Transcript Moderni_fysiikka_luento_6_2012

Luento 6
Aatofunktiot ja epätarkkuus
Aaltofunktio sisältää tiedon
siitä, millä todennäköisyydellä
hiukkanen on missäkin
avaruuden pisteessä. Tämä
tunnelointimikroskoopilla
grafiitista otettu kuva näyttää
elektronin todennäköisyysjakautuman.
Luennon tavoite:
Paneudutaan aineen
kuvaamiseen aaltofunktion
avulla ja opitaan tulkitsemaan
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
aaltofunktioita.
Aatofunktiot ja epätarkkuus
Aiheet:
• Aallot, hiukkaset ja kaksoisrakokoe
• Yhteys fotoni- ja aaltokuvan välillä
• Aaltofunktio
• Normalisaatio
• Aaltopaketit
• Heisenbergin epätarkkuusperiaate
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Oletko lukenut läksyt?
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
What basic experiment is used in this
chapter to suggest a common description
for both photons and electrons?
A.
B.
C.
D.
E.
Cosmic ray spectrum
Electron interference
Neutron beta decay
Muon gyromagnetic ratio
Lunar laser ranging
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
What basic experiment is used in this
chapter to suggest a common description
for both photons and electrons?
A.
B.
C.
D.
E.
Cosmic ray spectrum
Electron interference
Neutron beta decay
Muon gyromagnetic ratio
Lunar laser ranging
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
What is the quantity
A.
B.
C.
D.
E.
Probability density
Angular field
Wave function
Potential energy function
Schrödinger function
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
called?
What is the quantity
A.
B.
C.
D.
E.
Probability density
Angular field
Wave function
Potential energy function
Schrödinger function
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
called?
The quantity
A.
B.
C.
D.
E.
is called the
wave function.
probability.
probability density.
amplitude density.
Schrödinger function.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
The quantity
A.
B.
C.
D.
E.
is called the
wave function.
probability.
probability density.
amplitude density.
Schrödinger function.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Requiring the sum of all
probabilities to be equal to
one is called
A.
B.
C.
D.
equalization.
unification.
normalization.
quantization.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Requiring the sum of all
probabilities to be equal to
one is called
A.
B.
C.
D.
equalization.
unification.
normalization.
quantization.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Perusasiat ja esimerkkejä
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Kaksoisrakokoe
(Thomas Young 1800)
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Kaksoisrakokokeen aalto-opillinen analyysi
Raoista lähtevien aaltojen poikkeamat varjostimelle
tullessa:
a on kummankin aallon amplitudi (suurin poikkeama), k =
2π/λ on aaltoluku, ja r1 ja r2 ovat varjostimen pisteen
etäisyydet kahdesta raosta. Kokonaispoikkeaman amplitudi
on
Säteilyn intensiteetti on verrannollinen lausekkeeseen A2:
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Fotoni- ja aaltokuvan yhdistäminen
Sähkömagneettisen aallon intensiteetti jossakin pisteessä on
suorassa suhteessa fotonin löytymisen todennäköisyyteen
siinä pisteessä. Fotoni on todennäköisimmin siellä, missä
intensiteetti on suurin.
Todennäköisyys löytää fotoni pisteen x kohdalta pieneltä
väliltä δx on
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Todennäköisyystiheys
Todennäköisyysteiheys P(x) määritellään niin, että
Yksidimensioisessa tapauksessa tn-tiheyden yksikkö on
m–1. Kun tn-tiheys kerrotaan pituudella saadaan
dimensioton luku, todennäköisyys.
Huomaa siis: P(x) ei itsessään ole todennäköisyys vaan se
on kerrottava pituudella.
Fotonin tn-tiheys on verrannollinen amplitudin itseisarvon
neliöön
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Tn-tiheyttä voi
verrata
tangon pituustiheyteen.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Tn-tiheyden laskeminen
QUESTION:
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Tn-tiheyden laskeminen
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Kaksoisrakokoe
elektroneilla.
Aineaaltoja.
Samanlainen
interferenssikuvio
kuin valolla.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Aaltofunktio
Todennäköisyystiheys.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Normalisaation
• Fotoni tai elektroni osuvat aina varmasti johonkin kohtaa
ilmaisinta.
• Täten todennäköisyys havaita fotoni tai elektroni
ilmaisimessa on 100%.
• Matemaattisesti ilmaistuna: jos tn-tiheys integroidaan yli
koko avaruuden (yksiulotteisessa tapauksessa -∞:stä
+∞:ään), tuloksen pitää olla = 1.
• Jokaisen aaltofunktion tulee toteuttaa tämä normitusehto.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Tn-tiheyden
kuvaajan alle
jäävä pinta-ala
on todennäköisyys.
Koko pinnan ala
= 1.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Sekä
elektronia
että fotonia
voidaan
kuvata
aaltopaketilla
.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Aaltopaketti on
monen
eritaajuisen aallon
interferenssiaalto.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Aaltopaketit
Oletetaan, että aaltopaketti (kesto Δt) koostuu hyvin
monesta aallosta, joiden taajuudet ovat jollain taajuusvälillä
Δf.
