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Meccanica 3
7 marzo 2011
Cinematica in due dimensioni
Vettore spostamento. Velocita` media e istantanea
Componenti cartesiane e polari. Velocita` azimutale
Coordinata curvilinea
Accelerazione media e istantanea
Accelerazione in coordinata curvilinea
Cerchio osculatore
Moto circolare. Moto circolare uniforme e sue proiezioni cartesiane
Vettore velocita` angolare
Moto su di un piano
• Ovvero moto in due dimensioni
• Ora è necessario specificare due coordinate per
individuare compiutamente il moto di un corpo
• Scelte più frequenti:
– Coordinate cartesiane
– Coordinate polari
• Mentre nel moto rettilineo la natura vettoriale di una
grandezza era manifestata dal segno, ora dobbiamo
introdurre il formalismo vettoriale in modo compiuto
• Molto di quanto diremo per un piano può estendersi
immediatamente allo spazio
2
Vettori su di un piano
• Spostamento, velocità e accelerazione
sono grandezze vettoriali
• Ogni vettore su di un piano può essere
espresso come somma di due vettori
• Per lo spazio: ogni vettore può essere
espresso come somma di tre vettori
• Tra i vettori ce ne sono di particolari, detti
versori o vettori unitari, in quanto hanno
intensità unitaria e dimensioni fisiche nulle
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Vettore posizione
• Il vettore posizione si può quindi scrivere
– In coord. cartesiane r t xtux ytuy
– In coord. polari r t t u 0u
• Ove le funzioni che
moltiplicano
i
versori
sono le proiezioni del vettore lungo le
direzioni dei versori stessi
• Similmente in tre dimensioni
– In coord. cartesiane r t xtux ytuy ztuz
– In coord. sferiche r t r t u 0u 0u
r
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Vettore posizione
• Una importante differenza tra sistema
cartesiano e polare è che nel primo
l’orientazione dei versori è indipendente
dal particolare vettore posizione e quindi
dal tempo, mentre nel secondo in generale
dipende da questi
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Vettore spostamento
• È la differenza di due vettori
posizione, ad esempio r t t e
r t
r t r t t r t
r t
r t
r t
r t
r t t
r t t
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Vettore spostamento
• In coordinate cartesiane lo spostamento si può
esprimere
r t x t t x t ux y t t y t uy
• Ove non c’è ambiguità sui versori da usare, in
quanto sono gli stessi per i due vettori posizione
r t
r t
r t t
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Vettore spostamento
• In coordinate polari lo spostamento si può
esprimere con i versori relativi a r t
r t t t t u rf t t rf t uf
• Ciò in pratica equivale a proiettare r t t lungo
r t e lungo la direzione perpendicolare,
f
r t
r t
r t t
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Vettore velocità
• Similmente a quanto fatto nel caso
unidimensionale, definiamo la velocità media
come
r t r t t r t
v
m
t
t
• Che è da intendersi, in coordinate cartesiane,
come
r t x t t x t
yt t yt
vm
t
t
ux
t
uy
• Cioè come la coppia di velocità medie lungo x e y
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Vettore velocità
• La velocità istantanea è, di nuovo, il
limite della velocità media quando
l’intervallo di tempo tende a zero:
x t t x t
y t t y t
r t
v lim
lim
ux lim
uy
t 0 t
t 0
t 0
t
t
dx
dy
ux
uy v x ux v y uy
dt
dt
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Vettore velocità
• In coordinate polari avremo
r t t t t rf t t rf t
vm
u
uf
t
t
t
• Ove ora la coppia di velocità è formata
dalla velocità radiale (cioè lungo ) e da
quella azimutale (cioè lungo f)
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Vettore velocità
• E per la velocita` istantanea:
r t t r t
dr
t t t
v
lim
u lim
u
dt t 0
t
d drf
u
uf v u vf uf
dt
dt
f
t 0
f
t
f
• È importante esprimere in altro modo
la velocità azimutale
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Vettore velocità
• Se l’intervallo di tempo è infinitesimo,
anche il vettore spostamento sarà
tale
dr du dfuf
dr t
r t dt
d u
dfuf
r t
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Vettore velocità
• Per trovare la velocità basta dividere lo
spostamento per l’intervallo di tempo:
dr d
df
u
uf
dt dt
dt
• Dal confronto con l’espressione
precedentemente trovata, abbiamo che la
velocità
azimutale è
