Transcript Fale elektromagnetyczne

Równania Maxwella M
• Prawo Gaussa
dla elektryczności
• Prawo Gaussa
dla magnetyzmu
• Prawo indukcji
Faradaya
• Prawo Ampere’a


E  ds  q
0 


 B  ds  0




d B
E  dl  
dt


d E
B  d l   0 ( 0
i )
dt
Stałe uniwersalne
Dla próżni
 0  8 . 85  10
 0  4   10
 12
7
C
2
N m
T
mA
2
Indukowane pole magnetyczne,
pełne prawo Ampere’a
+

i
B
E






Prąd i
dopływa do
okładek

R
Pole elektryczne E i indukowane
pole magnetyczne B w trakcie
ładowania kondensatora płaskiego.

B  dl   0  0
Pole magnetyczne
jest wytwarzane
przez
d E
dt
zmienny
strumień pola
elektrycznego
  0i
przepływ
prądu
Wcześniej przy obliczaniu indukcji wokół przewodnika z
prądem zakładano, że strumień pola elektrycznego jest
równy zeru.
d E
To wyrażenie ma wymiar prądu i
o
nosi nazwę prądu przesunięcia.
dt
Prąd przesunięcia
 B  dl  
0
(i p  i )
Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na utrzymanie
zasady ciągłości prądu.
E 
q
 0S
ip   0
Różniczkujemy
po czasie
d E
dt
 o
d ( ES )
dt
dE
dt
  0S

1
dq
 0 S dt
dE
dt

1
 0S
i
 1
i p  ( 0 S ) 
 0 S

i  i

Prąd przesunięcia jest równy
prądowi przewodzenia w
obwodzie zewnętrznym.
W obecności materiałów magnetycznych, które
wytwarzają własne pole magnetyczne – ciała
namagnesowane, prawo Ampere’a ma postać:
 B  dl
  0 (i p  i  iM )
Przykład 1 M
Płaski kondensator o okładkach kołowych o
promieniu R jest ładowany. Obliczyć indukowane
pole magnetyczne B wewnątrz i na zewnątrz
kondensatora – dla r < R, r = R i r > R.
Przyjąć R = 5 cm i zmianę pola elektrycznego w
czasie .
dE
 10
dt
 B  dl
12
V
ms
  0 (i p  i  iM )   0  o
d E
dt
Strumień pola E
 E  r E
2
2  rB   0  0
d
dt
 r E   
2
Obliczamy B
B 
1
2
 0 0 r
dE
dt
r R
0
 0 r
2
dE
dt
B 
1  0 0 R
2
r
2
dE
r R
dt
 E  R E
2
ponieważ
Dla r = R
B 
1
2
 0 0 r
dE
dt

1
2
 0 0 R
dE
dt
B
1
2

4  4   10
7

T  m / A 8 . 9  10
 12

C / N m
2
 5  10
7
 2 . 8  10 T
Dla r > R pole B maleje jak 1/r.
2
m  10 V / m 
2
12
Przykład 2 M
Obliczyć prąd przesunięcia kondensatora o
okładkach kołowych, promień okładek R = 5 cm,
pole elektryczne zmienia się z szybkością dE/dt
=1012 V/(m•s).
ip   0
i p  ( 8 .9  10
d E
 12
dt
  0R
2
dE
dt
2 2
C / ( N  m ))( )( 5.0  10 ) (10 V / ( m  s ))  0 .07 A
2
2
12
Przykład 3 M
W obwodzie zawierającym kondensator płaski,
mający kołowe okładki, płynie prąd o natężeniu
I = I0sinωt. Jaka jest wartość gęstości prądu
przesunięcia?

jp  0

E
t
Pole E w
kondensatorze
E 
V
d

Q
Cd
I 
dQ
dt
Q   Idt   I 0 sin  t dt   I 0
Stąd natężenie pola E
E  I0
cos  t
Cd 
cos  t

