Transcript Kombinatorika

Kombinatorika
és
VALÓSZÍNŰSÉG SZÁMÍTÁS
Készítette:
Horváth Zoltán
Hányféle sorrendben lehet az E,F,G betűket
pontosan egyszer leírni? Írjuk le az összes
lehetőséget!
EFG
EGF
FEG
FGE
GEF
GFE
Összesen 6 különböző sorrendet alkot a három elem.
2
Hányféle sorrendben lehet az 1,2,3,4
számjegyeket pontosan egyszer leírni?
Írjuk le az összes lehetőséget!
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321
Összesen 24 különböző sorrendet alkot a négy elem.
3
Egy n számú, egymástól különböző
elemek egy meghatározott sorrendjét
permutációnak nevezzük.
Jele: Pn
Kiszámítása:
n!
Pn  n!
Ejtsd: n faktoriális
5!  5  4  3  2  1  120
8!  8  7  6  5  4  3  2  1  40320
0!  1
4
6 ember hányféle sorrendben szállhat fel a
busz első ajtóján, ha az ajtón egyszerre
csak egy ember mehet át?
Ez 6 elem sorrendje, azaz 6 elem permutációja.
P6 
6!  720
720 különböző sorrendben szállhat
fel a buszra a 6 ember.
5
Egy 20 fős osztály tanulói egy színházban egy sorba
egymás mellé leülhetnek. Hány ülésrend alakulhat?
Ez 20 elem sorrendje, azaz 20 elem permutációja.
P20 
20 !  2432902008
176640000
2 432 902 008 176 640 000
különböző sorrendben ülhetnek
a színház székeire egy sorba egymás mellé.
6
Hány olyan 10 jegyű szám van, amelyben minden
számjegy pontosan egyszer fordul elő?
Az első helyre 0 kivéve bármi írható, azaz 9 elem.
A maradék pedig 9 elem sorrendje,
azaz 9 elem permutációja.
9  P9 
9  9!  3265920
3 265 920 különböző számjegyű 10 számjegyű szám
állítható elő a számjegyekből.
7
Hányféleképpen rendezhető egy sorba 5nő és 7 férfi
úgy, hogy a nők elől állnak?
A nők 5 elem permutációját,
A férfiak 9 elem permutációját alkotják.
P5  P7  5!  7!  604 800
604 800 különböző sorrendet alkothat
az 5 nő és 7 férfi a fenti feltételeknek megfelelően.
8
Hányféleképpen rendezhető egy polcon egy sorba 5
Mozart, 9 Beethoven, 3 Wagner és 4 Händel CD úgy, hogy
a CD-k egy csoportot alkossanak előadónként?
A 4 előadó gyűjteményei 4! féleképpen rendezhetők,
És előadónként rendre 5!, 9!, 3! és 4!
Féleképpen cserélődhetnek az előadókon belül.
P4  P5  P9  P3  P4  4! 5!  9! 3! 4!
 1504935936 00
150 493 593 600 különböző rendezettséget alkothat
a 4 előadó CD-i.
9
Egy 10 fős csoportban Jancsi és Juliska egymás
mellé szeretnének ülni. Hányféleképpen valósulhat
meg a szándékuk?
Kezeljük a szerelmes párt 1 elemként, ami két
különbözősorrendet jelöl, azaz két elem permutációját!
Így összesen a maradék 8 fő és a szerelmes pár 9
elemnek tekinthető, ami 9 elem permutációját adja.
P2  P9  2!  9!  725 760
725 760 különböző sorrendet alkothat
a 10 fős csoport úgy, hogy Jancsi és Juliska
egymás mellé üljön le.
10
Egy 10 fős csoportban Pistike és Sanyika egymás
mellé nem ülhet a mozi székeire egy sorba.
Hányféleképpen ültetheti le a csoportot a tanító néni?
Az összes lehetőség a feltételek nélkül (10!) 10 elem
permutációja lenne, amiből a feltételeket ki kell válogatni:
Rossz esemény az, amikor a két fiú egymás mellé ül:
Ennek száma: 2!9!
P10  P2  P9  10 !  2!  9! 
2903040
2903040 különböző sorrendet alkothat
a 10 fős csoport úgy, hogy Pistike és Sanyika
egymás mellé ne üljön le.
11
Egy 3 fős kerek asztalhoz hányféleképpen
ülhet le 3 fő?
A bekeretezett
ülésrendek nem
jelentenek különböző
ülésrendet, mert ezek
egymással forgásszimmetrikusak.
P3
3