df
dt
dt
drf
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Vettore velocità
• Interpretazione geometrica del vettore velocita` media:
• la direzione e` quella della secante alla traiettoria
percorsa dal corpo in moto, individuata dai vettori
r t e r t t
• il modulo e` il rapporto tra il modulo del vettore
spostamento e l’intervallo di tempo necessario a
Considerazioni indipendenti
percorrerlo
dal sistema di riferimento
r t
v
r t
m
r t
t
r t
r t t
r t
r t t
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Vettore velocità
• Interpretazione geometrica del vettore velocita`
istantanea: la direzione e` quella della tangente alla
traiettoria percorsa dal corpo in moto, al tempo t
• il modulo e` il limite del rapporto tra il modulo del
vettore spostamento e l’intervallo di tempo
necessario a percorrerlo
Considerazioni indipendenti
dal sistema di riferimento
v t
r t
r t
r t
v lim
t 0 t
r t
r t t
r t
v t
r t t
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Velocita`: riassunto
• Velocita` in coordinate cartesiane: v vxu x v y u y
dy
dx
v
y
• Componenti: vx dt
dt
2
• Modulo:
v vx v y
2
2
dx dy
dt dt
• Velocita` in coordinate
d
v
• Componenti: dt
2
polari: v v u vf uf
df
vf
dt
d df
dt dt
2
• Modulo: v v 2 vf 2
Generalizzabile
Immediatamente al
moto nello spazio
2
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Coordinata curvilinea
• Il moto lungo la traiettoria puo` essere descritto mediante una
coordinata curvilinea s, misurata da un’origine arbitraria sulla
traiettoria
• s esprime la lunghezza della traiettoria
• ds/dt esprime la variazione temporale della posizione sulla
traiettoria, cioe` la velocita` istantanea
• Con questa scelta, il vettore velocita` e` determinato, istante per
istante, dal modulo (ds/dt) e dal versore uT che individua la
direzione della tangente alla curva
dr t ds uT ds
v
u
v
u
T
T
v t1
dt
dt
dt
O
uT t1
uT t2
dr t ds uT
v t2
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Un risultato importante
• Nel definire la velocita` abbiamo introdotto il versore uT
• Calcoliamo ora la derivata di uT rispetto al tempo, tale
risultato ci sara` utile nello studio dell’accelerazione
uT t
f
uT t
f
uT t t
f
uT t t uT t
uT t t
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Un risultato importante
• Troviamo la differenza dei versori uT calcolati nei due
istanti di tempo, con considerazioni geometriche
• La direzione sia individuata da un versore e, che
dipende pure dai due istanti di tempo
f
• Il modulo e` dato dalla formula trigonometrica 2 sin
2
f
• Avremo uT t t uT t 2 sin e t , t
2
uT t
f 2
uT t t
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Un risultato importante
• La derivata e` dunque il limite del rapporto
uT t t uT t
sin f 2
lim
lim 2
e t , t
t 0
t 0
t
t
• Facendo opportune manipolazioni algebriche e
applicando il teorema del limite di un prodotto :
sin f 2
duT t
f
lim
lim
lim e t , t
t 0
dt
f 2 t 0 t t 0
• Il primo termine vale 1, il secondo termine e` la
derivata temporale dell’angolo f, il terzo termine e` il
versore uN perpendicolare a uT e rivolto verso la
convessita` locale della traiettoria
d
u
df
In modo simile avremmo
T t
u N t
potuto calcolare la velocita`
dt
dt
a partire dal vettore posizione
uT t
u N t
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Analogamente
• Possiamo ripetere le considerazioni anche per il
versore
ˆ t t ˆ t
sin f 2
lim
lim
2
e t , t
t 0
t 0
t
t
sin f 2
dˆ t
f
t , t
lim
lim
lim
e
t 0
t 0
t 0
dt
t
f 2
• Il terzo termine e` ora il versore f
dˆ t df ˆ
f t
dt
dt
fˆt
̂ t
f
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Analogamente
• Idem per il versore f
fˆt t fˆt
sin f 2
lim
lim
2
e
t
,
t
t 0
t 0
t
t
sin f 2
dfˆt
f
lim
lim
lim
e t , t
t 0
t 0
t 0
dt
t
f 2
• Il terzo termine e` ora il versore -
dfˆt
df
ˆ t
dt
dt
fˆt
f
̂ t
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Velocita` in coordinate polari
• Con i risultati raggiunti possiamo ricalcolare facilmente la velocita` in
coordinate polari f
dˆ t
dr t d t ˆ t d t
v
ˆ t t
dt
dt
dt
dt
d t
df t ˆ
ˆ t t
f t
dt
dt
• Che e` l’espressione ottenuta
precedentemente
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Vettore accelerazione
dv t
a
dt
• E` definito come
• Usando per convenienenza la coordinata
curvilinea, eseguiamo la derivata della velocita`:
