mempunyai rapat massa volume sebesar 7800 kg/m3. Hitung
kecepatan dari gelombang transversal yang menjalar sepanjang kawat
baja tersebut.
Jawab :
T  10 N
S 

D 
2
4
D  1 x 10

(1 x 10
3
3
)  0 , 785 x10
2
6
m
2
4
 L   V S  ( 7800 )( 0 , 785 x10
c
 V  7800 kg / m
m
3
T
L

6
)  6 ,126 x10
10
6 ,126 x10
3
 40 , 4 m / s
3
kg / m
Contoh Soal 8.4
Sebuah kawat baja berdiameter 0,8 mm digantungkan dari suatu atap
rumah. Baja mempunyai rapat massa volume sebesar 7800 kg/m3.
Bila sebuah massa sebesar 5 kg digantungkan pada ujung bebas dari
kawat tersebut, berapa kecepatan dari gelombang transversal yang
menjalar sepanjang kawat baja tersebut ?
Jawab :
D  0 ,8 x 10
S 

4
D 
2
3

m
 V  7800 kg / m
( 0 ,8 x 10
3
)  0 , 503 x10
2
m  5 kg
3
6
m
g  9 ,8 m / s
2
4
 L   V S  ( 7800 )( 0 ,503 x10
T  mg  5 ( 9 ,8 )  49 N
6
)  3 , 92 x10
c
T
L
3

kg / m
49
3 ,92 x10
3
 111 ,8 m / s
2
Contoh Soal 8.5
Seorang pemanjat tebing (climber)
bermassa 70 kg mengikatkan ujung
tali yang diulurkan oleh seorang
penolong (rescuer) pada badannya
seperti terlihat pada gambar di
samping ini. Tali tersebut terdiri dari
dua bagian yang berbeda. Tali sebelah
atas panjangnya 8 m dengan rapat
massa sebesar 200 g/m sedangkan tali
sebelah bawah panjangnya 4 m dengan
rapat massa sebesar 50 g/m. Pada saat
yang bersamaan kedua orang tadi
memberikan hentakan pada ujung tali
sebagai tanda siap. Tentukan jarak di
bawah penolong dimana kedua
gelombang ini saling berpapasan.
Jawab :
c2 
c2 
t2 
t1 
T
2
T
1

( 70 )( 9 ,8 )
 58 ,566 m / s
0,2

( 70 )( 9 ,8 )
 117 ,132 m / s  2 c 2
0 , 05
d
c2
1

2  d
c1
t1  t 2

c2

4

8d
2c 2
d
c2

10  d
c2
c2


10  d
c2
d  5m
Contoh Soal 8.6
Sebuah kawat bermassa 60 g sepanjang 3 m yang disambung dengan tali
bermassa 80 g sepanjang 1 m direntangkan horisontal dengan tegangan
sebesar 12,5 N oleh dua orang A (pada sisi kawat) dan B (pada sisi tali). Pada
saat yang hampir bersamaan A dan B memberikan hentakan pada ujung kawat
dan tali sehingga terdapat dua buah gelombang yang merambat di dalam
kawat dan tali tersebut. Bila A lebih dahulu 20 ms memberikan hentakan
tersebut, kapan dan dimana kedua gelombang tersebut berpapasan ?
Jawab :
 L1 
c1 
60 x 10
3
 20 x 10
3
kg / m
3
3
T
 L1

12 , 5
20 x 10
3
 25 m / s
 L2 
80 x 10
c1 
T
3
 80 x 10
3
kg / m
3
1
 L2

12 ,5
80 x 10
3
 12 ,5 m / s
3-x
x
3m
t 1  0 , 020 
t2 
1
12 ,5
t1  t 2
x 

3x
1m
 0 , 020  ( 3  x )( 0 , 040 )  0 ,140  0 , 040 x
25
x
 0 , 080  0 , 040 x
25