Gęstość prądu przesunięcia
jp   0I0
C 
jp  0
E
t
sin  t
Cd
 0S
d
J
I
p
p
 I0
sin  t
S
 I 0 sin  t
IP  JPS
Przykład 4 M
Plaski drut tworzący okrąg o promieniu r = 0.1 m
łączy dwie równoległe płyty kondensatora
płaskiego odległe od siebie o d = 0.1 · 10-3 m.
Jeżeli natężenie pola elektrycznego przekroczy
wartość Ec = 3 · 106 V/m, to następuje
wyładowanie. Cały układ znajduje się w
jednorodnym polu magnetycznym prostopadłym
do powierzchni pętli obwodu. Zależność wartości
pola magnetycznego od czasu wyraża się wzorem
B  B0e
at
gdzie B0 = 0.2 T, a = 3 s-1 .
Jaka jest wartość pola magnetycznego w chwili
przebicia kondensatora? Po jakim czasie
nastąpiło wyładowanie kondensatora?
E
B
r
d
Zmiana pola B powoduje powstanie siły
elektromotorycznej i ładowanie kondensatora.
 
d B
dt


2
 B   B  d S  BS  B  r
 
d B
dt
 r
2
dB
dt
 r
2
d
dt
B0e
at
 B 0 ar e
2
at
  Ed
E c d  aB c  r
Bc 
Ecd
ar
2
2
3  10
6
V
 10
4
m
m

3
1
s
   0 . 1m 
Czas po którym
nastąpi przebicie
 3 . 2  10 T
3
2
ln B c  ln B 0  a 
 
1
a
ln
Bc
B0
 2 .5 s
Przykład 5 M
W obszarze o promieniu r =2, współistnieją skierowane
zgodnie i prostopadle do powierzchni pola elektryczne i
magnetyczne. Zmieniające się w czasie zgodnie z
zależnościami:
t



E zewn  k E 0 e 
t



B zewn  k B 0 e 
E 0  500
V
m
,
gdzie
B0  2 T ,
  0 .1 s
Oblicz natężenie indukowanego pola elektrycznego,
natężenie całkowitego pola elektrycznego, indukcję
indukowanego pala magnetycznego, całkowitą
indukcję pola magnetycznego w punkcie A w chwili
t = 0 oraz siłę działającą w chwili t = 0 na ładunek
q = 100 mC umieszczony w punkcie A.
E
B
r
A

dl
Zmienne pole magnetyczne wytwarza zmienne
pole elektryczne Eind (prawo Faradaya).

d
dt



B zewn  d S 
S
L
2  rE ind  r   
E ind  r  



E ind  d l
rB 0
2
d
dt

e
r B0e
2

t

 20
t
2


r B0e
V
m

t




E ind  E zewn
Pole E wypadkowe
E 
E ind
2
 E zewn
2

20  500
2
2
V
 500 . 4
m
V
m
Zmienne pole elektryczne wytwarza zmienne pole
magnetyczne Bind (prawo Ampere’a).

L


d
B ind  d l    0  0
dt

s


E zewn  d S
Bind leży w
płaszczyźnie
rysunku
2  rB ind  r    0  0
d
r
dt
2

Eoe
t


r
2

Eoe
t


B ind   0 . 06 pT
B  B0  2 T
Na ładunek w punkcie A działa siła Lorentza


 
F  qE  qv  B
F  qE  100  10
3
C  500 . 4
V
m
 50 N
Bind
E
B
Eind

dl
r
A
Fale
Rozchodzące się w przestrzeni i
zależne od czasu zaburzenie
a) Fale mechaniczne (w materii)
b) Fale elektromagnetyczne (w próżni
i w materii)
c) Fale materii
Fale mechaniczne
Fale przenoszą energię, nie przenoszą masy,
mimo przemieszczeń cząsteczek, które drgają,
przekazując energię następnym.
Rodzaje fal :
• podłużne, drgania równolegle do kierunku
rozchodzenia się fali,
• poprzeczne drgania prostopadle,
do kierunku rozchodzenia się fali,
• powierzchniowe (około 20 różnych struktur
fal).
Rozchodzące się zaburzenie może być jedno-,
dwu- i trójwymiarowe. Fale mogą być płaskie,
cylindryczne, kuliste…. Fala płaska rozchodzi się
tylko w jednym kierunku, jej czoło (powierzchnia
falowa) jest płaszczyzną.
Najprostsze rozchodzące się wzdłuż osi x w
prawo zaburzenie można zapisać w postaci:
y  f  x  vt 
gdzie v jest prędkością rozchodzenia się fazy
fali, dla fal opisanych przez funkcje
trygonometryczne
2
t 
 x
 x  vt   y m sin 2   
y  y m sin

