Transcript Динамика вращательного движения. Законы сохранения

Лекции по физике.
Механика
Динамика вращательного движения.
Гироскопы. Неинерциальные системы
отсчёта
Динамика вращательного движения

Для описания вращательного движения
вокруг неподвижной оси надо использовать
второй закон Ньютона в следующем виде:
=Mz/Jz
(1)
где Jz – момент инерции тела относительно
неподвижной оси z,  - угловое ускорение, Mz
– проекция момента силы:
(2)
M  rF
2
Динамика вращательного движения

В формуле (2) F –
это приложенная
сила, а r – радиусвектор,
проведённый от
оси вращения к
точке приложения
силы
3
Динамика вращательного движения

В случае действия на тело нескольких
внешних сил под М в (2) надо понимать
сумму моментов этих сил:
M 
M
i

i

 [r , F ]
i
i
i
В выражение (1) надо подставлять
проекцию суммарного момента силы на
ось вращения
4
Динамика вращательного движения


В общем случае вращающееся тело будет
оказывать воздействие на точки в которых
закреплена ось
Можно показать, что для любого твёрдого
тела существуют три оси, проходящих
через его центр масс, вокруг которых тело
может вращаться свободно, т.е. в точках
крепления таких осей силы не действуют.
Эти оси называют свободными осями
тела
5
6
7
Динамика вращательного движения

В более общем виде уравнение динамики
вращательного движения (1) может быть
записано как:
M 
d( J  )
(3)
dt

Момент инерции тела J определяется
распределением массы по объёму тела
8
Динамика вращательного движения


Момент инерции в формуле (3) в общем
случае является тензором, т.е.
математическим оператором, задающим
некоторое правило преобразования
векторов. При действии тензора на вектор
получается другой вектор
Тензоры можно представлять в виде
матриц. Момент инерции может быть
представлен матрицей размерности 33
9
Динамика вращательного движения

В общем случае вектор момента импульса L
определяется произведением тензора инерции
на вектор-столбец угловой скорости:
L x

L y
L
 z
  J xx
 
   J yx
 J
  zx
J xy
J yy
J zy
J xz    x

J y z   y

J zz    z





(4)
10
Динамика вращательного движения


Значения компонент тензора инерции зависят от
распределения масс в системе и её ориентации
относительно системы координат
Путём преобразования системы координат
(поворота) можно получить тензор момента
инерции диагонального вида. В этом случае три
взаимно перпендикулярных оси, проходящих
через центр масс системы, называются её
главными осями инерции, а ненулевые
компоненты тензора инерции – главными
моментами инерции
11
Вычисление моментов инерции


В дальнейшем мы будем рассматривать
относительно простую задачу вращения
твёрдого тела вокруг фиксированной оси.
В этом случае момент инерции можно
представить скалярной величиной
Момент инерции материальной точки
определяется по формуле:
J=mr2
12
13
Вычисление моментов инерции

Чтобы вычислить момент инерции
протяжённого тела, надо разбить его на
малые части и посчитать J по формуле:
J


J
i
i

 m r
2
(4)
i i
i
Чтобы получить точное выражение надо в (4)
устремить ∆m к нулю и перейти от
суммирования к интегрированию
Расчёт моментов инерции можно легко
выполнить для тел простой формы
14
Вычисление моментов инерции

Момент инерции диска
(цилиндра) толщиной 
относительно его оси
вращения:


R
dm=2rdr
dJ=r2dm
J
R
R
 dJ 
 r dm
0
0
2
R
 2   r dr 
3
0
dr
1
mR
2
2
15
16
Вычисление моментов инерции

Момент инерции стержня
относительно оси, проходящей
через его конец

J
 r S  dr   S
2
0

1

2
dm
3
ℓ
2
m ,
3
где S – площадь сечения, m –
масса, ℓ - длина и  - плотность
материала стержня
17
Моменты инерции тел

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей
через его центр:
J ст 

m
2
12
Момент инерции шара относительно оси, проходящей
через его центр:
Jш 

1
2
mR
2
5
Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с
его диаметром:
Jд 
1
mR
2
4
18
19
Теорема Штейнера

Момент инерции J относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции Jc относительно оси
параллельной данной и проходящей через
центр масс тела, и произведения массы
тела m на квадрат расстояния a между
осями:
J=Jc+ma2
20
Гироскопы


Гироскопом (или волчком) называют
массивное симметричное тело,
вращающееся с большой скоростью вокруг
его оси симметрии
Гироскопы имеют важное практическое
применение. Они стремятся сохранить
ориентацию своей оси вращения в
пространстве. Этот эффект используется для
создания гирокомпасов, являющихся основой
современного навигационного оборудования
21
Гироскопы


При воздействии на ось гироскопа
наблюдается гироскопический эффект,
при котором гироскоп начинает совершать
относительно сложное движение
Если угловая скорость вращения оси
гироскопа мала по сравнению с угловой
скоростью вращения гироскопа вокруг
этой оси, то наблюдается прецессия –
медленное вращение оси гироскопа вокруг
третьей оси
22
23
Неинерциальные системы отсчёта


Законы Ньютона неприменимы в
неинерциальных системах отсчёта. Однако, на
практике часто возникает задача описания
движения тела в неинерциальной системе
отсчёта
Чтобы решить эту задачу, ускорение тела
раскладывают на две компоненты:
a    
где  - ускорение, возникающее под действием
силы, а  - в её отсутствие
24
Неинерциальные системы отсчёта

С последним ускорением можно формально
связать фиктивную силу инерции Fin=m. Тогда
уравнение движения запишется в виде:
m a  F  F in

Важными частными случаями являются:
Системы отсчёта, движущиеся прямолинейно
равноускоренно
2. Системы отсчёта, вращающиеся с постоянной угловой
скоростью
1.
25
Неинерциальные системы отсчёта


Во вращающейся системе отсчёта вводят
центробежную силу Fцс=m2R,
направленную от оси вращения, и силу
Кориолиса Fk
Модуль силы Кориолиса определяется с
помощью формулы:
Fk=2m·v··sin
где v – скорость движения тела во
вращающейся системе отсчёта,  - угол
между векторами  и v
26
Неинерциальные системы отсчёта


Сила Кориолиса действует
перпендикулярно векторам  и v
Чтобы определить направление
силы Кориолиса, надо
производить отсчёт угла  в
направлении от v к  по часовой
стрелке по отношению к
наблюдателю. При sin>0 Fk
направлена от, а при sin<0 – к
наблюдателю
v
Fk

27
28
29