Transcript Modele Wszechświata

Ewolucja Wszechświata
Wykład 2
Modele Wszechświata
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie Friedmana
Obserwator znajduje się w jednorodnym,
rozszerzającym się ośrodku o gęstości .
Zasada kosmologiczna – za środek można uznać dowolny punkt.
•m
r
•
M
Jeśli materia rozłożona jest sferycznie
symetrycznie, wypadkowa siła grawitacji
działająca na ciało w odległości r od
centrum pochodzi tylko od materii
położonej wewnątrz sfery o promieniu r.
F  GMm
2
r
Siła grawitacji
E p   GMm
r
Grawitacyjna energia
potencjalna
Krystyna Wosińska, WF PW
Newtonowska teoria grawitacji
M 
4  r
4 G  rm
GMm
F 

2
r
3
3
3
energia potencjalna:
•
r
•
M
E
p
  GMm  
4 G  r m
r
2
3
energia kinetyczna:
Ek 
Zasada zachowania energii:
m r
2
2
U  E k  E p  const
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie Friedmana
U 
1
2
m r 
2
4
G r m
2
Przechodzimy do współrzędnych
współporuszających się, które
są unoszone przez rozszerzający
się Wszechświat.
3
czas


r  a t   x
W układzie wsp. x
galaktyki mają stałe
w czasie położenia.
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie Friedmana
a(t) – czynnik skali Wszechświata (miara tempa ekspansji).


r  a t   x
1
4
1
4
2
2
2
2
2
2


U  mr 
G r m
U  ma x 
G a x m
2
3
2
3
Mnożymy obie strony
przez
2U
2
ma x
2
2
ma x
2
2

a
2
a
2

8
G
3
8 G
2U
 a 
 
2
2
i porządkujemy:   
3
mx a
a 
2
2

8 G
kc
a 
  2
  
3
a
a 
2
-kc2
k 
2U
mc x
2
2
stała w przestrzeni
i czasie
Krystyna Wosińska, WF PW


r

ax

a

H
v   r 
r 
r
r
ax
a
Prawo Hubble’a:
a

a 
H
r  H r
a
a
H - stała Hubble’a
G – stała grawitacji
2

8 G 

3
kc
a
2
2
gdy c = 1:
H
2

8 G 
3

k
a
2
- gęstość materii Wszechświata
c – prędkość światła
k = -2U/mc2x2
H(t) maleje w czasie – ekspansja
coraz wolniejsza z powodu
przyciągania grawitacyjnego.
a – czynnik skali – mierzy średnie
oddalenie dwóch punktów (np. gromad
galaktyk)
Czy przestrzeń może rozszerzać się z
Co się rozszerza?
prędkością > c?
Krystyna Wosińska, WF PW
Ekspansja i przesunięcie ku czerwieni
Przesunięcie ku czerwieni z:
Długość fali obserwowanej
z 
Prawo Dopplera:
λobs  λem
λem
z 
Długość fali emitowanej
v
Prędkość oddalania
c
Prędkość światła
Charakterystyczne linie widmowe pierwiastków pochodzące ze
źródła oddalającego się są przesunięte ku czerwieni.
Krystyna Wosińska, WF PW
Ekspansja i przesunięcie ku czerwieni
A
foton
B
dr
Względna prędkość obiektów A i B: dv  Hdr 
Zmiana długości fali: d    obs   em
Z prawa Dopplera:
d
 em

a
a
dr 
d
 em
1
c

a
a
dr
dv
c
1 da dr
da



a
dt c
a
dt - czas trwania podróży światła
Krystyna Wosińska, WF PW
Ekspansja i przesunięcie ku czerwieni
d
 em

da
Po scałkowaniu:
a

a
ln   ln a  const

ln  const
a
 const
Długość fali wprost proporcjonalna do rozmiarów
Wszechświata
1 z 
 obs
 em

a obs
a em
Przesunięcie ku czerwieni z oznacza,
ze fala była wyemitowana, gdy
Wszechświat był z+1 razy mniejszy.
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie cieczy
H
2

8 G 

3
k
a
2
Aby rozwiązać równanie Friedmana trzeba wiedzieć, jak zmienia
się w czasie gęstość  i ciśnienie p materii Wszechświata.
z I zasady termodynamiki : dE
E  mc
2
 pdV  TdS
V c
2

4 a
3
c
2
3
4 3
V 
a
3
Krystyna Wosińska, WF PW
Równanie cieczy
E 
4 a
3
c
dE
2
dt
3
V 
4
a
 4 a  c
2
dV
3
dt
3
 4 a
dE  pdV  TdS
4 a  c a 
2
2
4
3
a  c
3
2
2
da
dt

