Statisztika

7.

Dr. Balogh Péter Gazdaságelemzési és Statisztika Tanszék DE-AMTC-GVK

GYAKORISÁGI ELOSZLÁSOK FŐ JELLEGZETESSÉGEI    1. Helyzet (közepes érték helye a számegyenesen): helyzetmutatók (középértékek) 2. Szóródás (az ismérvértékek különbözősége): szóródási mérőszámok 3. Alak (az eloszlás görbéjének kinézete a normális eloszláshoz képest): aszimmetria, csúcsosság mérőszámai 2

Középérték nagyságában különböző gyakorisági sorok (helyzet) 3

Szóródás nagyságában különböző gyakorisági sorok (szóródás) 4

Alak szerint különböző gyakorisági sorok (aszimmetria) 5

Alak szerint különböző gyakorisági sorok (csúcsosság) 6

Változékonyság - Szóródás

 Rendszerint a sokaság egészének tömör jellemzésére törekszünk – középérték.

 A középértékek az ismérvek értéknagyság szerinti eltérését eltakarják.

 Ugyanazt az átlagos értéket különbözőképpen ítélhetjük meg a szóródás nagyságától függően.

 Felmerül az az igény is, hogy figyelmünket azokra a tényezőkre irányítsuk, melyek az átlagostól való eltéréseket alakítják ki .

 Szóródáson az azonos fajta számszerű értékek (általában egy mennyiségi ismérv értékeinek) különbözőségét értjük.

7

A szóródás

 A szóródás, vagyis az értékek különbözősége kifejezésre jut   az egyes értékek egymástól való eltérésében a középértéktől való eltérésben  A mérőszámok lehetnek  mennyiségi ismérv eredeti mértékegységében kifejezve  az eredetitől elvonatkoztatott "tiszta" szám 8

A szóródás mérőszámai

 A szóródás terjedelme  A középeltérés  Az abszolút átlageltérés  A négyzetes átlageltérés  Szóródási együttható 9

A szóródás terjedelme

 A vizsgált sokaságban előforduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége.

i s = X max - X min  Azt fejezi ki, hogy mekkora értékközben ingadoznak az ismérv értékei.

 Ritkán használják.

 A kiugró értékek hatása.

10

KÖZÉPELTÉRÉS

 A mediántól számított eltérések abszolút értékeinek számtani átlaga Ke  i n   1 x i n  Me 11

ABSZOLÚT ÁTLAGELTÉRÉS

 A számtani átlag alkalmazott módszer, megbízhatóságának vizsgálatára  A statisztikai sor értékeinek a számtani átlagtól számított eltérései abszolút értékének számtani átlaga,  Az eredmény mértékegységgel bíró hányados,  Az átlagtól mindkét irányban értelmezzük.

δ



i n

 

1 x i n



x δ



i n

 

1 f i x i



i n

 

1 f i x

12

SZÓRÁSNÉGYZET VAGY VARIANCIA

S 2  i n  

1

 x i n  x 

2 S 2



i n

 

1 f i



x i i n

 

1 f i



x



2

 A számtani átlagtól számított eltérések négyzetének az átlaga,  Alkalmazása különösen a szórást előidéző tényezők vizsgálatánál nagy jelentőségű .

 Varianciaanalízis: a szórásnégyzet összetevőkre bontása

S 2



S b 2



S k 2

13

Heterogén sokaság rész sokaságok

 A sokaság értékei a főátlag körül szóródnak,  A részsokaságok értékei a részátlagok körül szóródnak,  A részátlagok szóródnak a főátlag körül,  Az egész sokaságra jellemző szórásnégyzet egyenlő a csoporton belüli szórásnégyzetek átlagának és a részátlagok szórásnégyzetének összegével.

14

NÉGYZETES ÁTLAGELTÉRÉS VAGY SZÓRÁS

A szórásnégyzetből nevezzük szórásnak számított négyzetgyök értékét  Négyzetes átlag gyakorlati alkalmazása,  Az eredmény dimenzióval rendelkező hányados.

