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Lógica de proposiciones,
deducción natural
Impertinencias con prop

Falta de estructura motiva uso de metateoremas

deducción: D

regla T:

contraposición:

refutación:
P  Q sii D  {P}
Q
Lógica de proposiciones: sistema de
demostración


¿Cómo construir un cálculo para razonar
sobre proposiciones?
Queremos un conjunto de reglas de
prueba que nos permitan inferir
fórmulas de otras fórmulas
Recuerda que:

Una lógica contiene 3 ingredientes:
1.
2.
3.
Un lenguaje formal;
Un sistema de demostración; y
Una semántica del lenguaje
Logica de proposiciones,
sintaxis

El alfabeto (de nuestra versión) de la lógica
proposicional consiste de los siguientes
caracteres:
a,…,z; A,…,Z, 0,…,9,(,),{,},[,],,,,,

símbolos no lógicos: constante:


una secuencia de caracteres que inicia con una
minúscula o un número
Un solo tipo de constante, constante objeto,
que nombra un elemento específico del
dominio de discurso
Sintaxis (continúa)

P es una oración sii:
es una constante objeto, o
 es una oración compuesta:
P, P1  P2, P1  P2, P1  P2, P1  P2
donde P1 y P22 son oraciones


Precedencia de operadores:


, , , , 
Un operando se asocia con aquel operador que
posee precedencia superior. En caso de empate,
el operador se asocia a la derecha
Deducción natural



0 axiomas
Conjunto de reglas de inferencia
Una demostración de P es una secuencia de
oraciones terminada con P.


Cada oración en la secuencia es o una hipótesis,
o un axioma, o puede derivarse a partir de
oraciones previas, vía una regla de inferencia.
Nota: Si usamos una hipótesis temporal (cf cajas),
ésta sólo puede usarse si ocurre previamente al
punto de aplicación y no aparece dentro de una
caja que haya sido cerrada
Reglas de inferencia


Para cada conectivo, hay una o más
reglas para introducirlo y una o más
para eliminarlo
Y lógico, 

Introducción: P

Eliminación: P  Q
Q
PQ
P
i
e1
PQ
Q
e2
Ejemplos

Demuestre:


p  q | q  p
(p  q)  r, s  t | q  s
Doble Negación

Introducción:
P i
 P

Eliminación:
 P
e
P
Ejemplos

Demuestre:

p, ¬¬(q  r) | ¬¬p  r
Implicación material, 

Eliminación:
P

PQ
e
Q
Introducción: ?
Ejemplos

Demuestre:



p  (q  r), p, q | r
¬p  q, ¬q | p
p  (q  r), p, ¬r | ¬q
Nota: en las dos últimas use modus tollens
¬Q
PQ
MT
¬P
Implicación material, 


Introducción:
Ejemplos:
P

Q
PQ
i

¬q  ¬p | p  ¬¬q

p | p

| (q  r)  ((¬q  ¬p)  (p  r))
Actividad en colaboración

Demostrar:



p  q  r | p  q  r
p  q  r | p  q  r
p  q | p  r  q  r
O-lógico

Introducción
P
PQ

i1
Q
PQ
Eliminación
P Q
 
R R
P Q
R
e
i2
Ejemplos

Demuestre:





p  q | q  p
q  r | p  q  p  r
(p  q)  r | p  (q  r)
p  (q  r) | (p  q)  (p  r)
Nota: Resolver el último ejercicio requiere
el uso de la regla copy
Las reglas para negación, 

Eliminación de 

Eliminación de ¬

P
P


Introducción de ¬
i
P e
P


¬P
¬i
Ejemplos

Demostrar:



¬p  q | p  q
p  q, p  ¬q | ¬p
p  ¬q  r, ¬r, p | q
Reglas auxiliares

Modus tollens

Introducción de doble-negación

Reductio ad absurdum

Tertium non datur (law of the excluded
middle)
Lógica de proposiciones: Semántica

Semántica: La semántica de una lógica es
una definición de la veracidad de las
oraciones en un lenguaje de la lógica en
términos de una interpretación
Interpretación

Una interpretación, I, para un lenguaje, L,
es una definición de cada uno de los
símbolos no lógicos de L en términos de
algún dominio, v.gr.:
S={b,p,q}; D={⊺, };
I(b)= , I(p)= , I(q)= ⊺
Modelo y consecuencia lógica


Una interpretación, I, para un lenguaje, L,
satisface o es modelo de una oración, P, si P
es verdadera en I. En símbolos,
Sean P y G una oración y un conjunto de
oraciones, P es una consecuencia lógica de G
sii cada interpretación que es modelo de
todas las oraciones en G también es un
modelo de P. En símbolos,
Semántica de la lógica de
proposiciones






La semántica de la lógica proposicional es
una definición de la veracidad de una oración
con respecto a una interpretación:
I(P) = ⊺ sii I(P) = 
I(P1  P2) = ⊺ sii I(P1) = ⊺ y I(P2) = ⊺
I(P1  P2) = ⊺ sii I(P1) = ⊺ o I(P2) = ⊺
I(P1  P2) = ⊺ sii I(P1) =  o I(P2) = ⊺
I(P1  P2) = ⊺ sii I(P1) es equivalente a I(P2)

P es universalmente válida, o
tautológica, si es verdadera en
cualquier interpretacion:

Si por el contrario P es falsa en toda
interpretación, decimos que es una
contradiccion
Teoría



Una teoría es un conjunto de oraciones el
cual está cerrado bajo consecuencia lógica.
Una teoría, G, es completa sii, para cada
oración, P, P o bien P es miembro de G
Una teoría, G, es inconsistente sii, para
alguna oración P,


y
Enfoque sintáctico versus enfoque
semántico


Satisfacción e inferencia están
relacionadas por dos propiedades:

Corrección:

Calidad de cobertura:
Corrección y calidad de cobertura no
son conceptos cuyo sentido es absoluto
en Lógica
Conclusiones



Algunos cálculos son menos estructurados
que otros
Cálculos estructurados permiten la
construcción de procedimientos de
demostración, algunos de los cuales a su vez
permiten construir un procedimiento de
decisión
Lógica proposicional es decidible