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números
Fred Tavares NÚMEROS COMPLEXOS
Os números
Complexos
conjunto numérico existente. constituem o
maior
NÚMEROS COMPLEXOS
N: conjunto dos números Naturais Z: conjunto dos números Inteiros Q: conjunto dos números Racionais I: conjunto dos números Irracionais R: conjunto dos números Reais C: conjunto dos números Complexos
Fred Tavares
Os números
Complexos
conjunto numérico existente. constituem o
maior
NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma:
a + bi
, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo. Podemos então dizer que um número complexo z será igual a
a + bi (z = a + bi).
Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária. Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
OBSERVAÇÕES
i 2 = -1 i = imaginário Re = real Im = imaginário
Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
IDENTIFICANDO
Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo:
z = - 3 + 5i z = -5 + 10i z = 1/2 + (1/3)i
Re(z) = -3 Im(z) = 5 Re(z) = -5 Im(z) = 10 Re(z) = 1/2 Im(z) = 1/3 Fred Tavares
As coordenadas a e b podem assumir qualquer NÚMEROS COMPLEXOS valor real, dependendo do valor que eles assumirem o número complexo irá receber um nome diferente:
Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número complexo é imaginário :
z = 3 + 8i
Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo é imaginário puro :
z = 0 + 9i z = 9i
Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo será real .
z = 7 – 0i z = 7
É comum vir em provas de vestibular.
Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS Exemplos: Determine o valor de m para que
z =(m-2) + 5i
, seja:
Número Real
Para que o complexo seja um número real devemos fazer b = 0 e a ≠ 0. m – 2 ≠ 0 então: m ≠ 2
Imaginário puro
Para que um número complexo seja imaginário puro a = 0 e b ≠ 0, então podemos dizer que: m – 2 = 0 então: m = 2 Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
Adição
z 1 Dado dois números complexos quaisquer = a + bi e z 2 = c + di, ao adicionarmos teremos: z 1 + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Portanto, z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i. RESUMINDO:
REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO
Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
Adição
Exemplo: Dado dois números complexos z 1 = 6 + 5i e z 2 = 2 – i, calcule a sua soma: z 1 + z 2 = (6 + 5i) + (2 – i) = 6 + 2 + 5i – i = 8 + (5 – 1)i = 8 + 4i Portanto, z 1 + z 2 = 8 + 4i. Fred Tavares
Subtração
NÚMEROS COMPLEXOS Dado dois números complexos quaisquer z 1 = a + bi e z 2 = c + di, ao adicionarmos teremos: z 1 - z 2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Portanto, z 1 - z 2 = (a - c) + (b - d)i. RESUMINDO:
REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO
Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
Subtração
Exemplo: Dado dois números complexos z 1 = 6 + 5i e z 2 = 2 – i, calcule a sua soma: z 1 - z 2 = (6 + 5i) - (2 – i) = 6 - 2 + 5i 4 + 6i + i = 4 + (5 + 1)i = Portanto, z 1 - z 2 = 4 + 6i . Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
Multiplicação
z 1 Dado dois números complexos quaisquer = a + bi e z 2 = c + di, ao multiplicarmos teremos: z 1 . z 2 = (a + bi) . (c + di) (regra do chuveirinho) ac + adi + bci + bd i 2 = ac + adi + bci + bd (-1) ac + adi + bci – bd = ac - bd + adi + bci (ac - bd) + (ad + bc)i (agrupar termos semelhantes) Portanto, z 1 . z 2 = (ac + bd) + (ad + bc)i . Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS Exemplo: SEMPRE PRESTAR ATENÇÃO NO i
2
z 1 Dado dois números complexos = 5 + i e z 2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação: (5 + i) . (2 - i) 5 . 2 – 5i + 2i – i 2 10 – 5i + 2i – 10 + 1 – 5i + 2i 11 – 3i (-1) Portanto, z 1 . z 2 = 11 – 3i. Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
Potência i
A
letra
i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.
i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um.
i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo. i 2 = -1 i 3 = i 2 . i = -1 . i = - i
i 4 = i 2 . i 2 = -1 . (-1) = 1
i 5 = i 4 . i = 1 . i = i i 6 = i 4 . i 2 = 1 . (-1) = -1. i 7 = i 4 . i 3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante. Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS RESUMINDO: AS POTÊNCIAS SEMPRE SE REPETEM DE
4 EM 4
.
Qualquer potência maior que 4, basta dividir por 4 e pegar o resto.
Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
Potência i
Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i 243 , basta dividirmos 243 por 4 , o resto será 3 então i 243 será o mesmo que i 3 , portanto
i
243
= i
3
= - i.
Fred Tavares
a NÚMEROS COMPLEXOS
Forma algébrica
y Z = a + bi b P Os números complexos são formados no por um par ordenado (a, b) onde os valores de a estão situados eixo x (abscissa) e os valores de b no (ordenadas).
eixo y Sobre o eixo x marcamos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os os pontos pontos relacionados à parte imaginária.
x Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
Oposto, conjugado
Oposto
( Basta multiplicar por -1)
O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z. Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será: - z = - 8 + 6i. Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS
Oposto, conjugado
Conjugado
( Basta mudar o sinal da parte imaginária)
Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será
z = a - bi
Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares
NÚMEROS COMPLEXOS Fred Tavares
Eu Sei Que Vou ESTUDAR
by Fred e Tavares
Eu sei que vou ESTUDAR Por toda a minha vida eu vou ESTUDAR Em cada NOTA BAIXA eu vou APANHAR Desesperadamente, eu sei que vou CHORAR E cada ERRO meu será Prá ME LEMBRAR que eu sei que DEVO ESTUDAR Por toda minha vida Eu sei que vou MELHORAR A cada NOTA BOA eu vou GRITAR Mas cada NOTA BAIXA há de LEMBRAR O que esta CHINELADA Eu sei que vou sofrer a eterna desventura de viver A espera de ESTUDAR PROFESSOR me causou ao lado teu da minha vida