Transcript Corso di Geometria I - A.A. 2015/16 Esercizi per la seconda settimana

Corso di Geometria I - A.A. 2015/16
Esercizi per la seconda settimana
Esercizio 2.1 Semplificare le seguenti espressioni e determinare la parte
reale e la parte immaginaria di ciascun numero complesso ottenuto.
1−i
,
1+i
!
1
:
i−
2
2 i + 2−i
(2 − i)2 − (3 + i)3 ,
(− i +1)9 (1 + i)4 ,
√
√
( 2 − 3 i)2 + √
i
1−
i − 1+i
2+i
i
√ ,
2 − 2i
!
,
3 + 3i
(−1 + i)2 (1 + i)−5 .
3 − 4i
Esercizio 2.2 Determinare l’immagine della funzione
3z + 2 i
z + 2i
(ovvero l’insieme di tutti i numeri complessi w pari a w = f (z) per qualche
z ∈ C \ {−2 i}). Indicata poi con U ⊂ C tale immagine, mostrare che esiste
l’applicazione inversa
f −1 : U −→ C ,
f : C \ {−2 i} −→ C ,
f (z) =
esibendone l’espressione esplicita.
Esercizio 2.3 (Importante) Dato z ∈ C, si indichi con ez il numero complesso:
def
ez = eRe(z) (cos(Im z) + i sin(Im z)) (1) .
Dimostrare che:
i) per ogni z, w ∈ C, si ha che ez · ew = ez+w ;
ii) e0 = 1 e, per ogni z ∈ C, il numero compleso ez è invertibile e
1
−z
ez = e ;
iii) per ogni z ∈ C, si ha che ez = ez , |ez | = eRe(z) e che Im z è argomento
di ez ;
1Fare attenzione al fatto che z è un numero complesso (cioè una coppia ordinata di
numeri reali) e che non è stata definita alcuna operazione di “elevamento a potenza con
esponente complesso” - il significato della scrittura “ ez ” è solo quello appena indicato e
non è lecito assumere a priori che tale espressione verifichi le stesse proprietà dei consueti
elevamenti a potenza di numeri reali.
1
2
iv) ez 6= 0 per ogni z ∈ C e l’applicazione
e(·) : C → C \ {0}
è un’applicazione suriettiva (cioè ogni elemento w di C \ {0} è pari
all’immagine ez di qualche numero complesso z).
Dato w 6= 0, quante sono le soluzioni complesse dell’equazione ex = w?
Esercizio 2.4 Risolvere in C le seguenti equazioni
√ !2
x+i 3
2
x+i
=
, x6 − x3 + 1 = 0 , x3 − i x = 1 − i ,
=i.
1−i
1+i
1+i
Esercizio 2.5 Determinare per quali valori wo ∈ C, esiste z ∈ C tale che
z 2 + i|z|2 = wo
e determinare z in tali casi.
Esercizio 2.6 Mostrare che, dato n ∈ N, per ogni z ∈ C esistono al più n
radici n-esime distinte (2). Stabilire anche con esattezza quali sono i numeri
complessi per cui esistono esattamente n radici n-esime, tutte distinte fra
loro.
2Dato z ∈ C, la dicitura radice n-esima di z indica un numero complesso w che verifica
l’equazione wn = z.