Fourierin analyysi osoittaa, että kaikille aaltopaketeille on
voimassa
Miten Δt ja Δf määritellään yleiselle aaltopaketille?
Kesto Δt sanoo, “miten kauan aaltopaketin ohitus kestää
about” “ ja Δf kertoo “mikä on suunnilleen niiden aaltojen
taajuuksien haarukka, joista paketti muodostuu”,
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Kaksi
aaltopakettia,
joilla on
erilainen kesto.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Heisenbergin epätarkkuusperiaate
• Aaltopaketin pituus on Δx. Jossain tämän pituisella
matkalla aaltopaketin kuvaama hiukkanen on.
• Δpx on matalinta ja korkeinta aaltoon sisältyvää taajuutta
vastaava hiukkasen liikemääräväli.
• Kaikille aineaaltopaketeille pätee Heisenbergin
epätarkkuusperiaate:
Tämän hiukkasen paikkaa ja liikemäärä koskevan ehdon
esitti Werner Heisenberg vuonna 1926. Ehto on
periaatteellinen, eikä se liity mittaustarkkuuteen.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Kuva liikkuvasta
aaltopaketista
jollakin hetkellä.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Heisenbergin epätarkkuusperiaate
• Jos haluamme tietää, missä hiukkanen on, mittaamme sen
paikan x jollakin tarkkuudella Δx.
• Jos haluamme tietää, millä nopeudella vx hiukkanen
liikkuu eli mikä sen liikemäärä px on, mittaamme px:n
jollakin tarkkuudella Δpx.
• Emme voi tehdä molempia mittauksia samalla hetkellä
mielivaltaisen tarkasti, vaikka mittalaitteemme olisivat
kuinka hyviä tahansa.
• Kaikkia näitä mittauksia rajoittaa ehto ΔxΔpx ≥ h/2.
• Tietomme hiukkasesta on lähtökohtaisesti epätarkka.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen
tapauksessa
QUESTION:
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen
tapauksessa
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen
tapauksessa
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen
tapauksessa
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Epätarkkuus pölyhiukkasen
tapauksessa
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Epätarkkuus elektronin
tapauksessa
QUESTION:
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Epätarkkuus elektronin
tapauksessa
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Epätarkkuus elektronin
tapauksessa
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Esimerkki: Epätarkkuus elektronin
tapauksessa
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Yhteenveto
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Yleisen periaatteet
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Yleiset periaatteet
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Tärkeät käsitteet
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Tärkeät käsitteet
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Testikysymyksiä
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Suppose you roll a die 30 times.
What is the expected numbers of
1’s and 6’s?
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
E. 4
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Suppose you roll a die 30 times.
What is the expected numbers of
1’s and 6’s?
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
E. 4
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
The figure shows the detection of photons in an
optical experiment. Rank in order, from largest
to smallest, the square of the amplitude function
of the electromagnetic wave at positions A, B, C,
and D.
A. D > C > B > A
B. A > B > C > D
C. A > B = D > C
D. C > B = D > A
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
The figure shows the detection of photons in an
optical experiment. Rank in order, from largest
to smallest, the square of the amplitude function
of the electromagnetic wave at positions A, B, C,
and D.
A. D > C > B > A
B. A > B > C > D
C. A > B = D > C
D. C > B = D > A
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
This is the wave
function of a
neutron. At what
value of x is the
neutron most likely
to be found?
A.
B.
C.
D.
x=0
x = xA
x = xB
x = xC
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
This is the wave
function of a
neutron. At what
value of x is the
neutron most likely
to be found?
A.
B.
C.
D.
x=0
x = xA
x = xB
x = xC
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
The value of the constant a is
A.
B.
C.
D.
E.
a = 0.5 mm–1/2.
a = 1.0 mm–1/2.
a = 2.0 mm–1/2.
a = 1.0 mm–1.
a = 2.0 mm–1.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
The value of the constant a is
A.
B.
C.
D.
E.
a = 0.5 mm–1/2.
a = 1.0 mm–1/2.
a = 2.0 mm–1/2.
a = 1.0 mm–1.
a = 2.0 mm–1.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
What minimum bandwidth must a
medium have to transmit a
100-ns-long pulse?
A. 100 MHz
B. 0.1 MHz
C. 1 MHz
D. 10 MHz
E. 1000 MHz
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
What minimum bandwidth must a
medium have to transmit a
100-ns-long pulse?
A. 100 MHz
B. 0.1 MHz
C. 1 MHz
D. 10 MHz
E. 1000 MHz
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Which of these particles, A or B, can
you locate more precisely?
A. A
B. B
C. Both can be located with same precision.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Which of these particles, A or B, can
you locate more precisely?
A. A
B. B
C. Both can be located with same precision.
Copyright © 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.