#### Transcript Coefficienti binomiali

```Coefficienti binomiali
Calcolo combinatorio
verifica le seguenti identità dichiarando le condizioni di esistenza
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
v 3.0
5
5
� �=� �
2
3
Vale
3 7
6
� � = 7� �
3
4
Vale
12
12
13
�+� �=� �
8
8
7
�
Vale
12
12
12
12
�+� �=� �+� �
8
5
3
7
�
Non vale
7
7
3! � � = 4! � �
3
4
Non vale
4 9
9 7
� �� � = � �� �
2 5
2 5
Vale
11
11
12
�+� �=� �
9
10
2
�
Vale
12
11
� = 12 � �
6
7
7�
Vale
3 10
10
10
� − � � = −5� �
5
6
4
�
Non vale
7!
7
4
� � = 5(4!)2 � �
6
3
3
4
Vale
5 6
4
� � = 6� �
3
5
Non vale
7 5
6
� � � � = 5 �1 + � ��
2 1
3
5
8
Vale
2 4
8
4
7
� �+� � = 3� �+� �
5
4
1
2
Vale
6
5
� � − � � = (24 − 4!)!
5
4
8
6
� �+� �=
4
4
7
� � + 3! =
4
𝑛𝑛
4
� �=� �
5
𝑛𝑛
4
3
10
7
Vale
7
7
� �+� �
3
4
Vale
6
6
� � + � � + 0!
3
4
Vale
Non vale
𝑛𝑛
𝑛𝑛 − 1
𝑛𝑛 − 1
� �=�
�+�
�
8
8
7
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 9
4
4
� �=�
�
𝑛𝑛
4 − 𝑛𝑛
Vale se 𝑛𝑛 ≤ 4
7
7
� �=�
�
𝑛𝑛 + 8
𝑛𝑛
Non vale
1 di 2
Coefficienti binomiali
Calcolo combinatorio
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
v 3.0
2𝑛𝑛 − 1
2𝑛𝑛 − 1
2𝑛𝑛
�+�
� = 2� �
𝑛𝑛
𝑛𝑛 − 1
𝑛𝑛
�
Non vale
𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 2
𝑛𝑛!
� ��
� = 2(𝑛𝑛−3)!
2
1
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 3
𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
𝑛𝑛 − 1
�
�
=
4
��
�
−
�
��
3
13
13
11
𝑛𝑛
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 13
2−𝑛𝑛 4
4
4
� �−�
�= 2 � �
𝑛𝑛
𝑛𝑛 − 1
𝑛𝑛
Vale solo se 𝑛𝑛 = 3
5−𝑛𝑛
4
4
� = 𝑛𝑛 �
�
4 − 𝑛𝑛
𝑛𝑛 − 1
�
Vale se 1 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 4
𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 3
𝑛𝑛
� ��
� = 10 �
�
3 𝑛𝑛 − 5
𝑛𝑛 − 5
𝑛𝑛 �
2𝑛𝑛 − 2
2𝑛𝑛 − 3
� = 2(𝑛𝑛 − 1) �
�
𝑛𝑛
𝑛𝑛 − 1
6
6
5
2 �� � − � �� = 𝑛𝑛 � �
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛
5!
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
��
� − � �� = 𝑛𝑛4 − 10 𝑛𝑛3 + 35 𝑛𝑛2 − 50 𝑛𝑛 + 24
4
5
𝑛𝑛 − 1
𝑛𝑛 − 1
�=�
�
𝑘𝑘
𝑘𝑘 − 1
�
𝑛𝑛+1
𝑛𝑛 + 1
𝑛𝑛 − 1
�:�
� = 𝑘𝑘
𝑘𝑘 + 1
𝑘𝑘 − 1
�
𝑛𝑛 �
𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
𝑛𝑛 − 1
� + 𝑘𝑘 �
� = 𝑘𝑘 �
�
𝑘𝑘 + 1
𝑘𝑘 + 1
𝑘𝑘 − 1
𝑛𝑛 �
𝑛𝑛
𝑛𝑛 − 1
� = (𝑛𝑛 − 3𝑘𝑘) � �
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛 + 1
�−�
� = 3� �
𝑘𝑘 + 1
𝑘𝑘
𝑘𝑘 + 1
�
𝑛𝑛 + 1
𝑛𝑛 − 1
�+�
�=
𝑘𝑘 + 1
𝑘𝑘 − 1
�
𝑘𝑘+𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛(𝑘𝑘+1) 𝑛𝑛 − 1
𝑛𝑛 + 1
� = 𝑘𝑘(𝑛𝑛+1) �
�
𝑘𝑘 + 1
𝑘𝑘 − 1
�
𝑛𝑛
𝑛𝑛
� �+�
�
𝑘𝑘 + 1
𝑘𝑘
𝑛𝑛(𝑛𝑛+1) 𝑛𝑛 − 1
𝑛𝑛 + 1
� = 𝑘𝑘(𝑘𝑘+1) �
�
𝑘𝑘 + 1
𝑘𝑘 − 1
�
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛−2𝑘𝑘+1
� �−�
� = 𝑘𝑘 �
�
𝑘𝑘
𝑘𝑘 − 1
𝑘𝑘 − 1
𝑛𝑛
𝑛𝑛−2𝑘𝑘−1 𝑛𝑛
𝑛𝑛 𝑛𝑛 − 1
� = 𝑘𝑘+1 � � + 𝑘𝑘 �
�
𝑘𝑘 + 1
𝑘𝑘
𝑘𝑘 − 1
�
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑛𝑛 − 𝑘𝑘
𝑛𝑛 − ℎ
� �:� � = �
�:�
�
ℎ
𝑘𝑘
ℎ
𝑘𝑘
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 5
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 2
Vale solo se 𝑛𝑛 = 0
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 4
Vale se 𝑛𝑛 = 2𝑘𝑘 ≥ 2
Vale solo se 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 + 1 ≥ 2
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 + 1 ≥ 2
Non vale
Vale solo se 𝑘𝑘 = 0
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 + 1 ≥ 2
Vale solo se 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 ≥ 1
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 ≥ 1
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 ≥ 1
Vale se 𝑛𝑛 ≥ 𝑘𝑘 + 1 ≥ 2
Vale se 𝑛𝑛 ≥ ℎ + 𝑘𝑘
2 di 2
```