Transcript Galois e il concetto di gruppo

Galois e il concetto
di gruppo
Pristem, Padova 12 aprile 2013
Évariste Galois (1811-1832)
Renato Betti – Politecnico di Milano
Risolubilità per radicali delle
equazioni algebriche:
x  a1 x
n
Pregherai pubblicamente Jacobi o
Gauss di dare il loro parere, non sulla
verità ma sull’importanza dei teoremi.
Dopo questo ci sarà, spero, qualcuno
che troverà il suo profitto a decifrare
tutto questo guazzabuglio.
Renato Betti – Politecnico di Milano
n1
   an  0
… le frecce intere
rappresentano
generalizzazioni di varie
costruzioni o risultati,
mentre quelle tratteggiate
rappresentano
“ispirazioni”…
Renato Betti – Politecnico di Milano
XVI secolo: Tartaglia, Cardano, Ferrari
F ( x)  x n  a1 x n1    an  0
a1 , a2 ,..., an  Q
x  a x b0
a  a 2 4 b
x
2
x 3  px  q  0
3
2
3
2
q
p
q
q
p
q
x3 

3 

2
27 4
2
27 4
2
x4  p x 2  q x  r  0
……………………………………
……………………………………………………………………………………………………...
Renato Betti – Politecnico di Milano
XVI - XVII secolo: Viète, Girard, …
x n  a1 x n1    an  ( x  r1 )( x  r2 )  ( x  rn )
a1  (r1  r2    rn )
a 2  r1r2  r1r3    rn 1rn

a n  (1) n r1r2  rn
x  bx  c  0
2
r1  r2  b

 r1 r2  c
Renato Betti – Politecnico di Milano
Newton: Arithmetica Universalis (1707)
sk  r1k  r2k  ....  rnk
s1   a1
s2   s1a1  2a 2
s3   s2 a1  s1 a 2  3a3

sk   sk 1a1  s k  2 a 2   (1) k ka k
Renato Betti – Politecnico di Milano
Teorema fondamentale delle funzioni simmetriche
 1  x1  x2    xn
 2  x1 x2  x1 x3    x n1x n
.................
 n  x1x 2  x n
Ogni polinomio simmetrico si può esprimere univocamente
come un polinomio nei polinomi simmetrici elementari.
(r1  r2 )2  (r1  r2 )2  4r1 r 2 b2  4c
(r1  r2 ) 2 (r1  r3 ) 2 (r2  r3 ) 2   4 (r1 r2  r1 r3  r2 r3 )3  27 r1 r2 r3 
  4 p  27 q
3
2
Renato Betti – Politecnico di Milano
Joseph Louis Lagrange
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)
t  r1  r2
r1 
1
 (r1  r2 )  (r1 r 2)
2
t
t = r1 + α r2 + α 2 r3

t 3 = (𝒓𝟏 + 𝜶𝒓𝟐 + 𝜶𝟐 𝒓𝟑 )3
u3 = (𝒓𝟏 + 𝜶𝟐 𝒓𝟐 + 𝜶𝒓𝟑 )3
1    2  0
1
r1   (r1  r2  r3 )  (r1   r2   2 r3 )  (r1   2 r2   r3 )
3
𝑡
𝑢
Renato Betti – Politecnico di Milano

