Transcript Corso di TEORIA DEI SEGNALI per Ingegneria

Corso di TEORIA DEI SEGNALI per Ingegneria Elettronica
ESERCIZI SULLA PROBABILITA’ E SULLE VARIABILI ALEATORIE
a cura di G.Poggi e L.Verdoliva
Ex. 1
Il signor K abita al sesto piano di un palazzo antico. Tornando a casa una sera si accorge di avere una sola
moneta che può essere da 10 centesimi (utile per l’ascensore) o da 20 centesimi.
1. Individuare uno spazio di probabilità che rappresenti l’esperimento e determinare la probabilità che il
signor K debba salire a piedi;
2. ripetere l’esercizio nell’ipotesi che il signor K abbia tre monete, ognuna delle quali può essere da 10
o da 20 centesimi.
Ex. 2
A fine Maggio la signora K vorrebbe trascorrere un week-end lungo (venerdı̀, sabato e domenica) al mare
in Sardegna, ma decide di partire solo se la probabilità di trovare bel tempo tutti e tre i giorni è almeno del
50%. Dall’azienda di turismo e soggiorno sarda viene a sapere che in quel periodo dell’anno la probabilità
di trovare una bella giornata è 0.7; inoltre questa probabilità sale a 0.8 e 0.85, rispettivamente, se anche il
giorno o i due giorni precedenti sono stati soleggiati. Cosa deciderà la signora K?
Ex. 3
Il figlio del signor K va a tentare un esame nonostante sia poco preparato, sperando di superarlo, quale che
sia voto. La commissione è formata dai professori A, B e C. L’esame con A o B dura un’ora, ed è piuttosto
approfondito, per cui la probabilità di superarlo avendo una cattiva preparazione è 0.1. Con C invece l’esame
dura solo 30 minuti, è più superficiale, e anche uno studente poco preparato lo supera nel 40% dei casi. Qual
è la probabilità che il giovane K superi l’esame, sapendo che, compreso lui, ci sono 12 esaminandi, e tutti
sosterranno l’esame tra le 9 e le 12 della mattina? Come cambiano le cose se gli esaminandi sono 5?
Ex. 4
Un giocatore disonesto trucca un dado in modo da ottenere il numero 6 in un lancio con probabilità 2/3 e
un qualsiasi altro risultato con probabilità 1/15. Sfortunatamente (per lui) al momento del lancio il dado
truccato si trova mescolato con altri due dadi non truccati. Il giocatore sceglie un dado a caso, lo lancia,
e ottiene 6. Valutare la probabilità che sia stato lanciato il dado truccato. Ripetere il calcolo sapendo che,
lanciato una seconda volta lo stesso dado, si è ottenuto ancora 6.
Ex. 5
Una moneta non truccata viene lanciata 6 volte e gli esperimenti (lanci) sono fra loro indipendenti. Calcolare
la probabilità degli eventi
1. esce 6 volte testa;
2. esce 5 volte testa ed una croce, in ordine qualsiasi;
3. al sesto lancio esce croce dopo aver osservato testa nei 5 lanci precedenti.
Ex. 6
Una moneta non truccata viene lanciata ripetutamente. Stabilire se la probabilità di avere n teste in ordine
qualsiasi su 2n lanci aumenta, diminuisce o rimane costante al crescere di n.
Ex. 7
Il numero 33 non esce sulla ruota di Napoli da 120 settimane. Calcolare la probabilità che esca la settimana
prossima.
Ex. 8
La probabilità che ad un autostoppista, fermo ad una piazzola, venga offerto un passaggio da una macchina in
transito è p = 0.04. Nell’ipotesi che i vari automobilisti decidano di offrire il passaggio indipendentemente
l’uno dall’altro, calcolare la probabilità che all’autostoppita venga offerto un passaggio prima del transito
della quarantesima macchina. Ripetere il calcolo sapendo che i primi 30 automobilisti non hanno offerto il
passaggio.
Ex. 9
Un pescatore cattura un pesce con probabilità p = 0.2 ad ogni lancio dell’amo, indipendentemente da un
lancio all’altro. Se tra un lancio e il successivo trascorre 1 minuto, qual è la probabilità che trascorrano più
di 10 minuti tra due catture? Quanto tempo passa in media tra una cattura e l’altra?