3!
3

2
Ez 3 elem permutációja,
de 2 -2 háromszor
fordul elő
Három fős asztalhoz kétféleképpen lehet
12
leülni.
Egy pókerasztalhoz 6-an ülnek le.
Hányféleképpen ülhetnek le játszani?
Ha láncba ülnének, akkor ez hat elem permutációja
lenne.
De minden lehetséges sorrend a lánc összefűzésével
a forgásszimmetria miatt annyiszor fordul elő,
ahányan az asztalhoz ülnek.
P6
6

6!
6

120
A pókerasztalhoz hatan 120 féleképpen ülhetnek le.
13
Egy tábortüzet 8-an ülik körbe.
Hányféleképpen ülhetnek a tűzhöz?
Ha láncba ülnének, akkor ez nyolc elem permutációja
lenne.
De minden lehetséges sorrend a lánc összefűzésével
a forgásszimmetria miatt annyiszor fordul elő,
ahányan a tűzhöz ülnek.
P8
8

8!
8

5040
A tábortüzet nyolcan 5040 féleképpen ülhetik körbe.
14
Egy nemzetközi konferencián 5 magyar, 3 cseh és 4
lengyel egy asztalhoz ülnek le.
Hányféleképpen ülhetnek le, ha az azonos
nemzetiségűek egymás mellé ülnek?
Adott 5, 3 és 4 elem permutációja,
amely csoportok három elem permutációját adják.
Ha kört alkotnak, akkor a forgásszimmetria miatt
egy elrendezés 12-szer ismétlődik.
P5  P3  P4  P3
12

5! 3! 4! 3!
12
 8640
A konferencián a feltételeknek megfelelően 8640
ülésrend alakulhat ki az asztal körül.
15
Ha van 2 tíz és 2 húsz forintos érmém, hányféle
sorrendben rakhatom le azokat, ha az azonos
értékűeket nem különböztetjük meg?
Összesen 6 féle sorrendben lehet
lerakni ezeket az érméket.
16
Ha van n számú elemünk, és abból k1, k2, … km
elemek megegyezők, akkor ennek egy
meghatározott sorrendjét ismétléses permutációnak
nevezzük.
Jele:
Kiszámítása: Pn
Pn
k 1 , k 2 ,...  k m
k 1 , k 2 ,..., k m

n!
k 1 !k 2 ! ...  k m !
17
Ha van 2 tíz és 2 húsz forintos érmém, hányféle
sorrendben rakhatom le azokat, ha az azonos
értékűeket nem különböztetjük meg?
Ez 4 elem permutációja,
Amelyben 2-2 elem ismétlődik!
2,2
4
P

4!
2! 2!
 6
Összesen 6 féle sorrendben lehet
lerakni ezeket az érméket.
18
A matematika szó betűiből hány db „szó”
alkotható, ha minden betűt legfeljebb egyszer
használhatunk fel?
A matematika szó 10 elemű, ez 10 elem permutációja.
De az M betű 2-szer ismétlődik,
az A betű 3-szor ismétlődik,
a T betű 2-szer ismétlődik, ezért:
2 ,3, 2
10
P

10 !
2! 3! 2!
 151200
Összesen 151200-féle szót lehet
alkotni a matematika szó betűiből.
19
A paralelogramma szó betűiből hány db „szó”
alkotható, ha minden betűt legfeljebb egyszer
használhatunk fel?
A paralelogramma szó 14 elemű,
ez 14 elem permutációja.
De az A betű 4-szer ismétlődik,
az R betű 2-szer ismétlődik,
az L betű 2-szer ismétlődik,
az M betű 2-szer ismétlődik, ezért:
4,2, 2, 2
14
P
14 !
 4! 2! 2! 2!  454053600
Összesen 454053600-féle szót lehet
alkotni a paralelogramma szó betűiből.
20
Egy dobozban van 2 sárga golyó. Hány pirosat kell
betenni ahhoz, ha azt szeretnénk elérni, hogy a
dobozból kihúzott golyókat összesen 21
sorrendben lehessen kihúzni?
Adott n számú golyó, amiből
n ! 2 db sárga, többi piros.
21 
A sárga golyó 2-szer2ismétlődik,
!   n  2 !
A piros golyó (n-2)-szer ismétlődik,
2 ezért:
2 ; n  2n
n21 
P
n  n  42  0
  n  1    n  2 !
 21
2 !n !n  2 !
2; n  2
Pn
 n  n  1
21  2 !  n  2 !
2
n   n  1   42
n 1; 2 
1
n1  7
n1  N
1  168
2

