Diapositiva 1 - Politecnico di Torino
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Transcript Diapositiva 1 - Politecnico di Torino
I piaceri della dualità:
un esempio
Renato Betti – Politecnico di Milano
y bx c 0
S(x,y)
R(a,b)
Renato Betti – Politecnico di Milano
Corrispondenza fra curve '
y bx c 0
'
Renato Betti – Politecnico di Milano
y bx c 0
Renato Betti – Politecnico di Milano
y bx c 0
Renato Betti – Politecnico di Milano
y bx c 0
Renato Betti – Politecnico di Milano
y bx c 0
Renato Betti – Politecnico di Milano
y bx c 0
xt
2
y
t
c
t bt c 0
2
y x2
b
Renato Betti – Politecnico di Milano
t 2 bt c 0
Renato Betti – Politecnico di Milano
t bt c 0
2
2t b 0
b 2t
2
c
t
b 2 4c 0
(discriminante dell’equazione di secondo grado)
1 2
2
La parabola di equazione c b è la duale della y x
4
Renato Betti – Politecnico di Milano
y bx c 0
xt
3
y t
t bt c 0
3
yx
c
3
b
Renato Betti – Politecnico di Milano
t bt c 0
3
Renato Betti – Politecnico di Milano
Un’equazione di terzo grado ha
sempre almeno una soluzione reale
Renato Betti – Politecnico di Milano
t bt c 0
3
3t 2 b 0
b 3t
3
c 2t
2
4b 27a 0 (discriminante dell’equazione di terzo grado)
3
2
La cubica cuspidata di equazione 4b 3 27a 2 0
3
è la duale della cubica di equazione y x
Renato Betti – Politecnico di Milano
t
2n
2 n 1
bt c 0
t
2 n 1
(2n 1)t 2n b 0
2nt
b 0
b 2nt 2 n1
2n
c
(
2
n
1
)
t
bt c 0
b (2n 1)t 2 n
2 n 1
c
2
nt
Renato Betti – Politecnico di Milano
L’equazione t 2 n bt c 0 ha due radici reali distinte
se il punto (a,b) è esterno alla curva (convessa) di
equazioni parametriche
b 2nt 2 n1
2n
c
(
2
n
1
)
t
Ha due radici reali coincidenti
se il punto (a,b) appartiene alla
curva, non ne ha se il punto è
interno alla curva.
L’equazione ha una radice
reale di molteplicità superiore
a due solo se a = b = 0.
Renato Betti – Politecnico di Milano
L’equazione
radice reale.
t 2 n 1 bt c 0
ha sempre almeno una
Ha tre radici reali e distinte quando il punto (a,b) è interno alla
curva cuspidata di equazioni
b (2n 1)t 2 n
2 n 1
c
2
nt
Ha una radice reale doppia se (a,b)
appartiene alla curva ed una sola
radice reale se il punto è esterno alla
curva.
L’equazione ha una radice
reale di molteplicità superiore
a due solo se a = b = 0.
Renato Betti – Politecnico di Milano
Renato Betti – Politecnico di Milano
t 5 bt c 0
t bt c 0
4
Provate a studiare
Grazie
t bt ct d 0
4
2