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A new heuristic method for mixed model
assembly line balancing problem
一種針對混合式裝配線平衡問題的新啟發式
演算法
指導教授：王鵬森 老師
學生：羅偉仁
學號：M9550220
出處：Computers & Industrial Engineering 44 (2002)
159-169
1
Introduction

因應市場競爭，客製化商品增加
以汽車工業為例：顧客可以用基本的模型再加上
自己的喜好來選擇自己喜歡的車子，如：要不要
安全氣囊，要不要DVD……等。
====>混合式裝配線平衡問題
2
Introduction

TOYOTA應用JIT系統的成功=>生產順序中
資源的使用率有最小的變異

此篇paper中問題的目標在於最小化順序中
零件消耗率的變化。Kubisk(1993)稱此為生
產率變化問題(product rate variation problem)
3
The mixed model assembly line
formulation

假設在一條裝配線上有N種模型(model or units)可以生產，
模型中有C種零件可供選擇使用。以下是本篇出現的符號
意義
 di：代表model i 的需求量， i  {1,..., N }
 cj,i：代表一個model i 所需要零件j的數目
i {1,..., N }and j {1,..., C}(technical matrix)
N
 D：代表總需求量 D   di
i 1
 Tj：代表所有的順序(sequence)中所需的part j總數目
 rj：期望零件消耗率
 xi,k：為決策變數，代表model i在一個特定的順序中前k
個位置的累積排列次數
4
The mixed model assembly line
formulation
N




di c j ,i
依照以上的定義可得 T j  
i 1
為了平滑的生產零件，於是期望零件消耗率為
Tj
rj 
D
(1)
(2)
因為有零件的供給與消耗，所以試著平衡順序中消耗的
零件，在前k個位置的零件j消耗數目為krj
(3)
在ㄧ個特定順序中位置k的實際累積消耗零件j的數目為
N
x
i 1
i ,k
c j ,i
model i在一個特定的順序中前k個位置的累
積排列次數
(4)
model i 下所需的零件j的數目
5
The mixed model assembly line
formulation
N

目標式可以用  xi ,k c j ,i 與krj的差來表示如下
i 1
D
Minimize
C
N
 F ( x
j
k 1 j 1
i 1
i ,k
c j ,i  krj )
(5)
Fj為凸函數，當Fj(0)=0為最小值，目標式可表示如下
D
C
N
SDQ  min  ( xi ,k c j ,i  krj )2
k 1 j 1
i 1
(6)
Sum of the quadratic differences
6
The mixed model assembly line
formulation

基於上式，可以將混合式裝配線平衡問題表示如下
D
C
N
min SDQ   ( xi ,k c j ,i  krj ) 2
k 1 j 1
i 1
(7a)
s.t
x
i ,k
i{1,..., N }
 k k  {1,..., D}
xi ,k  xi ,k 1  1 i  {1,..., N }, k  {1,..., D}
xi ,k  xi ,k 1  0 i  {1,..., N }, k  {1,..., D}
0  xi ,k  di i  {1,..., N }, k  {1,..., D}
(7b)
(7c)
(7d)
(7e)
xi,k為整數
7
The mixed model assembly line
formulation – goal chasing method


Moden(1983)將此方法實施在Toyota來解決平衡裝配線混
合模型問題並將此法稱為目標追蹤法(goal chasing method)
因為為不同的目標函式，所以將目標追尋法作些微的變
化且不影響必須的點，步驟如下
 Step 1.令 k  1, x
i , 0  0, i  {1,..., N }
 Step 2.選擇ㄧ個model l可以最小化成本，此時xl,k-1<di
2
C
N
(8)
*
l  arg min { ( (( xi ,k 1  zi ,l )c j ,i )  krj ) }
l{1,..., N }
且
j 1 i 1
zi,j=
1 when i  l
0 otherwise
l {1,..., N }
8
The mixed model assembly line
formulation – goal chasing method



Step 3.
xi ,k 1  1 when i  l *
xi,k=
l {1,..., N }
xi ,k 1 otherwise
Step 4. k=k+1 如果k > D就結束運算，反之回到Step 2
目標演算法可以解決多零件、大量需求等大規模的問題而
且只花很少的時間就可以得到結果。此法主要的缺點在於
在如果有些model的選擇比較特殊會被留到後期才會生產
這樣產出的變異會很大。
9
Existing improvement – Symmetry