0 , 060
0 , 080
0 ,140  0 , 040 x  0 , 080  0 , 040 x
 0 , 75 m


0 , 080 x  0 , 060
t  0 , 080  0 , 040 ( 0 , 75 )  0 ,110 s  110 ms
 Pemantulan dan Transmisi Gelombang Tali
- Impedansi Mekanik = Rapat Massa x Kecepatan Gelombang = L c
- Faktor Refleksi R dan Faktor Transmisi T
R 
AR

A0
R
T
=
=
Z1  Z 2
Z1  Z 2
T 
AT

A0
2 Z1
Z1  Z 2
Faktor refleksi
Faktor transmisi
Z1, Z2 =
Impedansi mekanik tali 1 dan tali 2
Ao
=
Amplituda gelombang yang datang
AR
=
Amplituda gelombang yang dipantulkan ke tali 1
AT
=
Amplituda gelombang yang diteruskan ke tali 2
R 
AR

A0
Z1 < Z2
Z1  Z 2
Z1  Z 2
T 
AT
A0

2 Z1
Z1  Z 2
Z1 > Z2
Contoh Soal 8.7
Sebuah tali sepanjang 5 m dengan rapat massa sebesar 80
gram/m disambung dengan tali lain yang lebih kecil sepanjang 2
m dengan rapat massa sebesar 20 gram/m. Kedua tali ini
direntangkan dengan tegangan sebesar 200 N. Ujung tali yang
lebih besar digetarkan oleh suatu osilator mekanik. Bila osilator ini
bergetar dengan frekuensi 5 Hz dan amplituda sebesar 10 cm,
tentukan :
a). Daya rata-rata dari osilator mekanik.
b). Amplituda gelombang yang dipantulkan dan yang diteruskan.
Jawab :
c1 
c2 
a ).
b ).
T
 L1

T
L2
Pav 
R 
T 
200
80 x 10
3
200

20 x 10
1
2
R
o
T
o
 50 m / s
3
 100 m / s
 L1c 1  
2



2
o
Z1  Z 2
Z1  Z 2
2 Z1
Z1  Z 2


1
Z 1   L 1 c 1  ( 80 x 10

3
)( 50 )  4 kg / s
Z 2   L 2 c 2  ( 20 x 10
3
)( 100 )  2 kg / s
( 4 )( 10  ) ( 0 ,10 )  19 , 74 W
2
2
2
42
42
2(4)
42

1

3

4
3

R 
1
T 
4
(12 )  4 cm
3
3
(12 )  16 cm
 Pantulan dan transmisi pada ujung terikat dan ujung bebas
• ujung terikat: gelombang pantul mengalami pembalikan
fasa 1800
yd=Asin(kx-t)
yp=Asin(-kx- t+1800)
ys=2Acostsinkx
• Ujung bebas gelombang pantul tidak mengalami
pembalikan fasa
yd=Asin(kx-t)
yp=Asin(-kx- t)
Ys=-2Acos(kx)sin(t)

Superposisi Gelombang
- Tergantung pada amplituda dan beda fasa dari kedua
gelombang
• Dua gelombang dengan amplitudo dan sudut fasa sama
y 1  A sin( kx   t )
y T  2 A sin( kx   t )
y 2  A sin( kx   t )
• Dua gelombang: amplitudo berbeda, sudut fasa sama
y 1  A1 sin( kx   t )
y 2  A 2 sin( kx   t )
y T  ( A1  A 2 ) sin( kx   t )
• Dua gelombang: amplitudo sama, sudut fasa beda
y 1  A sin( kx   t )
y 2  A sin( kx   t   )
y T  A[sin( kx   t )  sin( kx   t   )]
• Dua gelombang: amplitudo sama, frekuensi sama, bilangan
gelombang berbeda
y 2  A sin( k 2 x   t )
y 1  A sin( k 1 x   t )
y T  A [sin( k 1 x   t )  sin( k 2 x   t )]
• Dua gelombang: amplitudo sama, frekuensi berbeda, bilangan
gelombang sama
y 1  A cos( kx   1 t )
y 2  A cos( kx   2 t )
y T  A[cos( kx   1t )  cos( kx   2 t )]
• Dua gelombang: amplitudo sama, frekuensi dan bilangan
gelombang berbeda
y 1  A cos( k 1 x   1t )
y 2  A cos( k 2 x   2 t )
y T  A[cos( k 1 x   1t )  cos( k 2 x   2 t )]
 Fasor
• Prinsip diagram fasor: menggambarkan fungsi gelombang
sebagai suatu vektor
contoh:
y 1  A1 cos( kx   t   1 )