 T 
W zaburzeniach, które przedstawiamy jako
grupę fal energia może być przenoszona z inną
prędkością niż faza każdej z fal. W prowadza
się wówczas pojęcie prędkości grupowej.
Zasada superpozycji
Dwie lub więcej fal może przebiegać niezależnie
od siebie. Oznacza to, że przemieszczenie
dowolnej cząstki w ustalonej chwili czasu jest
sumą przemieszczeń.
Francuzki matematyk J. Fourier wykazał, że
dowolny periodyczny ruch cząstki może być
przedstawiony w postaci kombinacji liniowej
ruchów harmonicznych prostych.
y t   Ao  A1 sin  t  A2 sin 2 t  A3 sin 3 t  ...
Interferencja fal
Efekt nakładania się dwóch lub więcej ciągów
falowych
Fale stojące
Rozważamy dwie fale poruszające się w
przeciwnych kierunkach - y1(t) i y2(t) oraz falę
wypadkową y(t)
y 1  y m sin  kx   t 
y 2  y m sin  kx   t 
y  y 1  y 2  y m sin  kx   t   y m sin  kx   t 
y  2 y m sin kx cos  t
Otrzymany wynik oznacza, że cząstka drga w
dowolnie wybranym punkcie prostym ruchem
harmonicznym i drgania wszystkich cząstek mają
tę samą częstość.
ym
x
Drgania struny – fale poprzeczne
y
x
Drgania struny , której masa na jednostkę
długości wynosi μ, naprężonej siłą F opisane są
równaniem różniczkowym o postaci:
 y
2
x
2
  y
2

F t
2
Równanie to wynika z drugiej zasady dynamiki
Newtona zastosowanej do poprzecznej struny.
Rozwiązaniem tego równania jest:
y  y m sin kx   t 
gdzie  jest pulsacją,
 = 2,  - częstotliwością,
T – okresem, k – liczbą falową
 
1
T
k 
2

Z analizy rozwiązania równania wyznaczyć
można prędkość v rozchodzenia się zaburzenia
falowego oraz parametrów k i ω z prędkością V.
V 

k

F

F

Wzory te można
wyprowadzić również
analizując siły F
działające na odcinek liny
o długości l.
v
l
F
θ
F
R
Siły F rozkładamy na składowe, ΣFx = 0, ΣFy ≠ 0, dla
składowych Fy można napisać zależności:
l
l
2
2 F sin   2 F   2 F
 F
R
R
Siła 2Fy wywołuje przyspieszenie cząstek liny skierowane
do środka okręgu.
F
L

R
v
  lv
2
R
F

Otrzymane zostało wyrażenie na – prędkość
rozchodzenia się fali w linie naprężonej siłą F.
Przykład 1F
Na jednym końcu linki wytwarzana jest za pomocą
sznura poprzeczna fala sinusoidalna, przy czym
koniec linki drga do góry i na dół, a największe jego
przemieszczenie wynosi 0.5 cm. Ruch jest ciągle
podtrzymywany i powtarza się sinusoidalnie 120 razy
na sekundę. a) należy obliczyć prędkość, amplitudę i
długość fali tego ruchu falowego, przyjmując że
gęstość liniowa linki wynosi 0.25 kg/m, a przyłożone
naprężenie wynosi 90 N.
F = 90 N
μ = 0.25 kg/m
ym = 0.25 cm
 = 120 1/s
v
F