Ex. 10
Il signor Rossi desidera contattare la sua agenzia di viaggi per prenotare una settimana bianca. Prevedendo
che il telefono possa risultare occupato, egli decide di chiamare ripetutamente ad intervalli di 2 minuti. Se
la probabilità che il telefono risulti occupato in ciascuna telefonata è pari al 90% indipendentemente dalle
altre telefonate, determinare quanto tempo aspetterà in media il signor Rossi prima di poter parlare con
l’impiegato dell’agenzia.
Ex. 11
Si supponga che le chiamate effettuate dai telefoni cellulari abbiano una pdf esponenziale con media pari
a 2 minuti. Il gestore A addebita 0.2 centesimi per ogni secondo di conversazione, mentre il gestore B
addebita 10 centesimi per lo scatto alla risposta più 10 centesimi anticipati per ogni minuto di conversazione.
Caratterizzare statisticamente il costo di una telefonata per i due gestori e stabilire quale dei due offre il
servizio mediamente più conveniente.
Ex. 12
Si vuole analizzare il tempo di vita T di un tipo di dispositivo elettronico. Si dispone di uno strumento che
mostra il valore V = 2T se T > 3 sec, ed il valore costante V = 5 altrimenti. Sapendo che T è una variabile
aleatoria esponenziale di parametro λ = 2/3, trovare la CDF di V .
Ex. 13
Data la variabile aleatoria uniforme X ∼ U(x1 , x2 ), determinare la pdf di Y = aX + b.
Ex. 14
Il signor K va dal suo dentista per una visita di controllo, ma lo trova già impegnato con un altro paziente.
Sapendo che la durata di una visita è una v.a. T ∼ Exp(λ), con 1/λ pari a 30 minuti, e che il paziente
precedente è entrato da 20 minuti, quanto tempo dovrà aspettare in media il signor K prima di cominciare a
sua volta la visita? Ripetere il calcolo nell’ipotesi che sia T ∼ U(0, 60).
Ex. 15
Una fabbrica produce lampadine, ma prima di metterle in vendita effettua un test perché il 10% delle lampadine sono difettose e si fulminano subito. Quelle residue vengono messe in commercio, e la loro durata
in ore è descritta da una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ = 1/100. Determinare
1. la probabilità che una lampadina prodotta duri meno di 100 ore;
2. la probabilità che una lampadina messa in commercio duri meno di 100 ore.
Ex. 16
Sia X una v.a. gaussiana a media nulla e varianza σ 2 . Determinare la pdf della variabile aleatoria Z =
X + bA, dove A è una costante positiva e b è una v.a. statisticamente indipendente da X che assume i tre
valori equiprobabili -1, 0 e 1. Valutare, inoltre, media e varianza di Z.
Ex. 17
Un ospedale sta conducendo un’indagine per scoprire la percentuale di portatori asintomatici di epatite C
in una certa regione. Nominalmente il test fornisce il valore 10 per i pazienti sani e 18 per quelli affetti dal
virus, ma a causa di fluttuazioni aleatorie il risultato è in realtà una variabile aleatoria Laplace di parametro
λ = 1 centrata intorno a 10 per i pazienti sani e intorno a 18 per gli altri. Di conseguenza, si considera
positivo il test (paziente malato) quando il risultato supera 14.
Sapendo che vengono esaminate 1000 persone alla settimana e che l’un per cento di queste è portatore
del virus, quanti pazienti alla settimana saranno trovati positivi al test?
Ex. 18
A seguito di un’animata discussione, un amico propone al signor K una forte scommessa: gli pagherà cento
volte la posta se K riuscirà a correre la maratona in meno di 3 ore. Il tempo del signor K sulla maratona è
una variabile aleatoria gaussiana con media 3 ore e 20 minuti e deviazione standard 5 minuti: gli conviene
accettare la scommessa?
Ex. 19
In un ponte radio per la trasmissione dati si trasmette un bit Z che può valere con uguale probabilità 0
oppure 1. Il modulatore trasforma Z in X associando il valore −a a 0 ed il valore +a ad 1. Al segnale
utile X si somma poi un rumore W gaussiano a media nulla e varianza σ 2 , per cui il segnale ricevuto è
Y = X + W . Il ricevitore infine fornisce una stima Zb del bit trasmesso decidendo che Zb = 1 se Y > 0 e
Zb = 0 altrimenti. Qual è la probabilità d’errore?
