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La procedura si può riassumere
nelle seguenti fasi:
• 1) Si determina lo schema equivalente del
sistema.
• 2) Si risolve la rete, applicando i principi di
Kirchhoff, e si ricava la funzione di trasferimento.
• 3) Si determina il valore dell'uscita nel
dominio di s.
• 4) Si antitrasforma la funzione di uscita
nel dominio del tempo.
Esempio
• Se si esamina
l'ammortizzatore di una delle
ruote di un'automobile. si può
notare che una parte del peso
dell'autovettura mx grava
sullo pneumatico per mezzo
di uno smorzatore Rx e un
mollone C,. Lo pneumatico, a
sua volta, ha una propria
massa m2 e si comporta
come uno smorzatore e una
molla C2 .
• Ricaviamo l'andamento
temporale della velocità della
massa m, dovuta
all'applicazione su di essa di
una forza Fm{t).
Fase 1 : schema equivalente del
sistema
La prima fase della procedura consiste nella
definizione dello schema o rete equivalente
del sistema.
Nella pratica si tende a fare in modo che ciascun
componente di un sistema realizzi una sola
delle proprietà elementari studiate; in effetti
un induttore, una molla, un serbatoio o un
radiatore possono essere assimilati a
componenti di questo tipo, perché il loro funzionamento può essere descritto utilizzando
una sola delle proprietà elementari e
considerando le altre trascurabili. Ciò
semplifica notevolmente l'analisi di un
sistema. Nel caso dell'esempio, il sistema
meccanico da studiare è costituito da molle
che presentano la proprietà capacitiva, da
masse che presentano la capacità inerziale
e da smorzatori che, come abbiamo visto,
presentano proprietà resistiva. Ciascun
componente ha, quindi, una sola proprietà e
può essere schematizzato con il simbolo
corrispondente.
Il problema che occorre risolvere è invece
quello di come connettere fra loro gli
elementi, in modo che lo schema possa
descrivere il funzionamento del sistema.
Questa operazione necessita di attenzione,
perché anche un solo elemento connesso in
modo errato fa sì che lo schema non
descriva più il sistema di partenza e fornisca
quindi dei risultati errati. La soluzione al
problema deriva dall'analisi dei segnali
presenti nel sistema; come sappiamo, infatti:
- due componenti sottoposti alla stessa
grandezza moto della quantità devono
essere connessi in serie;
- due componenti sottoposti alla stessa
differenza di potenziale devono essere
connessi in parallelo;
- un punto del sistema in cui sia presente una
derivazione di una parte del moto della
quantità deve essere rappresentato con un
nodo.
Nel nostro caso possiamo notare
che, nel sistema, la molla C1, la
massa m1 e lo smorzatore R1,
che fanno parte del blocco 1
sono solidali, cioè hanno la
stessa velocità; la velocità
corrisponde alla grandezza moto
della quantità e per tale motivo
nella rete equivalente i simboli
che rappresentano queste
proprietà elementari devono
essere connessi in serie. Lo
stesso ragionamento vale per la
massa m2 e lo smorzatore R2
del blocco 2, che devono essere
connessi in serie.
La molla C2 fa invece da raccordo
tra i due blocchi e permette che
le velocità nei due blocchi siano
diverse; la velocità nella molla
C2 è la differenza fra le velocità
nei due blocchi.
La molla C2 fa invece da raccordo tra i due
blocchi e permette che le velocità nei due
blocchi siano diverse; la velocità nella
molla C2 è la differenza fra le velocità nei
due blocchi.
Dunque il punto di connessione della molla
C2 è un nodo della rete equivalente e la
molla è connessa tra tale punto e il
riferimento in quanto "raccoglie" su di sé la
differenza di velocità presente fra i due
blocchi.
La forza Fm (s) applicata al primo blocco
può essere schematizzata con un
generatore. Ricaviamo lo schema
direttamente nel dominio di s; poiché la
variabile è il moto della quantità .
Fase 2: funzione di trasferimento
del sistema
Il secondo passo della procedura consiste nello studiare la rete e scrivere le equazioni
che consentono di determinare la funzione di trasferimento del sistema.
Ricaviamo quindi il numero di equazioni che possono essere scritte ai nodi; esse sono
pari al numero n di nodi meno 1, cioè n-1=2 - 1 = 1. Possiamo scrivere, quindi, una
sola equazione ai nodi.
Segniamo il verso della velocità per ciascuno dei tre rami e scriviamo quindi l'equazione
al nodo, ricordando che consideriamo positive le velocità entranti nel nodo A e
negative quelle uscenti:
v1(s)-v2(s)-v3(s) = 0 Le equazioni che devono essere scritte alle maglie sono r - (n - 1) =
3 - 1 =2, dove r è il numero di maglie.
Scegliamo le due maglie esterne, che hanno sicuramente almeno un ramo diverso, come
richiesto dalla procedura e segniamo su ciascuno dei componenti presenti nelle due
maglie il segno positivo nel punto in cui entra la variabile velocità. Scriviamo le
equazioni alie maglie partendo dal punto al potenziale di riferimento e procedendo
in senso orario:
Parte 2
Risolvendo il sistema con il metodo di sostituzione possiamo trovare il valore
della variabile v1(s); dividendo poi per la trasformata dell'ingresso si ricava
la funzione di trasferimento del sistema.
Il metodo che abbiamo applicato è generale, cioè si può applicare per studiare
qualsiasi rete.
Nel caso in esame, però, la soluzione può essere semplificata; in effetti, se
pensiamo all'equivalenza con i circuiti elettrici che conosciamo, ricavare la
grandezza incognita equivale a trovare la corrente fornita al sistema
dall'unico generatore presente nella rete. Possiamo, allora, sostituire la rete
con un'impedenza equivalente e ricavare la variabile come rapporto fra il
valore fornito dal generatore e l'impedenza complessiva trovata.
Utilizzando uno dei due metodi si ottiene alla fine la seguente espressione della
funzione di trasferimento:
Fase 3: valore dell'uscita in s
Trovata la funzione di trasferimento G(s), il terzo
passo è quello di ricavare il valore dell'uscita in s
che, nota la funzione di trasferimento, è dato da:
V1(s) = G(s)-Fm(s)
È necessario, allora, fissare l'andamento
dell'ingresso nel tempo e trasformarlo
utilizzando le trasformate di Laplace. Se, ad
esempio, supponiamo di fornire una forza
costante di valore Fx, avremo:
£[Fm(t)] = Fm(s) = Fx/s
Fase 4: antitrasformata della
funzione di uscita
L'ultimo passo della procedura consiste nell'antitrasformare la funzione di uscita trovata; tale
operazione può essere fatta utilizzando le procedure proposte nell'Unità 2 o, più semplicemente,
utilizzando un software applicativo di matematica.
Risolviamo il sistema utilizzando i seguenti valori:
m,= 0,100 kg
m2= 0,150 kg
C,=10"3m/N
C2=0,33 10-3 m/N
R1,=9,6Ns/m
r2 = 20Ns/m
Fm(t) = 10N
Sostituiamo i valori assegnati ai parametri nella funzione di trasferimento e, utilizzando un programma
di matematica, otteniamo dapprima la funzione di trasferimento nella sua forma definitiva:
G(s) =
s(49,5 *10-3 *s2+ 6,6 *10-3 *s+1)
49,5 *10-6 * s4 + 1,13*10-3 * s3 + 0,36 * s2 + 36,2 * s + 1000