y 1  A1   1
Gelombang dinyatakan sebagai vektor dengan panjang A1 dan
membentuk sudut 1=kx-t+1 terhadap sumbu horizontal.
y 2  A 2 cos( kx   t   2 )

y 2  A2   2
• Nilai x dan t bisa sembarang, jadi boleh dipilih
saat x=0 dan t=0.
• Diagram fasor:
AT
A2
2
A1
T
1
Perhitungan Fasor



y T  y 1  y 2  A T cos( kx   t   T )
AT 
Ax  A y
2
tan  T 
2
Ay
Ax
A x  A1 cos  1  A2 cos  2
A y  A1 sin  1  A 2 sin  2
Contoh Soal 8.8
Dua buah gelombang masing-masing
y1(x,t)=40cos(10x-100t)
y2(x,t)=30cos(10x-100t+600)
Tentukan superposisi dua gelombang tersebut
Jawab :
Gelombang Superposisi :
yR(x,t)=ARcos(10x-100t+R)
AR 

A1  A 2  2 A1 A 2 cos 60
2
2
3700  60 ,8
tan  R 
A 1 sin  1  A 2 sin  2
A 1 cos  1  A 2 cos  2
 0 , 47

 R  25 , 3
o
A2
R
A1
AR
Contoh Soal 8.9
Dua buah gelombang, masing-masing
y1=40sin(x-100t), y1=60cos(x-100t+60)
Tentukan gelombang superposisinya
Jawab :
Gelombang superposisi akan berbentuk
yR=ARcos(x-100t+R)
Semua persamaan diubah ke dalam bentuk cosinus.
y1=40sin(x-100t)=40cos(x-100t-900)
y2=60cos(x-100t+600)
A x  60 cos 60  40 cos(  90 )
 30
60
600
-900
40
32
A y  60 sin 60  40 sin(  90 )
 30
3  40  12
AR 

Ax  A y
2
2
900  144
 32

R
 tan
1
 12 
0

  22
 30 
Gelombang superposisi: yR=32cos(x-100t+220)
Contoh Soal 8.10
Tiga buah gelombang masing-masing
y1=40cos(kx-t+60), y2=20cos(kx-t+300)
y3=10sin(kx-t+900)
Tentukan persamaan gelombang superposisi
Jawab :
A y  10 sin 0  20 sin 30  40 sin 60  45
40
A x  10 cos 0  20 cos 30  40 cos 60  47
 R  tan
1
 Ay 
0

  46
 Ax 
20
10
Superposisi gelombang: yR=65cos(kx-t+460)
 Perlayangan gelombang
y 2  A sin( k 2 x   2 t )
y 1  A sin( k 1 x   1t )
y T  A[sin( k 1 x   1t )  sin( k 2 x   2 t )]
 2 A sin
 2 A sin
1
2

k 1 x   1t  k 2 x   2 t  cos 12 k 1 x   1t  k 2 x   2 t 
k1  k 2
2
x
1   2
2
 
t cos
k1  k 2
2
x
1  2
2

Jika 2= , 1-2=, dengan 0, dan k2=k, k1-k2 = k dengan
k0 maka :
1   2
2

k1  k 2
2
 k
y T  2 A cos( kx   t ) sin
Kecepatan fasa:
vf 

k

k
2


2

Kecepatan group:
vg 
d
dk
 Gelombang Berdiri
- Superposisi gelombang datang dan gelombang pantul pada tali
menghasilkan gelombang berdiri
- Amplituda gelombang di perut maksimum, amplituda gelombang
disimpul nol
- Contoh lain gelombang berdiri: getaran dawai gitar, getaran pada
pipa organa
y 1  A sin( kx   t )
y 2  A sin( kx   t )
y  A sin( kx   t )  A sin( kx   t )
 2 A sin kx cos(  t )
Letak simpul :
sin( kx )  0