90 N
0 . 25
kg
m
 19 . 87
m
s
  v T  v 
1

19 . 97

120
m
1
s
s  16 . 64 m
Przykład 2F
Jeden koniec sprężystego pręta połączony jest ze
źródłem drgań harmonicznych:
y  y 0 sin  t
Drugi koniec pręta jest unieruchomiony.
Wyznaczyć charakter drgań w dowolnym punkcie
pręta, przyjmując, że przy odbiciu od
nieruchomego pręta faza zmienia się na
przeciwną.
Fala poruszająca się zgodnie z kierunkiem osi x
opisana następująco:
y1  y 0 sin  kx   t 
Fala odbita (zmiana fazy przy odbiciu):
y 2  y 0 sin kx   t      y 0 sin kx   t 
Fala wypadkowa = fala padająca + fala odbita
y  y 0 sin  kx   t   y 0 sin   kx   t  
 2 y 0 cos  t sin kx
sin x  sin y  2 sin
x y
2
Fala stojąca
 cos
x y
2
Węzły fali stojącej y = 0
sin kx  0
kx  n 

xn

2
Strzałki fali y = ymax
y  n  1

2
Fale akustyczne
Są to fale rozchodzące się w gazach
(podłużne), cieczach (podłużne i
poprzeczne w przypadku cieczy o dużej
lepkości) i ciałach stałych (podłużne,
poprzeczne i powierzchniowe). Fale te
można uważać za rozchodzący się z
prędkością v impuls zagęszczeń.
x
y
Fale akustyczne w gazach i cieczach, najczęściej
podłużne, rozchodzą się wzdłuż kierunku
propagacji, na przykład x z prędkością :
v
B
0
B 
Vp
V
Gdzie B jest modułem sprężystości
objętościowej ρ0 – gęstością materiału bez
dodatkowych naprężeń, V – objętością, p –
ciśnieniem, y – miara przemieszczeń cząstek,
y – równoległa do x.
Przykład 3F
Drgania dźwiękowe o częstotliwości  = 500 Hz i
amplitudzie A = 0.25 mm rozchodzą się w powietrzu.
Długość fali λ = 70 cm. Napisać równanie fali, znaleźć
prędkość rozchodzenia się drgań oraz maksymalną
prędkość cząsteczek ;powietrza.
t 
 x
y  A sin  kx   t   A sin 2    
 T 
Obliczamy
prędkość fali v:
 

 
T
  0 . 7 m  500 Hz  350
m
s
T 
1


1
 0 . 002 s
500 Hz
t 
 x
y  A sin 2    
 T 
- znane
Cząsteczki wykonują ruch harmoniczny w kierunku
rozchodzenia się fali. Ich vp prędkość zmienia się w
sposób okresowy i możemy ją obliczyć na podstawie
równania fali.
 p
dy