duT t dv
df
dv t d vt uT t dvt
a
uT t vt
uT v u N aT a N
dt
dt
dt
dt
dt
dt
• Mentre per definire la velocita` basta il vettore
uT, per l’accelerazione ne servono, in generale,
due: uT e uN
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Vettore accelerazione
• Il primo va a costituire l’accelerazione
tangenziale cioe` tangente alla traiettoria: e`
relativo alla variazione di modulo della velocita`
• Il secondo l’accelerazione normale, cioe`
perpendicolare alla traiettoria e verso la
convessita` di questa: e` relativo alla variazione
di direzione della velocita`
aT
v t
dv
aT uT
dt
df
aN v
uN
dt
v t t
aN
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Moto circolare
• Sono i moti che avvengono lungo una
circonferenza
• Poiche’ la velocita` cambia direzione
continuamente, deve essere sempre presente
un’accelerazione
• Se la velocita` e costante in modulo il moto si
dice uniforme
• Si puo` descrivere il moto o con la coordinata
curvilinea s o con la coordinata angolare ,
corrispondente all’angolo al centro sotteso da s
s R
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Moto circolare
• Similmente a quanto fatto per il moto
unidimensionale, si definiscono
–
–
–
–
Posizione angolare
Spostamento angolare
Velocita` angolare media m
t
d
Velocita` angolare istantanea
– Accelerazione angolare media m
– Accelerazione angolare istantanea
dt
t
d d 2
2
dt
dt
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Moto circolare
• In un moto circolare la velocita` radiale e`
sempre nulla, poiche’ il raggio vettore non
cambia in modulo (ma solo in direzione)
• La velocita` coincide quindi con la velocita`
azimutale
• La velocita` e` costante se e solo e` tale la
velocita` angolare
v
d
0
dt
v v
d
R
dt
vt Rt
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Moto circolare uniforme
• Il modulo della velocita` e` costante
• Quindi l’accelerazione tangenziale e` nulla
• Rimane l’accelerazione normale (centripeta)
v2
a aN
2R
R
• Il moto e` periodico con periodo T pari al tempo
di percorrenza della circonferenza:
T
2R 2
v
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Moto circolare non uniforme
• Cioe` il modulo della velocita` non e` costante
• In questo caso c’e` accelerazione tangenziale
• Inoltre l’accelerazione centripeta non e`
costante, cio` e` conseguenza 2della formula
che la lega alla velocita`: aN v
R
• Inoltre dalla relazione tra velocita` e velocita`
angolare segue che quest’ultima non e`
v R
costante e quindi esiste un’accelerazione
angolare
d d v 1 dv 1
dt
aT
dt R R dt R
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Esempio: moto circolare
uniformemente accelerato
• Cioe` con accelerazione angolare costante
• Dalla formula precedente cio` equivale ad
avere un’accelerazione tangenziale costante
• Integrando l’equazione che definisce ,
troviamo per la velocita` angolare:
0 t
• E l’accelerazione centripeta risulta dipendente
2
dal tempo:
a 2 R R t
N
0
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Moto circolare uniforme
• Se proiettiamo il moto sui due
assi cartesiani, con origine nel
x R cos R cost 0
centro della circonferenza:
• Ove 0 e` il valore assunto
y R sin R sin t 0
dall’angolo al tempo t=0
• Abbiamo ottenuto l’importante
risultato che il moto circolare
R
uniforme puo` essere pensato
come la sovrapposizione
vettoriale di due moti armonici di
ugual ampiezza, sfasati di un
quarto di periodo
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Esercizio
• Trovare il moto risultante dalla sovrapposizione
dei due moti lungo x e y
x R cos t
y R cos t
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Esercizio
• Dati i due moti lungo x e y
x a cos t
y b sin t
• Trovare: a) l’equazione della traiettoria,
eliminando il tempo dalle equazioni;
b) l’espressione della distanza radiale (t);
c) l’espressione della coordinata angolare f(t);
d) il vettore velocita` in coordinate cartesiane;
e) il vettore velocita` in coordinate polari
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Esercizio
• 1) n. 2.24 pag 47 MNV
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Vettore velocita` angolare
• Possiamo considerare la velocita` angolare del moto
circolare un vettore
d
• Il modulo e`
dt
• La direzione e` perpendicolare al piano del moto circolare