kx  n  , n  0 , 1, 2 
 Tali dengan dua ujung terikat
- Frekuensi resonansi :

n

2
c
f

2
n
2
n

f 
c
2
n,
n  0 , 1, 2 , 3 
Contoh Soal 8.11
Sebuah gelombang berdiri dinyatakan dalam persamaan
y1=10sin10xcos100t. Tentukan:
a. Tempat terjadinya simpul
b. Tempat terjadinya perut
Jawab :
a. Terjadi simpul jika sin10x=0, atau 10x=2n
x=0,2n , dengan n=0,1,2,3,...
b. Terjadi perut jika sin10x=1 atau 10x=(2n+1)/2
x=(2n+1)/20 , dengan n=0,1,2,3,...
 Gelombang Teredam
z ( x , t )  Ae
x
sin( kx   t )
 = Faktor Redaman [m-1]
 Resonansi
• Terjadi pada saat frekuensi eksternal yang datang ke sistem
mempunyai nilai sama dengan frekuensi alamiah sistem
• Akan terjadi penguatan amplitudo
• Contoh: Suatu pipa berisi air yang ketinggian airnya bisa diatur.
Garpu tala digetarkan diujung pipa. Bunyi nyaring akan
terdengar pada saat frekuensi garpu tala tepat sama dengan
frekuensi partikel-partikel udara yang ada pada kolom udara
 Gelombang Seimik
Bila terjadi gempa yang berasal dari dalam bumi, maka terdapat dua jenis
gelombang yang menjalar kepermukaan :
• Primary wave, yaitu gelombang yang pertama kali datang dan berupa
gelombang longitudinal (kecepatan lebih tinggi)
• Secondary wave, yaitu gelombang yang datang belakangan dan berupa
gelombang transversal (kecepatan lebih rendah)
Contoh Soal 7.12
Bila terdapat suatu gempa, maka akan terjadi gelombang seismik di dalam bumi. Tidak
seperti dalam gas, di dalam tanah yang merupakan suatu padatan dapat terjadi baik
gelombang longitudinal (8 km/s) maupun gelombang transversal (4,5 km/s).
Gelombang longitudinal sering disebut sebagai gelombang P (Primary) karena sampai
ke seismograf terlebih dahulu sedangkan gelombang transversal sering disebut sebagai
gelombang S (Secondary) karena datang belakangan. Bila gelombang P sampai ke
seismograf 3 menit sebelum gelombang S datang, tentukan jarak antara seismograf dan
lokasi gempa. Prinsip yang sama juga digunakan oleh seekor kalajengking untuk
mendeteksi lokasi dimana mangsanya berada sehingga ia dengan mudah dapat
menangkapnya.
Seismograf
Jawab:
L
VL = 8 km/s
VT = 4,5 km/s
Gempa
tL 
L
VL
tT  tL 

tT 
L
VT

L
VL
L
VT

L
4500

L
 3 ( 60 )  180 s
8000
1 
 1
6
L

  L ( 97 , 2 x 10 )  180
8000 
 4500

L  1851 , 4 km
Contoh Soal 7.13
Seekor kalajengking dengan 8 kakinya
berada di atas pasir. Kecepatan
gelombang longitudinal di pasir adalah
150 m/s sedangkan kecepatan gelombang
transversalnya adalah 50 m/s. Seekor
kumbang yang bergerak di atas pasir di
sekitarnya, akan menghasilkan kedua
jenis gelombang yang dideteksi oleh
delapan kaki kalajengking sehingga arah
dari posisi kumbang diketahui. Bila
kedua gelombang yang dideteksi oleh
kaki kalajengking berselang waktu
sebesar 4 ms, berapa jarak kumbang dari
kalajengking
t 
d
50

d
150

2d
150

d  75  t  75 ( 4 ms )  30 cm