1  13
2
n2  6
n2  N
7-2, vagyis 5 piros golyót kell betenni a dobozba!
21
Egy dobozban van 2 zöld golyó. Hány pirosat kell
betenni ahhoz, ha azt szeretnénk elérni, hogy a
dobozból kihúzott golyókat összesen 36
sorrendben lehessen kihúzni?
Adott n számú golyó, amiből
n ! 2 db zöld, többi piros.
36 
A zöld golyó 2-szer ismétlődik,
2!   n  2  !
A piros golyó (n-2)-szer ismétlődik,
2 ezért:
2 ; n  2n
36

n
P
n  n  72  0
  n  1    n  2 !
 36
2 !   n  2 !
n!
2; n  2
Pn
 n  n  1
36  2 !  n  2 !
2
n   n  1   72
n1 ; 2 
1
1  288
2
n1  9
n1  N

1  17
2
n2  8
n2  N
9-2, vagyis 7 piros golyót kell betenni a dobozba!
22
Egy szépségversenyen 10 csinos nő indul, akik
közül kiválasztják a három legszebbet!
Hányféleképpen alakulhatott a helyezési sorrend?
Az első helyre 10 jelentkező van.
A második helyre 9 jelentkező van.
A harmadik helyre 8 jelentkező van.
X  10  9  8  720
A 10 fős szépségversenyen az első három helyezés
720 különböző sorrendben alakulhat!
23
Egy szépségversenyen 10 csinos nő indul, akik
közül kiválasztják a három legszebbet!
Hányféleképpen alakulhatott a helyezési sorrend?
Ez 10 olyan elem permutációja, ahol 7 elem
sorrendje nem számít, csak az első háromé!
Az ilyen jellegű sorrendet variációnak nevezzük.
V
3
10

10 !
10  3 !
 720
A 10 fős szépségversenyen az első három helyezés
720 különböző sorrendben alakulhat!
24
Ha van n db egymástól különböző elemünk, és
ebből k db elem meghatározott sorrendjét
állítjuk elő, akkor n elem k-ad osztályú
variációjának nevezzük.
Jele:
Kiszámítása:
Vn
k
k
Vn 
n!
 n  k !
25
Egy pályázatra 9-en jelentkeznek, ezek
közül kettőt díjaznak. Hányféleképpen
alakulhat a díjazás?
Ez kilenc elem másodosztályú variációja:
V
2
9

9!

9!
9  2  ! 7 !

9 8 7!
7!
 72
A pályázat díjazása 72 különböző módon alakulhat.
26
Egy 11 tagú csoprtból 6-ot feleltetnek egy
órán. Hányféleképpen alakulhat a feleltetés,
ha számít a felelés sorrendje?
Ez tizenegy elem hatodosztályú variációja:
11

10

9

8

7

6

5
!
11
!
6


V11 
11  6 ! 5 !
5!
11 !
 332640
A feleltetés sorrendje 332 640 módon alakulhat.
27
Ha van n db egymástól különböző elemünk, és
ebből bármilyen k db elem meghatározott sorrendjét
állítjuk elő, miközben bármelyik elem k-szor is
előfordulhat, akkor n elem k-ad osztályú
ismétléses variációjának nevezzük.
Jele:
Kiszámítása:
Vn
k ;i
Vn
k ,i
 n
k
28
Egy érmével 3 dobást végzünk. Hányféle
dobássorozat adódhat, ha a dobások sorrendjét is
figyelembe vesszük?
Minden dobás alkalmával két lehetőségünk van.
V
3 ,i
2
2
3
8
Az érmével a 3 dobás 8 különböző
dobássorozat állít elő.
29
Egy kockával 4 dobást végzünk. Hányféle
dobássorozat adódhat, ha a dobások sorrendjét is
figyelembe vesszük?
Minden dobás alkalmával hat lehetőségünk van.
V
6 ,i
4
6
4
 1296
4 kockadobás 1296 különböző dobássorozat állít elő.
30
Hány szelvényt kellene a totón kitölteni, hogy az
első 13 mérkőzést biztosan eltaláljuk?
Minden mérkőzésre három tipplehetőségünk van.
V
13 , i
3
3
13
 1 594 323
A totón 1 594 323 szelvény hibátlan kitöltése
szükséges a biztos találathoz..
31
Egy négyszemélyes lifthez 6 ember érkezik.
Hányféleképpen mehetnek fel az első lifttel?
Ez esetben hatból négyet kell kiválasztani.
Ez lehetne hat elem negyedosztályú variációja is,
De az első négy
ekkor nem számít!
6 !ember6sorrendje
5  4!
 a felmenők,
Vagyis X
sem
sorrendje
 sem a lentmaradók
15
2 ! 4 ! a két 2részre
 4 ! eső társaságok
nem számít. Akkor
sorrendjeivel egyszerűsítsük a hat fő sorrendjét!
A hat ember közül 4-et 15-féleképpen választhatunk ki!
32
Ha van n db egymástól különböző elemünk, és
ebből k db elemet kiválasztunk úgy, hogy annak
sorrendje nem számít, akkor n elem k-adosztályú
kombinációjának nevezzük.
Jele:
Kiszámítása:
Cn
k
Cn
k
n!
n
   
