Transcript Produzione

CAPITOLO 6
Produzione
Esercizio 6.1. La tecnologia a disposizione di una impresa per la produzione
di un dato bene è descritta dalla funzione di produzione Q = K 1/2 L1/2 , dove Q
indica la quantità prodotta del bene in un dato periodo di tempo, K l’input del
fattore capitale e L quello del fattore lavoro. I prezzi di mercato degli inputs sono,
rispettivamente, wk = 5/4 per il capitale e wL = 5 per il lavoro.
(i) Che tipo di rendimenti di scala caratterizza il processo produttivo dell’impresa?
(ii) Si determinino le curve di costo totale, medio e marginale di breve periodo
quando l’impresa dispone di una quantità K̄ = 25 dell’input di capitale.
(iii) Si determini la combinazione ottima di K, L per produrre Q = 10 unità del
bene si calcoli il corrispondente costo totale.
(iv) Si ricavino le curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo.
Soluzione. (i) Dalla funzione di produzione si ricava che se impieghiamo la quantità λK, λL di entrambi gli inputs, con λ > 0 fattore di proporzionalità, il livello di
produzione dell’impresa risulta:
Q (λ)
1/2
=
1/2
(λK) (λL)
1
1
1
1
= λ( 2 + 2 ) K 2 L 2
= λQ
(6.1)
La produzione aumenta quindi in modo proporzionale con le quantità di inputs
impiegate. I rendimenti di scala sono pertanto costanti.
(ii)Nel breve periodo l’input di capitale è fisso; l’impresa può aumentare la
produzione aumentando la quantità di forza-lavoro impiegata. La funzione di
produzione di breve periodo è ora:
1
1
Q = K 2 L2
con K = 25
Pertanto:
1
Q = 5L 2
La figura 1 rappresenta la funzione di produzione (6.2).
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(6.2)
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Figura 1
Dalla (6.2) si ricava allora che:
Q2
(6.3)
25
cioè la quantità di forza-lavoro che l’impresa deve impiegare per ogni livello di
produzione (data la disponibilità K = 25 dell’input di capitale). Dalla definizione
di costo totale di produzione si ricava allora:
L=
C (Q)
=
wL L + wK K̄
Q2
5
= 5·
+ · 25
25
4
cioè:
125
Q2
+
5
4
Dalla (6.4) possiamo ricavare la curva di costo medio:
C (Q) =
Cm (Q)
=
=
C (Q)
Q
Q 125
+
5
4Q
(6.4)
(6.5)
e la curva del costo marginale:
dC (Q)
dQ
2Q
(6.6)
=
5
Sappiamo che quando C 0 (Q) > Cm (Q) il costo medio risulta crescente; dalla
condizione precedente si ricava:
C 0 (Q)
=
2Q
Q 125
>
+
5
5
4Q
cioè:
125
Q
>
5
4Q
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6. PRODUZIONE
e quindi il costo medio risulta crescente per:
Q>
25
2
Q<
25
2
e decrescente per:
¡ ¢
0 25
Infine
medio e costo marginale coincidono per Q = 25
=
2 ; si ricava che C
2
¢
¡ 25costo
Cm 2 = 5. Possiamo pertanto rappresentare la relazione fra le due curve di costo
nella figura 2.
Figura 2
(iii) La combinazione ottima dei fattori produttivi per produrre la quantità
Q = 10 del bene si ottiene dalla soluzione del sistema di equazioni:
wL
dK
=
dL
wk
SM SL,K
=
−
10
=
K 2 L2
1
1
(6.7)
(6.8)
cioè dalla condizione di minimizzazione del costo totale di produzione (equazione (6.7)) per il dato livello di output (equazione (6.8)); SM SL,K indica il saggio
marginale di sostituzione fra capitale e lavoro. Sappiamo che:
−
dK
P0
= L0
dL
PK
0
dove PK
è la produttività marginale del capitale e PL0 è la produttività marginale
del lavoro. Poichè la funzione di produzione è del tipo Cobb-Douglas sappiamo che
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fra produttività media e marginale degli inputs esiste la seguente relazione 1:
PL0
=
0
PK
=
1
1Q
PmL =
2
2L
1
1Q
PmK =
2
2K
(6.12)
(6.13)
Nel nostro caso abbiamo:
PL0
0 =
PK
1Q
2 L
1 Q
2K
K
L
=
e:
wL
5
= 5 =4
wk
4
(6.14)
cioè il costo opportunità (o prezzo relativo) del fattore lavoro in termini di fattore
capitale: la (6.14) ci dice che una unità di forza-lavoro si scambia, sul mercato, con
4 unità di capitale. La combinazione ottima per produrre 10 unità di output si
ottiene dalla soluzione del sistema di equazioni:
K
L
10
=
4
=
K 2 L2
=
4
=
(4L) 2 L 2 = 2L
1
1
cioè:
K
L
10
1
1
Quindi:
L∗ = 5 e K ∗ = 20
(6.15)
La figura 3 rappresenta geometricamente la determinazione della combinazione
ottimale.
1Più in generale se la funzione di produzione è:
Q = K α Lβ
(6.9)
abbiamo che:
PL0 = α
Q
L
(6.10)
0
PK
=β
Q
K
(6.11)
e:
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6. PRODUZIONE
Figura 3
(iv) Il costo totale di lungo periodo si ottiene dalla condizione di minimizzazione per un livello di output Q > 0 qualsiasi; si ricava quindi determinando la
combinazione ottimale:
K
L
Q
=
4
=
K 2 L2
1
1
cioè:
K
Q
= 4L
1
1
= (4L) 2 L 2 = 2L
e quindi:
L∗ =
Q
e K ∗ = 2Q
2
(6.16)
dalla definizione di costo totale abbiamo:
C (Q)
w L · L∗ + w K · K ∗
Q 5
= 5 · + · 2Q
2
4
=
cioè:
C (Q) = 5Q
(6.17)
Le corrispondenti curve di costo medio e marginale risultano pari a:
C 0 (Q) = Cm (Q) = 5
Le curve di lungo periodo sono rappresentate nella figura 4.
(6.18)
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Figura 4
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