4
a
3
d
dt
3
c
da
dt
Ekspansja odwracalna: dS = 0
2
 p  4 a a  0
2
:a c
3
2
Krystyna Wosińska, WF PW
2
Równanie cieczy
4 a  c a 
2
2
4
a  c
3
2
 p  4 a a  0
2
3
:a c
3
2
a 
p 
  3    2   0
a 
c 
Na zmianę gęstości wpływają 2 człony:
1. rozrzedzenie materii na skutek wzrostu objętości
2. strata energii związana z wykonaniem pracy przez
ciśnienie w trakcie ekspansji – stracona energia
zamieniona na grawitacyjną energię potencjalną
Krystyna Wosińska, WF PW
Przyspieszenie ekspansji
 a 
8 G 
2
  
a 
2
3
a a a  a
a

a
2
Podstawiamy:
2

kc
2

8 G
3
a
2
Różniczkujemy względem czasu
2
kc a
2
  2
a
3
a 
p 
  3    2   0
a 
c 
2
p  kc
 a 

     4 G    2   2
a a
c  a

a
Ponownie korzystamy z równania Friedmana
Krystyna Wosińska, WF PW
Przyspieszenie ekspansji
a
4 G 
3p 

  2 
a
3 
c 
Ujemny znak przyspieszenia – ekspansja zwalnia na skutek grawitacji
Ciśnienie materii powoduje zwiększenie siły grawitacji i
jeszcze większe spowolnienie ekspansji.
Ciśnienie związane z oddziaływaniem między
cząstkami – energii oddziaływania odpowiada masa
E = mc2
Krystyna Wosińska, WF PW
Rozwiązania równań
O ewolucji Wszechświata decyduje jego zawartość
Zależność (p) – równanie stanu.
Poszukamy rozwiązań dla 2 skrajnych sytuacji:
1. Wszechświat jest wypełniony tylko materią nierelatywistyczną –
nie ma promieniowania.
Pył p = 0
Materia jest tak rozrzedzona, że nie dochodzi do zderzeń, więc
ciśnienie równe zeru.
Przykład : galaktyki to gaz bezzderzeniowy
2. Wszechświat jest wypełniony tylko promieniowaniem.
Ciśnienie: p = c2/3
Krystyna Wosińska, WF PW
Pył
Pył: p = 0
- materia nierelatywistyczna
Szukamy rozwiązania dla k = 0
Z równania cieczy:
  3
a
a
 0
d
dt
a 
p 
  3    2   0
a 
c 
 a   0
3
 
1
a
3
Krystyna Wosińska, WF PW
Pył
 
0
a
k 0
3
Z równania Friedmana:
2

8 G  kc
a 

  
2
3
a
a 
2
a 
2
8 G  0 1
3
a
Rozwiązanie:
2
t
a t   
t0
3


 t  
0
a
3
 0t 0
2

t
2
Krystyna Wosińska, WF PW
Promieniowanie
Promieniowanie: p = c2/3
Z równania cieczy:
  4
a
a
a 
p 

  3   2   0
a 
c 
 
 0
1
a
4
Rozwiązanie równania Friedmana :
1
t
a t   
t0



2
 t  
0
a
4

 t
t
2
0 0
2
Krystyna Wosińska, WF PW
Wszechświat wypełniony promieniowaniem
rozszerza się wolniej niż wypełniony pyłem
1
t 

t0 
a t   
2
czynnik skali
0
a
3
 0t 0
2

t
2
gęstość
t 

t0 
a t   
3
 t  
2
czas
czas
Tempo ekspansji maleje z czasem
Pył: H 
a
a

2
3t
Promieniowanie:
H 
a
a

1
2t
Krystyna Wosińska, WF PW
Los Wszechświata
H

2
8 G 

3
kc
a
2
2
Czy możliwe będzie zatrzymanie się ekspansji Wszechświata?
H 
a
a
H 0
?
Wszechświat zawsze
będzie się rozszerzał
Jeśli k < 0 , to H będzie
zawsze dodatnie.
Jeśli k = 0 , to H będzie
asymptotycznie malało do
zera
H 
a
a

2
Wszechświat będzie się
rozszerzał, ale coraz
wolniej.
3t
Krystyna Wosińska, WF PW
Los Wszechświata
Jeśli k > 0:
Gęstość odwrotnie proporcjonalna do objętości:
H
2

8 G 
3

1
a
3
Pierwszy wyraz maleje szybciej
niż drugi – początkowo H2 jest
dodatnie, ale w końcu spadnie
do zera.