Bautista,Conpanys,and Corominas(1996)提出三種方法可以
改善混合式裝配線平衡問題的方法。
 Symmetry：因為目標追蹤法是對稱的即可以應用在順
序中的開始或結尾的結果不會有影響。所以從起始點
與最終點增加一個一個的unit來建立一個順序，第一次
循環決定第一個位置，第二次循環決定最後一個位置。
而且bad units不會累積在順序中的後面並且此改善方法
計算上的負荷不會太大。此法的缺點在於poor units似
乎會被放在順序的中央，所以此法雖然改善了問題卻
也生產出另一個問題。
10
Existing improvement –
Horizon(2-step)

Horizon(step-2)：為了降低”short-sightedness”，所以
每次循環不只考慮一個位置。於是測試兩個一次考慮
兩個位置的模型，計算此兩個模型所增加的成本和比
較所有的成本組合。改變目標演算法的step 2。此法的
缺點在於計算的複雜度增加，當增加大量的選擇數時
運算時間會增加許多。在極端的狀況下，當考慮所有
順序的第一個位置時，此法會列舉所有可能順序來找
出最佳解。
11
Existing improvement –
Rate-preserving


Rate-preserving：使用目標追蹤法在一些循環計算後會
累積poor units而剩下來的units結構與原本的結構相比
會變成有更多的poor units。Rate-preserving法試著讓結
構與原本的結構相同。Bautista認為此法搭配step-2會減
少5%的成本且選擇unit上使得剩下來的組成結構與一
開始的組成結構差距變小。此法計算負荷比horizon小，
比Symmetry大。
以上三種方法可以同時使用以求得較佳的結果
12
Variance method

目標追蹤法基本的問題在於good units在早期的循環消耗
太快而bad units會被留到較晚的循環來處理。然而並沒有
ㄧ個量化的指標來衡量模型的適合度，所以存在以下兩
個問題
 1.什麼是good units和什麼是bad units？
 2.要如何避免此現象？
藉由回答上面兩個問題的過程，發展出Variance。
在一個特定的模型中將零件結構接近期望消耗率的units
稱作good units。使用model variance vi來衡量
C
vi   (rj  c j ,i )2
j 1
(9)
13
Variance method

當模型有較小的vi代表是good units。對一個特定的
composition of the units也定義total composition variance如
下
N
t   di vi
(10)
如果composition有小的composition variance則可能有較多
的good units。
i 1
14
Variance method

目標追蹤法試著找出unit在最低成本下的適合位置且不考
慮未來順序。我們結合composition variance當做剩下
composition的機會成本當作總成本。現有的成本與機會成
本是相衝突的，所以要在兩者之間做trade-off。Variance
法是改變目標追蹤法的step 2而來
 選擇 xl ,k 1  d l 可以最小化平方成本
C
N
j 1
i 1
(l )  arg min { ( (( xi ,k 1  zi ,l )c j ,i )  krj ) 2
*
l{1,..., N }
N
C
 w (( di  xi ,k 1  zi ,l ) (rj  c j ,i ) 2 )}
i 1
j 1
此時
Zi,j= 1 when i  1
l {1,..., N }
0 otherwise
(12)
w為機會成本的折扣因子
15
Variance method

這個啟發式演算法解決現有目標追蹤法的問題，而且此啟
發式演算法可以與現存的改進方法一起使用，並且計算上
不會造成負荷。
16
Numerical examples and
experiments

令N=5，C=4，每個模型i的technical matrix(cj,i)和demand(di)
如下，意思是model i所需的part j數量
17
Numerical examples and
experiments

Table 2代表不同啟發式演算法的結果
Variance與2-step/variance
的產出結果優於其他的
演算法。如果我們改變需求
為[90 80 25 15 70]，總需求
變為280，則結果與計算時
間如下頁
18
Numerical examples and
experiments

由上表可知variance與原本的目標追尋法相比的結果較好
且所增加的時間不多
19
結論與感想


在這篇paper中提出了許多改進的方法來改善JIT系統中的
目標追蹤法，並且介紹了他們的缺點。不只找出問題的所
在點和介紹模型變異數(model variance)的概念來衡量模型
(model)是否為良好，而且使用composition variance來衡量
composition的適合度。
此外主要發展出variance用整合變異數當作成本函數中的
機會成本來改善目標追蹤法，和利用數據實驗看出此法更
有效率。
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