Transcript + ∫1 ∫1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ε. Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ
ΑΚ. ΕΤΟΣ: 2016 – 2017
Επικ. Καθηγήτρια
4ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Το κείμενο αναφοράς για όλες τις επόμενες ασκήσεις είναι οι «Σημειώσεις και ασκήσεις σε ειδικά κεφάλαια εφαρμοσμένων μαθηματικών για πολιτικούς μηχανικούς»
του Ομότιμου Καθηγητή κ. Ν. Ι. Ιωακειμίδη.
ΑΣΚΗΣΗ 1: Θεωρούμε το πρόβλημα του βέλους κάμψης μιας ορθογωνικής πλάκας μήκους L που περιγράφεται από το πρόβλημα συνοριακών τιμών
S
w(x)  f(x) , w(0)  0  w(L) ,
(1.1)
D
όπου S, D θετικές σταθερές και f(x) γνωστή συνάρτηση. Να βρεθεί η σχετική συνάρτηση Green, ακολουθώντας τον 1ο τρόπο εύρεσης συναρτήσεων Green, δηλαδή
ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία με αυτήν της §Ε10.1. (Υπόδειξη: Να χρησιμοποιηθούν υπερβολικές συναρτήσεις στην εύρεση της γενικής λύσης της αντίστοιχης
ομογενούς εξίσωσης της (1.1).)
ΑΣΚΗΣΗ 2: Να λυθεί η προηγούμενη άσκηση, αλλά τώρα βρίσκοντας τη συνάρτηση Green ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία με αυτήν της §Ε10.4.2.
w (x) 
ΑΣΚΗΣΗ 3: Για δεδομένη γνωστή συνάρτηση f(x), να βρεθεί η συνάρτηση Green
του προβλήματος αρχικών τιμών
y(x)  3y(x)  2y(x)  f (x) , y(0)  0 , y(0)  0 , x  0
ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία με αυτήν της §Ε10.3.3.
ΑΣΚΗΣΗ 4: Θεωρούμε το μη γραμμικό πρόβλημα συνοριακών τιμών
y   f(x, y, y ) , y  y(x)
(4.1)
y(0)  A, y(1)=B
(4.2)
όπου Α, Β γνωστές σταθερές και f γνωστή συνάρτηση, καθώς και το βοηθητικό
πρόβλημα
y   0 , y  y(x)
(4.3)
y(0)  0, y(1)=0 .
(4.4)
(α) Χρησιμοποιώντας τη μεθοδολογία της §Ε10.3.3, να δειχθεί ότι η συνάρτηση
Green του (4.3)-(4.4) είναι:
(ξ  1)x, 0  x  ξ
.
(4.5)
G(x,ξ)  
(x  1)ξ, ξ  x  1
(β) Να δειχθεί ότι η y  y(x) είναι λύση του (4.1)-(4.2) αν και μόνο αν
y(x)  A(1  x)  Bx 

1
G(x,ξ)f(ξ, y, y )dξ
0
όπου G(x,ξ) η συνάρτηση Green (4.5).
(γ) Να δειχθεί ότι (i) G(x,ξ)  0 , για κάθε (x,ξ)  [0,1]  [0,1] , (ii) G(x,ξ)  1/ 4 ,
(iii)

1
G(x,ξ) dξ 
0
1
1
x(1  x)  .
2
8
Δίνονται οι τύποι:
d
dt
g 2 (t)

 
h(x,t)dx  h(g 2 (t),t)g 2 (t)  h(g1(t),t)g1 (t) 
g1 (t)
x
x
g1 (t)
x
...
x0
x0

g 2 (t)
x0
1
g(t)dtdt...dt

  (n  1)!
n φορές

h(x,t)
dx
t
x
x0
(x  t)n1 g(t)dt, n  