• Il verso e` determinato con 2a regola della mano destra:
e` indicato dal pollice e la rotazione dalle altre quattro dita
• Introduciamo il concetto di asse di rotazione: e` la retta
perpendicolare al piano del moto circolare passante per il
centro della circonferenza
• Si deve pensare che il vettore sia applicato ad un punto
(per altro arbitrario) dell’asse di rotazione
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Vettore velocita` angolare
• Grazie ad possiamo
esprimere la
velocita` come v r
• Ove r e` il vettore distanza tra il punto di
applicazione di v e quello di (punto
arbitrario sull’asse di rotazione)
• Derivando rispetto al tempo otteniamo
il vettore accelerazione angolare
• Calcoliamo l’accelerazione a con le due
componenti tangenziale e centripeta:
dv d d dr
a
r
r
dt dt
dt
r v aT aN
r
v
r
v
dt
aN
aT
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Esercizio
• Un punto P si muove di moto rettilineo
• Un osservatore O, che non giace sulla retta
percorsa da P, vede il punto muoversi con
velocita` angolare
• Trovare come varia in funzione della
posizione di P
P
h
O
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Cerchio osculatore
• Consideriamo una traiettoria
planare
• In un suo punto arbitrario P
tracciamo una circonferenza:
abbiamo possibilita` doppiamente
infinite di scelta, corrispondenti
alle due coordinate del centro
della circonferenza
• Se chiediamo inoltre che la
circonferenza abbia in P la stessa
tangente della traiettoria, la scelta
si riduce a semplicemente
infinita, corrispondente alla
lunghezza del raggio della
circonferenza (il centro deve
infatti trovarsi sulla retta
perpendicolare in P alla tangente)
P
P
40
Cerchio osculatore
P
• Se inoltre chiediamo che in P
la derivata seconda del
cerchio sia uguale a quella
della traiettoria, abbiamo una
sola possibilita` di scelta
• Questa circonferenza,
determinata univocamente,
prende il nome di
circonferenza osculatrice (CO)
• Essa rappresenta la circonferenza che meglio approssima
localmente la traiettoria
• Il raggio R della circonferenza e` detto raggio di curvatura della
traiettoria
• In generale la CO varia da punto a punto (o istante per istante) lungo
la traiettoria, cioe` variano la posizione del centro e la lunghezza del
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raggio
Cerchio osculatore: casi particolari
• Nei punti di flesso della
traiettoria la derivata seconda
cambia segno (cioe` si annulla)
• In questo caso la circonferenza
degenera in una retta
• Ovvero si puo` immaginare che il
raggio di curvatura diventi
infinitamente grande
• Nei punti angolosi non si puo`
definire un cerchio osculatore
• Tutt’al piu` si puo definirne uno a
destra e un altro a sinistra del
punto
P
P
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Accelerazione e cerchio osculatore
•
•
•
•
•
•
Vediamo ora che relazione esiste
tra velocita` sulla traiettoria e
circonferenza osculatrice
Sia C il centro della CO
Accanto alla coordinata curvilinea
s sulla traiettoria, introduciamo
anche sulla CO una coordinata
curvilinea s’
Consideriamo uno spostamento
infinitesimo nel punto P, questo si
puo` scrivere, per definizione di
CO: ds=ds’ (a meno di termini di
ordine superiore a due)
Se ora introduciamo l’angolo g
con vertice in C e semiretta
origine CP, possiamo scrivere lo
spostamento infinitesimo lungo la
CO in termini di quest’angolo e
del raggio R della CO: ds’=Rdg
Otteniamo infine ds=Rdg
P
C
P
dg
R
C
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Accelerazione e cerchio osculatore
Considerazioni indipendenti
dal sistema di riferimento
• Se ora dividiamo entrambi i membri per l’intervallo di tempo
infinitesimo dt, otteniamo una relazione di uguaglianza tra la
velocita` lungo la traiettoria e sulla CO:
ds
dg
vtraiettoria
dt
R
dt
vCO
• Inoltre, si puo` dimostrare che l’angolo df definito dalle
perpendicolari alle tangenti in due punti infinitamente vicini della
traiettoria coincide con l’angolo dg della CO, quindi
df
vR
dt
• La componente normale dell’accelerazione si puo` dunque scrivere
(in modulo):
df v 2
aN v
dt
R
• Tale componente e` anche detta centripeta, poiche’ punta sempre,
istante per istante, verso il centro del cerchio osculatore
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