2 A
dt
 p max 
T
2 A
t 
 x
cos 2    
 T 
 2  A
T
 p max  2  3 . 14  500  0 . 25
m
s
 0 . 78
m
s
Fale akustyczne w ciałach
stałych
Ciecz
Ciało
stałe
Fala
podłużna
Fala
poprzeczna
Fala
podłużna
L – fala podłużna
T – fala poprzeczna
Fale akustyczne na granicy ośrodków: ‘ – odbite,
” - przechodzące
Na granicy ośrodków na przykład ciecz –
ciało stałe następuje transformacja fali
akustycznej. W ciele stałym pojawiają się dwie fale
podłużna i poprzeczna, których współczynniki
załamania są różne. Przy zmianach kąta padania
można otrzymać falę propagującą się wzdłuż
granicy ośrodków – falę powierzchniową.
Transformacji fal nie ma w przypadku
prostopadłego padania fali na granicę ośrodków.
Fale elektromagnetyczne
Równania Maxwella przewidują istnienie fal
elektromagnetycznych o prędkości rozchodzenia
się w próżni:
c
1
 0 0
(1)
Mgławica, informacje z kosmosu otrzymane
dzięki falom elektromagnetycznym
Mgławica
emisyjna
NGC 604 w
gwiazdozbiorze
Trójkąta
(pl/wikipedia/org/
Równania Maxwella przewidują, że zmienne w
czasie pole magnetyczne indukuje wirowe pole
elektryczne i na odwrót, zmienne w czasie pole
elektryczne indukuje wirowe pole magnetyczne. Każda
zmiana w czasie pola elektrycznego wywoła powstanie
zmiennego pola magnetycznego, które z kolei wytworzy
zmienne pole pole elektryczne.
Ciąg wzajemnie sprzężonych pól
elektrycznych i magnetycznych stanowi falę
elekromagnetyczną.
Fale elektromagnetyczne możemy podzielić na
• stojące (np. wnęka rezonansowa) i
• bieżące - rozchodzące się wzdłuż linii przesyłowej lub w
wolnej przestrzeni.
Obwód LC
Przykład powstawania fal elektromagnetycznych.
Drganiom wytworzonym w elektrycznym obwodzie
LC (cewka, kondensator) towarzyszy okresowa zmiana
energii pola elektrycznego kondensatora w energię pola
magnetycznego cewki.
Jeżeli pominiemy straty na ciepło, to energia drgań
w obwodzie pozostanie stała.
Pole B
L
C
Do
generator
a drgań
Pole E
Obwód taki przekształcamy w następujący sposób: cewkę
redukujemy do prostoliniowego przewodu, okładki
kondensatora zmniejszamy, a przewody prostujemy. Pole
elektryczne i magnetyczne wypełnia teraz bardzo dużą
przestrzeń.
Przekształcanie zamkniętego obwodu
drgań w dipol elektryczny
E
B
Do
generatora
drgań
Przekształcony obwód ma
teraz większą zdolność
emitowania energii, stał się
obwodem otwartym.
Powstały obwód stanowi
dipol elektryczny o
momencie dipolowym
zależnym od czasu.
Jeżeli do prętów dipola doprowadzone zostanie napięcie
zmienne, to pręty będą się ładować okresowo ładunkiem
dodatnim i ujemnym. Zatem obwód taki staje się
oscylującym dipolem elektrycznym emitującym falę
elektromagnetyczną we wszystkich kierunkach.
Pole elektryczne dipola w czterech chwilach:
+q
+
-
-q
t=0
t = 1/8 T
+
-
t = 1/4 T
+
t = 3/8 T
z
P
x
O
Wykres biegunowy
natężenia fali
emitowanej przez dipol,
znajdujący się na osi z.
Długość odcinka OP jest
proporcjonalna do
natężenia fali
emitowanej w danym
kierunku.
Zmienne napięcie doprowadzone do z generatora powoduje
przepływ prądu wzdłuż dipola. Ładunki zbierające się na
końcach prętów dipola wytwarzają tam największe napięcia.
Drgania elektryczne rozchodzące się wzdłuż dipola dają w
wyniku falę stojącą. Fala emitowana przez dipol jest już
falą rozchodzącą się w przestrzeni (bieżącą). Fala ta jest
spolaryzowana, wektor E jest równoległy do osi dipola, B prostopadły.
Równania falowe
E - natężenie pola elektrycznego
B – natężenie pola magnetycznego
ε0 przenikalność elektryczna próżni,
μ0 - przenikalność magnetyczna próżni.
Na podstawie wprowadzonych równań Maxwell wykazał, że
wzajemnie sprzężone pola elektryczne i magnetyczne
tworzą falę poprzeczną i obliczył prędkość fali. W fali
elekromagnetycznej wektory E i B są prostopadłe do siebie i
do kierunku rozchodzenia się fali.
Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi x zależność
natężenia pola B i E od czasu i położenia ma postać
następującą:
B = Bmsin(kx - t)
(2)
E = Em sin(kx -  t)
 - pulsacja,  = 2
k - liczba falowa
 - długość fali
T - okres drgań
 - częstotliwość
k 
2
 

1
T
(4)
(5)
kx 
t 
2

x
2
T
(3)
(4a)
t (6)
Płaska fala elektromagnetyczna poruszająca się
w dodatnim kierunku osi x
dx
y
•

•


•••


•


•
• • •
  
• • •
•

•
c
x
z
E  z
B  y
h
c  x
Pola E i B są zgodne w fazach.
Prostokąt o wymiarach h i dx nie porusza się w przestrzeni. W
miarę przesuwania się fali strumień magnetyczny B będzie
się zmieniał, co spowoduje powstanie indukowanych pól
elektrycznych. To indukowane pola elektryczne, to składowe
elektryczne wytworzonej fali bieżącej. Zastosujmy prawo
Faradaya dla obwodu prostokąta o bokach h i dx (pł. xz).
SEM 