Joseph Louis Lagrange
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)
t = 𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 + 𝒓𝟑 − 𝒓𝟒
t 𝟐 = (𝒓𝟏 −𝒓𝟐 + 𝒓𝟑 − 𝒓𝟒 )𝟐
u𝟐 = (𝒓𝟏 +𝒓𝟐 − 𝒓𝟑 − 𝒓𝟒 )𝟐
v 𝟐 = (𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 − 𝒓𝟑 +𝒓𝟒 )𝟐
𝒓𝟏 =
𝟏
𝟒
𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 + 𝒓𝟑 + 𝒓𝟒 +
+𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 + 𝒓𝟑 − 𝒓𝟒 +
+𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 − 𝒓𝟑 − 𝒓𝟒 +
+𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 − 𝒓𝟑 + 𝒓𝟒
t
u
v
t = 𝒓𝟏 + 𝜶𝒓𝟐 + 𝜶𝟐 𝒓𝟑 + 𝜶𝟑 𝒓𝟒 + 𝜶𝟒 𝒓𝟓
Renato Betti – Politecnico di Milano
Joseph Louis Lagrange
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)
Teorema. Se è una funzione razionale in n indeterminate, a
coefficienti noti, l’ordine del gruppo di isotropia I() di è
un divisore di n! Inoltre è radice di un’equazione di grado
n!/ |I()| a coefficienti noti.
Teorema (di Lagrange). In un gruppo finito, l'ordine di un
sottogruppo è un divisore dell'ordine del gruppo.
Esempio:   r1 r2  r3 r4
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟒
𝟒
Renato Betti – Politecnico di Milano
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
(𝟑
(𝟒
(𝟑
(𝟒
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐)
𝟐)
𝟏)
𝟏)
Joseph Louis Lagrange
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)
Teorema. Se  e ψ sono espressioni razionali in m
indeterminate, e ψ assume n valori distinti sotto l'azione
delle permutazioni di I ( ) , allora ψ è radice di
un'equazione di grado n, i cui coefficienti si esprimono
razionalmente mediante  .
  r1 r2  r3 r4
𝝍 = 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 − (𝒓𝟑 + 𝒓𝟒 )
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟒
𝟒
Renato Betti – Politecnico di Milano
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
(𝟑
(𝟒
(𝟑
(𝟒
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐)
𝟐)
𝟏)
𝟏)
Teorema (Ruffini, 1799, Abel, 1826)
L’equazione generale di grado superiore al quarto non è
risolubile per radicali.
L’idea di Galois
3
Esempio: x  3 x  4  0
r  3 2 3 3 2 3
𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟒 = (𝒙 − 𝒓)(𝒙𝟐 + 𝒓𝒙 + 𝒓𝟐 )
Renato Betti – Politecnico di Milano
Il gruppo di Galois
1, 2 , 2 , id 
1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , id 
1, id 
{ id }
Renato Betti – Politecnico di Milano
Évariste Galois
Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux
(1832-46)
  GK ( P )
(r1 , r2 ,, rn )  K
 (r (1) ,r  ( 2) ,, r ( n) )  K
1  r1  r2  r3  r4
|S 4| 24
 2  r1r2  r3r4
 3  (r1  r2 )  (r3  r4 )
 4  r3  r4
 5  r4
Renato Betti – Politecnico di Milano
La connessione di Galois
Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux
(1832-46)
Q  Q (v )
Q
GalQ ( P )
GalQ ( P )  GalQ ( v ) ( P )

Q (v1 )

GalQ ( v1 ) ( P )


Q (v1 , v 2 )




K
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

GalQ ( v1 ,v 2 ) ( P )




id 
Évariste Galois
Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux
(1832-46)
Teorema. P ( X )  0 è risolubile per radicali se e solo se,
ampliando progressivamente il campo dei coefficienti con termini
ausiliari v tali v p (con p primo) appartenga al precedente campo
dei coefficienti, il gruppo GalK (P ) si riduce all’identità.
Definizione
Un gruppo finito G si dice risolubile se esiste una catena di
sottogruppi
tale che:
Renato Betti – Politecnico di Milano
Évariste Galois
𝑮 ⊃ 𝑮𝟏 ⊃
𝑮𝟐
⊃…⊃
{id}
𝒙2 + 𝑎𝒙 + 𝑏 = 0
𝒙3
+ 𝑝𝒙+ q = 0 𝑸 ⊂
𝑸( ∆ )
𝑺𝟑 ⊃ 𝒊𝒅, 𝟑𝟏𝟐 , 𝟐𝟑𝟏
⊂ 𝑸( ∆,
𝟑
𝒒
+
𝟐
⊃ 𝒊𝒅
Teorema (Ruffini, Abel)
Il gruppo simmetrico S5 non è risolubile. Quindi l’equazione
generale di quinto grado non è risolubile per radicali.
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∆)
… Jordan, Kronecker, Dedekind …
Esistenza dei “campi di spezzamento” delle equazioni:
K (r1 , r2 ,, rn )
GalK(P) = AutK K (r1 , r2 ,, rn )
K (r1 , r2 ,  , rn )  K (r1 , r2 , , rn )

K

id
  


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K
Teoria di Galois di Artin
Q  K estensione finita di Galois:
Q  M  K 
QM K
|
( )
Gal
K

 

K( )
 H  GalK (Q ) 
 Gal K ( M )   : K  K |  (a )  a, a  M 
K H    K |  ( )   ,   H   | H
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Teorema fondamentale della teoria di Galois
Se Q  K è un’estensione finita di campi, la connessione di
Galois
Q  M  K 
( )
Gal
K

 

K( )
 H  GalK (Q ) 
stabilisce una corrispondenza biunivoca, che inverte l’ordine,
fra il preordine dei campi intermedi Q  M  K e il
preordine dei sottogruppi di GalK (Q) .
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Il gruppo fondamentale
p
U

Y
~

U

U
ricoprimento di X
ricoprimento universale di X
~
U
 U

QK
____________________________________________________________
~

U

U
QM K

Y
____________________________________________________________
 (U )
GalK (Q)
Renato Betti – Politecnico di Milano
Grazie per l’attenzione
Renato Betti – Politecnico di Milano