 k  k ! n  k !
Ejtsd: n alatt a k.
33
8 fős társaságban hány kézfogás történik, ha
mindenki mindenkivel pontosan egyszer fog kezet?
Egy kézfogáshoz két ember szükséges.
Vagyis: hányféleképpen tudunk
2 főt 8 közül sorrendfüggetlenül választani?
Ez nyolc elem másodosztályú kombinációja.
C
8  7  6!
8!
2 8 

   
2 6!
8  2  6 ! 2 !
 28
8 fő között összesen 28 kézfogás történhet.
34
20-an jelentkeztek körmérkőzéses lebonyolítású
sakkversenyre. Összesen hány meccset játszottak,
ha mindenki mindenkivel csak egyszer játszott?
Egy játszmához két ember szükséges.
Vagyis: hányféleképpen tudunk
2 főt 20 közül sorrendfüggetlenül választani?
Ez 20 elem másodosztályú kombinációja.
C
2

20
20  19  18 !
20 !
 20 

  
2 18 !
 2  2 ! 18 !
 190
20 fő között összesen 190 játszma volt
a körmérkőzéses sakkversenyen.
35
Hány szelvényt kell megvásárolni az ötös lottó biztos
nyereményéhez?
Vagyis: hányféleképpen tudunk
5 elemet 90 közül sorrendfüggetlenül választani?
Ez 90 elem ötödosztályú kombinációja.
C
5

90
90  89  88  87  86  85 !
90 !
 90 

  
120  85 !
 5  85 ! 5 !
 43 949 268
Az ötöslottó biztos főnyereményéhez 43 949 268
36
kitöltött, különböző szelvény szükséges.
Hány szelvényt kell megvásárolni a hatos lottó biztos
nyereményéhez?
Vagyis: hányféleképpen tudunk
6 elemet 45 közül sorrendfüggetlenül választani?
Ez 45 elem hatodosztályú kombinációja.
C
45  44  43  42  41  40  39 !
45 !
 45 
6

   
720  39 !
45  6  39 ! 6 !
 8 145 060
A hatoslottó biztos főnyereményéhez 8 145 060
kitöltött, különböző szelvény szükséges.
37
Egy 30 fős osztályban 10 fiú, és 20 lány van.
Hányféleképpen választhatunk ki 5 főt, hogy
pontosan 2 fiú legyen?
A fiúk közül 10 főből 2-t kell sorrend-függetlenül,
A lányok közül 20 főből 3-t kell
sorrend-függetlenül választani.
C C
2
10
3
20 !
10 !



20 8 ! 2 ! 17 ! 3 !
45  1140
 51300
10 fiúból 2-t és 20 lányból 3-t 51300-féleképpen lehet
kiválasztani.
38
Pista bácsi az ötszemélyes skodájával 12 embert el
szeretne szállítani, de a szabályok betartásával ezt 3
fordulóval tudja csak teljesíteni. Hányféleképpen teheti?
Először 12 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül,
azután már csak 8 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül,
végül már 4 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül
választania.
C C C
4
12
4
8
4
4
 12   8   4 
12 !
8!
4!
         


8 ! 4 ! 4 ! 4 ! 4 ! 0 !
 4  4 4
 495  70  1  34650
Pista bácsinak 34650 lehetősége van a fuvarozásra.
39
Zsolti bácsi az ötszemélyes audijával 12 embert el
szeretne szállítani úgy, hogy első fuvarban Mari nénit
elvigye. 3 fordulóval tudja csak teljesíteni a fuvarozást.
Hányféleképpen teheti?
Először 11 fő közül 3-t kell sorrend-függetlenül
(Mari néni a negyedik utas),
azután már csak 8 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül,
végül már 4 fő közül 4-t kell sorrend-függetlenül
választania.
C C C
3
11
4
8
4
4
 11   8   4 
11 !
8!
4!
         


8 ! 3 ! 4 ! 4 ! 4 ! 0 !
 3  4 4
 165  70  1  11550
Zsolti bácsinak 11550 lehetősége van a fuvarozásra,
40
ha Mari nénit az első körben el kell vinnie.
Gráfok
41