kc
a
 
1
a
3
2
2

1
a
2
Wszechświat przestanie
się rozszerzać i zacznie
się kurczyć.
Krystyna Wosińska, WF PW
Teoria względności
Koniec XIX wieku – (prawie) kompletny opis wszechświata
Hipoteza eteru – ośrodka, w którym rozchodzą się fale
elektromagnetyczne.
Doświadczenie Michelsona-Morleya (1887) - pomiar
prędkości światła.
Wynik: światło ma stałą
prędkość niezależną od
prędkości obserwatora!
Krystyna Wosińska, WF PW
1905 – Szczególna Teoria Względności:
•Istotny jest tylko ruch względny
•Skoro nie można stwierdzić, że ktoś się
porusza w przestrzeni, to pojęcie eteru
zbędne
•Prawa fizyki są jednakowe w każdym
układzie inercjalnym, w szczególności
prędkość światła jest stała
Krystyna Wosińska, WF PW
Konsekwencje tych założeń:
•Nie istnieje czas absolutny – każdy
obserwator ma swój własny czas
•Długość w kierunku ruchu ulega skróceniu:
l  l0 1
v
2
c
2
•Czas w układzie poruszającym się ulega
wydłużeniu
t 
t0
1
v
2
c
2
Krystyna Wosińska, WF PW
•Masa ciała poruszającego się wzrasta:
m 
m0
1
v
2
c
2
•Masa i energia są równoważne:
E  mc
2
•Żadne ciało o masie spoczynkowej
większej od zera nie może osiągnąć
prędkości światła.
Krystyna Wosińska, WF PW
Ogólna Teoria Względności (1915):
G = 8T
geometria
materia
Albert Einstein
1879 - 1955
OTW wiąże geometrię czasoprzestrzeni
z rozkładem materii.
Krystyna Wosińska, WF PW
Ogólna Teoria Względności
•Równoważność siły grawitacji i siły
bezwładności w układzie nieinercjalnym
•Pole grawitacyjne równoważne zakrzywieniu
czasoprzestrzeni
Przestrzeń i czas dotąd uważane za pasywną
scenę zdarzeń w istocie tworzą czasoprzestrzeń,
która jest dynamicznym uczestnikiem wszystkich
procesów.
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświata
•Geometria płaska
model: dwuwymiarowa
płaszczyzna
Suma kątów w trójkącie
równa jest 1800
Linie równoległe nie
przecinają się
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświata
•Geometria sferyczna
model: powierzchnia kuli krzywizna dodatnia
Suma kątów w trójkącie jest
większa niż 1800
Linie równoległe przecinają
się (przykład: południki)
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświata
•Geometria hiperboliczna
model: powierzchnia siodłowakrzywizna ujemna
Suma kątów w trójkącie jest
mniejsza niż 1800
Linie równoległe rozchodzą się
Krystyna Wosińska, WF PW
Zjazd Fizyków, PW, 2005
Dr. Stanisław Bajtlik demonstruje powierzchnię o krzywiźnie ujemnej
... i dodatniej
Krystyna Wosińska, WF PW
Zakrzywienie czasoprzestrzeni oznacza, że najkrótszą linią
łącząca dwa punkty jest linia krzywa – światło w pobliżu dużej
masy nie porusza się po prostej!
Doświadczalne potwierdzenie Ogólnej Teorii Względności:
W 1919 r. zaobserwowano w czasie zaćmienia Słońca ugięcie
promieni świetlnych biegnących od odległej gwiazdy.
Pozorne położenie gwiazdy
Gwiazda

Słońce
Obserwator
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświata
k<0
k=0
k>0
Wielkość k opisuje
krzywiznę Wszechświata
Krzywizna
Geometria
Suma
kątów w
trójkącie
Los Wszechświata
k>0
sferyczna
> 1800
Wielki Kolaps
k=0
płaska
= 1800
Wieczna ekspansja
k<0
hiperboliczna
< 1800
Wieczna ekspansja
Krystyna Wosińska, WF PW
Krzywizna zależy od gęstości Wszechświata
Gęstość krytyczna k – odpowiada wartości k = 0
H
2

8 G  k
3
k 
Równanie Friedmana H
do postaci:
2
3H
2
8 G

8 G 
  k 
kc

a
3
3kc
2
2
można przekształcić
2
8 Ga
2
Jeśli  > k , to k > 0,
Jeśli  < k , to k < 0,
Krystyna Wosińska, WF PW
 =  /k - parametr gęstości
Miara płaskości Wszechświata:



  k


 1


3kc
8 Ga 
Gdy dominuje promieniowanie:


Wartość


a

2
 
2
 1

2
1
a
4
t
rośnie w czasie
Wszechświat z czasem robi się coraz mniej płaski.
Krystyna Wosińska, WF PW
 =  /k
- ten parametr wyznacza przyszłość
Wszechświata
<1
=1
>1
Jeśli wyznaczymy , odkryjemy przyszłość Wszechświata
Krystyna Wosińska, WF PW
Geometria Wszechświata
Czy nasze istnienie byłoby możliwe we
Wszechświecie o dowolnej wartości  ?
 << 1
gęstość Wszechświata zbyt mała, aby powstrzymać
ekspansję. Materia rozproszyłaby się, zanim mogłyby powstać
gwiazdy i planety.
 >> 1
gęstość Wszechświata tak duża, że ekspansja po krótkim
czasie zatrzymałaby się i na skutek kolapsu Wszechświat
zakończyłby żywot. I w tym przypadku nie zdążyłyby powstać
gwiazdy i planety.
Zasada antropiczna
Koncepcja filozoficzna, zgodnie z którą fundamentalne stałe fizyczne
mają dokładnie takie wartości, aby umożliwić powstanie życia.
Ciekawy wykład prof. dr hab. Zbigniewa Jacyny-Onyszkiewicza:
http://www.staff.amu.edu.pl/~zbigonys/wszechswiat_na_miare.html
Krystyna Wosińska, WF PW
Przez tysiące lat ludzie wierzyli, że Wszechświat jest statyczny.
Einstein dodał do równania stałą kosmologiczną , aby „ratować”
płaski i statyczny Wszechświat.
H
2

8 G 
3

kc
a
2
2


3
 - reprezentuje siłę odpychającą, równoważącą przyciąganie grawitacyjne –
dzięki niej pojawia się rozwiązanie równania opisujące statyczny
Wszechświat.
W 1922 r. Aleksander Friedman znalazł wszystkie rozwiązania równania i
wykazał, że nawet dodanie stałej kosmologicznej nie zapewni stałości
Wszechświata.
Einstein nazwał dodanie stałej kosmologicznej swoją największą pomyłką,
jednak obecnie wcale nie jest oczywiste, że wynosi ona zero!
Krystyna Wosińska, WF PW
Ekspansja Wszechświata przyspiesza!
Obserwacje supernowych
znajdujących się w odległości 3/4
drogi od krańca Wszechświata
udowodniły, że Wszechświat
rozszerzał się w różnym tempie
podczas swojej historii.
Saul Perlmutter
Brian P. Schmidt
Adam G. Riess
2011
Krystyna Wosińska, WF PW
W przyśpieszającym Wszechświecie galaktyka o danej
prędkości będzie znajdować się dalej, niż oczekujemy
(a co za tym idzie – będzie mniej jasna).
ŚN 3 - 2004
Krystyna Wosińska, WF PW
jasność
ŚN 3 - 2004
Krystyna Wosińska, WF PW
Poznamy dzieje Wszechświata, jeśli
wyznaczymy trzy parametry:
 

k
 
H 

3 H
2
v
r
Krystyna Wosińska, WF PW
Pomiar stałej Hubble’a
Supernowe typu 1A stanowią doskonałe obiekty do
pomiaru odległości galaktyk – „świece standardowe”
Znamy dokładnie ich
jasność absolutną.
Jasność obserwowana
wyznacza odległość.
Prędkość ucieczki
galaktyk wyznaczona z
obserwowanego
przesunięcia linii
widmowych ku czerwieni.
Krystyna Wosińska, WF PW
Obecna wartość stałej Hubble’a:
Dane z eksperymentu WMAP (2010)
H  71 , 0  2 ,5
km
( s  MPc )
Dane z eksperymentu Planck (2013)
H  67 ,15
km
( s  MPc )
Krystyna Wosińska, WF PW
Stała Hubble’a
Krystyna Wosińska, WF PW
Pomiar gęstości materii
Wszechświata
Od gęstości zależy krzywizna Wszechświata
•Pomiar promieniowania świecących gwiazd i materii
międzygwiazdowej –materia świetlista
 lum  0,005
Krystyna Wosińska, WF PW
Ωlum ~ 0.005
Pomiar gęstości materii Wszechświata
Od gęstości zależy krzywizna Wszechświata
•Pomiar zawartości lekkich pierwiastków powstałych w pierwszych 3
minutach po Wielkim Wybuchu - materia barionowa
 b  0,04
•Pomiar oddziaływań grawitacyjnych – rotacja galaktyk materia grawitacyjna (ciemna materia)
 dm  0,3
Krystyna Wosińska, WF PW
Wszechświat jest płaski!
Wynik badania promieniowania reliktowego (2003):
 tot  1 , 02  0 , 02
Krystyna Wosińska, WF PW
Los Wszechświata
U>0
k<0
k=0
U=0
k>0
U<0
k  
U  Ek  E p
2U
2
mc x
2
Krystyna Wosińska, WF PW