Può accadere, a causa di fenomeni atmosferici, che il valore X ricevuto non sia più quello nominale a (a
meno del segno) ma una variabile aleatoria A ∼ Rayleigh(α2 ). Usando il teorema della probabilità totale
si calcoli la probabilità d’errore in questa nuova situazione.
Nella figura sotto è riportato lo schema a blocchi del sistema di trasmissione dati descritto, che unisce la
sorgente d’informazione al destinatario.
W
S
Z-
X - Y DEM
?
MO
Zb-
D
Ex. 20
Quando un film è interrotto dalla pubblicità il signor K cambia canale e ci ritorna dopo un periodo di tempo
modellabile come una v.a. esponenziale di parametro λ1 = 0.25. Sapendo che ogni intervallo pubblicitario
è una v.a. esponenziale di parametro λ2 = 0.5, determinare la probabilità che il signor K perda la ripresa
del film.
Ex. 21
Un giocatore di golf deve mandare la pallina in una buca distante 200 metri. Usando una mazza appropriata,
riesce a coprire una distanza aleatoria con media 100 metri, deviazione standard 7 metri e pdf gaussiana.
Qual è la probabilità che dopo due colpi si trovi a meno di 30 metri dalla buca?
(N.B. si supponga che la direzione sia giusta ad ogni tiro)
Ex. 22
Il signor K ed il fratello stanno giocando a Risiko, entrambi devono tirare un dado e il signor K vince solo
se il punto del suo dado A è maggiore di quello D del fratello. Qual è la probabilità che K vinca? Qual è la
probabilità che vinca se invece lancia tre dadi A1 , A2 e A3 , e sceglie il punto maggiore dei tre?
Ex. 23
Si consideri la pdf congiunta fXY (x, y) = ae−2x−3y u(x)u(y).
1. Si determini il valore di a.
2. Si valuti la probabilità condizionata P (X > 1/2|Y > 1/3).
Ex. 24
Due variabili aleatorie, X e Y , hanno pdf congiunta uniforme nel dominio D evidenziato in figura, cioè
(
fXY (x, y) =
C ∀ (x, y) ∈ D
0 altrimenti
Determinare il valore di C, stabilire se X e Y
sono indipendenti.
Ex. 25
6y
D
@
@
x
@
@
@
@
-
2
Siano X1 e X2 due v.a. iid con pdf fT (t) = te−t u(t), determinare la pdf di Y = X1 + X2 .
Ex. 26
Rilievi sperimentali effettuati per vari decenni hanno confermato la credenza popolare secondo cui esiste
una forte correlazione fra un fenomeno meteorologico che avviene nell’oceano Pacifico al largo delle coste
del Cile nel periodo di Natale (e per questo noto come “El Niño” cioè il Bambin Gesù) ed il clima osservato l’anno successivo. In particolare, dette X le precipitazioni (in mm/giorno) misurate durante El Niño,
e Y quelle (in mm/anno) misurate durante il resto dell’anno, si è visto che esse sono entrambe approssimativamente gaussiane X ∼ N (8, 1) e Y ∼ N (200, 2500). Inoltre, si è visto che data la misura delle
precipitazioni annuali, quelle durante El Niño sono ancora gaussiane, e precisamente
(X|Y = y) ∼ N (5.6 + 0.012y, 0.64)
Si desidera allora trovare la fY |X = x (y), in modo da poter predire con una certa affidabilità il clima annuale,
ed in particolare il rischio di siccità, a partire dall’osservazione di quei pochi giorni.
Ex. 27
La lunghezza (in metri) di uno spezzone di cavo telefonico può essere modellata come una v.a. U(1.9, 2.1).
Supponendo di collegare in serie dieci spezzoni di cavo scelti a caso indipendentemente l’uno dall’altro,
determinare la probabilità che la lunghezza complessiva risulti compresa tra 19.5 e 20.5 metri.
Suggerimento: utilizzare il teorema limite fondamentale.