(mértékegységgel) S  Σ  X i n  X  2 S  Σf i  X i Σf i  X  2 15

SZÓRÓDÁSI EGYÜTTHATÓ VAGY RELATÍV SZÓRÁS

A számtani átlaghoz viszonyítva fejezi ki a szóródás mértékét    az eredményt %-ban fejezzük ki, az együttható nagysága a vizsgált jelenség változékonyságával nő, alkalmas eltérő összehasonlítására, jelenségek szórásának  figyelembe veszi a vizsgált jelenség színvonalát,

V =

S X * 100

16

SZÓRÓDÁSI EGYÜTTHATÓ VAGY RELATÍV SZÓRÁS

A sokaság:  0 – 10% homogén,  10 – 20% közepesen változékony,  20 – 30% erősen változékony,  30% fölött szélsőségesen ingadozó (az átlag nem alkalmas a sokaság jellemzésére) 17

Tej és tejtermék fogyasztás alakulása néhány megkérdezettnél 1.

2.

3.

4.

5.

6.

5500 6300 6100 5500 5800 6600 35800

x



Me x



x



x



x

2



5500 5800 6000 6100 6300 6600

550 250 50 50 250 550

1700

466,7 166,7 33,3 133,3 333,3 633,3 217778 27778 1111 17778 111111 401111

1766,7 776667

18

Me



n

 1  2 7 2  3 , 5 .

elem

 6050

liter x

 

x n



35800 6



5966 , 7

liter

19

Szóródás terjedelme: x max -x min =1100 liter Középeltérés:

KE

 

x

i



Me n

Abszolút átlageltérés:  1700 6  283 , 3

liter

  

x



x n

 1766 , 7 6  294 , 4

liter

20

Variancia:

S

2     2

n

 776667 6  129444 , 4 Szórás:

S

    2

n

 776667  6 129444 , 4  359 , 8

liter

Relatív szórás:

V



S x

* 100  359 , 8 5966 , 7 * 100  6 , 03 % hom

ogén

21

Az iparban alkalmazásban állók száma és havi bruttó átlagkeresete 1997-ben Magyarország néhány megyéjében Borsod-Abaúj Zemplén Heves Nógrád Hajdú-Bihar Jász-Nagykun Szolnok Szabolcs Szatmár-Bereg

Összesen

57 25 16 34 32 30

194

Átlag kereset eFt/fő 58

f x

3306

59 47 54 53

1475 752 1836 1696

48

1440 10505

x



x f x



x



x



x

2



f



x



x

2

 3,9 4,9 7,1 0,1 1,1 6,1 219,5 121,3 114,4 5,1 36,8 184,5 681,5 14,8 23,5 51,1 0,02 1,3 37,8 845,1 588,2 817,8 0,8 42,3 1134,5 3428,7 22

Súlyozott számtani átlag:

x

  

fx f

 10505 194  54 , 1

ezerFt

Abszolút átlageltérés:   

f



x f



x

 681 , 5  3 , 5

ezerFt

/ 195

fő

23

Variancia:

S

2  

f

  

f

2  3428 , 7 194  17 , 7 Szórás:

S

 

f

   2

f

 3428 , 7  194 17 , 7  4 , 2

ezerFt

/

fő

Relatív szórás: V  S *

100

x 

4

,

2 54

,

1

*

100



7

,

8

% homogén 24

EGYSZERŰSÍTÉSEK A SZÓRÁS SZÁMÍTÁSNÁL

Ha nem a számtani átlagtól, hanem egy tetszőleges alaptól számítják az eltéréseket

S

 

( Χ i n



Α ) 2

 

Χ



Α



2

25

EGYSZERŰSÍTÉSEK A SZÓRÁS SZÁMÍTÁSNÁL

 Ha a tetszőleges alap „0”

S



ΣΧ i 2 n



Χ 2

 Osztályközös gyakorisági sorból

S



i *

 

f i d f i i 2

    

f i f i d i

 

2 d i



x i



x

26