 
d B
E  dl  
dt


E  d l  ( E  dE ) h  Eh  hdE
(7)
(8)
Strumień pola magnetycznego przechodzący przez
powierzchnię prostokąta (płaszczyzna xz) wynosi:
 B  B hdx
(9)
B jest wartością bezwzględną pola w
prostokącie
Różniczkowanie po czasie daje
dE

dx
dB
(10)
dt
Na podstawie prawa Faradaya w postaci (8 ) otrzymujemy
hdE   hdx
B
 dt
(11)
stąd
dE
dx

dB
dt
(12)
E
x

B
t
(13)
E(x,t) i B(x,t) są znane, więc równanie (13) można zapisać
jako
kE m cos kx   t    B m cos  kx   t 
czyli


k
Em
(15)

ale
c
(14)
(16)
k
Bm
Oznacza to również, że związek słuszny jest dla
dowolnych wielkości pola E i B w danym momencie.
E  cB
(17)
Zastosujmy teraz prawo
Ampera w postaci:

 
d E
B  d l   0 0
dt
(18)
Całkując to równanie po obwodzie prostokąta o bokach h
i dx w płaszczyźnie xy otrzymujemy:

 
B  d l    B  dB h  Bh   hdB
(19)
Strumień pola elektrycznego przechodzący przez ten
prostokąt wynosi:
(20)
 E  E  hdx 
Różniczkując po czasie otrzymujemy:
d E
dt
 hdx
dE
(21)
dt
a więc równanie (18 )
można przepisać w postaci

B
x
  0 0
E
t
(22)
Korzystając z równań (14 ), (22 ) otrzymujemy:
 kB m cos  kx   t    0  0  E m cos  kx   t 
(23)
stąd
Em

Bm
k
 0  0
(24)
Eliminując Em/Bm otrzymamy:
c
1
 0 0
c - prędkość światła w teorii
(1) elektromagnetyzmu. Maxwell
przewidział ten związek przed
odkryciem fal radiowych!
c
4   10
1
7
T  m / A  [ 8.9  10
 12
C / N m ]
2
2
 3 . 0  10
8
m
s
Przykład 4F
Rozważmy falę elektromagnetyczną w próżni, dla
której równania opisujące pole magnetyczne mają
postać:
B x  B sin ky   t 
By  Bz  0
Jaki jest kierunek rozchodzenia się fali?
Napisz równania opisujące pole elektryczne.
E  B
E  cB
E z  Bc sin ky   t 
Ey  Ex  0
Bx
x
c
Ez
y
z
Energia niesiona przez falę
elektromagnetyczną
B
h•h = A
y
c
E
x
z
dx
W pewnej chwili energia dW zawarta w pudełku o objętości
sdx przenoszona przez falę elektromagnetyczną wynosi
dW = dWE + dWB = (uE + uB)Adx (25)
Energia
pola E
uE - gęstość pola E
Energia
pola B
uB - gęstość pola B
1
1
2
2
dW    0 E 
B
20
2
ale
E  cB

 Adx


(26)
(17)
2
1

 0 0 c  1
1
E
dW    0 EcB 
B  Adx 
EBAdx
2μ 0
c 
2  0c
2
(28)
 0 0 c  1
2
Zgodnie z (1)
dt 
oraz
dx
c
dw

dt  A
EBAdx
μ 0 cs
S 
dw
dx

1
μ0
EB [
W
m
2
c
(30)
dtA

1  
S 
EB
0
Energia przepływająca
przez jednostkową
(29) powierzchnię A w
jednostkowym czasie.
]
(31)
Energię tę oznaczono
następnie przez S i
wprowadzono
odpowiadający jej
wektor przepływu
energii zwany
wektorem Pointynga
Wielkość S jest wyrażona przez wartości chwilowe, więc
jest funkcją czasu.
Wektor S jest prostopadły do wektora E i do wektora B.
Wektor Pointynga pokazuje kierunek przenoszenia energii.
Z trzech wielkości występujących w równaniu (31), jedna
ma ściśle określoną wartość:
 0  4π  10
7
T m
A
pozostałe c i 0 są mierzalne.
Na podstawie równania (1) wykorzystuje się zmierzoną
dokładnie wartość prędkości światła
c = 2.99792458 • 108 m/s
do wyznaczania wartości 0.
Otrzymane wyrażenie opisujące wektor
Pointinga odnosi się do mocy chwilowej
przenoszonej przez falę elektromagnetyczną.
Bardzo często potrzebna jest średnia moc fali.
 1

1
2
S   S   
 EB   
 E 
 0
  oc
 E 
2
1
2
Em
2
Obliczano średnią
wartość kwadratu
sinusoidy
Przykład 5F
Obserwator znajduje się w odległości r = 1 m od
punktowego źródła promieniowania o mocy P0. P0 = 103 W.
Obliczyć wielkości pola elektrycznego i magnetycznego w
odległości r, uważając falę za płaską.
r=1m
P0 = 103 W
r
P0  4  r S
2
P0
 E
2

1
E
2
m
2
2
P
Em

0
2  0c
Em 
P0  0 c
r
2
Em
c
2
1
E m  240
Bm
4 r

V
m
240 V / m
3  10 m / s
8
 8  10
7
T
Prędkość c, mimo że dotyczy wszystkich fal
elektromagnetycznych, nazywa się prędkością
światła.
W roku 1888 Heinrich Hertz przeprowadził po
raz pierwszy eksperyment, w którym były
wytwarzane i odbierane fale
elektromagnetyczne, dowodząc tym samym ich
istnienia i potwierdzając słuszność równań
Maxwella.
Hertz Heinrich Rudolf (1857-1894)
James Maxwell
Maxwell urodził się w 1831 r. w Edynburgu w
Szkocji. Był tzw. Cudownym dzieckiem; mając
zaledwie piętnaście lat przedstawił pracę
naukową w Edinburgh Royal Society. Uczęszczał
na uniwersytet w Edynburgu. Stopień naukowy
otrzymał na uniwersytecie w Cambridge. Był
żonaty, ale nie miał dzieci. Maxwell uważany jest
powszechnie za największego fizyka teoretyka w
okresie pomiędzy Newtonem i Einsteinem. Jego
wspaniała kariera zakończyła się przedwcześnie;
zmarł na raka w 1879 r., na krótko przed
czterdziestymi ósmymi urodzinami.
Przykład 6F.
Średnia moc lasera jest równa P = 2.0 mW, a jego
wiązka ma średnicę d = 1 mm. Jaka jest gęstość
strumienia energii fali elektromagnetycznej? Jaka
jest wartość amplitudy pola elektrycznego?
Przyjąć, że laser wysyła płaska falę
monochromatyczną.
1 mm
 1

1
2
S   S   
 EB   
 E 
 0
  oc
 E 
2
1
Em
Śr. wartość wektora P.
jest równa gęstości
strumienia energii,
2
2
E m  cB m
S 
0 
1 1
 0c 2
1
c 0
2
c 0 1
2
Em 
c
2
E m  c 0
2
1
2
Em
2
P 
d
s 
2
1
2
c 0 E m 
2
S
4
Em 
E m  1400
V
m
Bm 
Em
c
2P
c 0
1400

3  10

1
P
d 
 
2
d 
 
2
2
2
V
m  4 . 5  10  6 T
8 m
s
Przykład 7F
Energia fali elektromagnetycznej składa się z
energii pola elektrycznego i magnetycznego.
Wykazać, że dla fali płaskiej w próżni gęstości
obu rodzajów energii są sobie równe. Ile wynosi
ich średnia wartość w okresie? Jaka jest
średnia moc przenoszona przez falę płaską na
jednostkę powierzchni A? Czy otrzymane
wyrażenie pozostaje w zgodzie z wzorem
Pointynga?
A=1
1
1
2
2

dW    0 E 
B
20
2

 Adx


E  cB
c
1
 0 0
1
1
2 2
2
dW    0 B c 
B
20
2

1
1
1
2
 Adx    0 B 2

B

2
 0 0 2  0


1
1
1
2
2
dW   B

B
2
0
20


 Adx



 Adx


Energia przepływająca w czasie dt przez
powierzchnię A
dW

dtA
dx
B
2
0 A
A
dx

dt
B
2
0
c
c
dt
Na podstawie
wartości wektora
Pointynga:
dw
dt  A

EBAdx
μ 0 cs
dx
c

1
μ0
EB 
1
0
cB
2