Document 9653851
Download
Report
Transcript Document 9653851
Matakuliah : Sistem Pengaturan Dasar
Tahun
: 2010
Karakteristik Sistem Pengaturan
Pertemuan 6
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• menjelaskan arti fisis dan karakteristiknya dari sistem
orde 1, orde 2 maupun sistem orde tinggi
Outline Materi
•
•
•
•
•
Pemahaman sistem orde 1, 2 dan orde tinggi
time constant
persamaan karakteristik, akar karakteristik, frekuensi alamiah (natural) ,
damping ratio.
Pemahaman stabil (overdamped, critically damped, underdamped) dan
tidak stabil.
Analogi elemen sistem mekanik dan elektrik
• Bentuk Standar Sistem Orde 2
2
C(s)
n
Gs
R(s) S2 2 S 2
n
n
• Sifat dinamik dari sistem orde 2 dapat
diuraikan menggunakan 2 parameter dan
n.
• 0 < < 1 : kutub-kutub ( poles ) merupakan
akar kompleks conjugate dan terletak di
sebelah kiri sumbu imajiner. Respons
transient
berosilasi pada keadaan yang disebut dengan kurang diredam
( underdamped ).
Respons dari sistem untuk input berbentuk fungsi step :
2
1
c (t ) 1
sin d .t tan 1
1 2
e n t
Frekuensi osilasi d dan berubah dengan perubahan .
Jika = 0 respons sistem :
c(t) = 1 – cos nt
sistem akan terus berosilasi dengan frekuensi n dan tidak akan
teredam.
• = 1 : kedua kutub riil negatip dan letaknya hampir
sama. Sistem disebut teredam kritis
( critically damped ).
Untuk unit step input, maka output menjadi :
Respons sistem :
n2
C(s)
(s n )2 s
c (t ) 1 e
n t
(1 n .t)
• > 1 : Kedua kutub riil negatip dan letaknya tidak sama.
Sistem disebut teredam lebih
( overdamped ).
Untuk unit step input, C(s) dapat ditulis :
C(s)
n2
( s n n 2 1 ) ( s n n 2 1 ) s
Respons sistem dalam wawasan
waktu(time
domain :
s1t
s2 t
n e
e
c (t ) 1
s s
2
2 1 1
2
s1 = [ + ( 2 – 1)0.5 ] n
s2 = [ - ( 2 – 1)0.5 ] n
Respons mengandung 2 faktor yang menurun secara
eksponensial.
• Respons sistem orde 2 terhadap unit step
input.
1.6
underdamped
1.4
1.2
1
0.8
0.6
critically damped
overdamped
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
• Hubungan antara letak akar-akar dengan time respons.
1. Keadaan under damped :0 < < 1
x
x
2. Keadaan critically damped : = 1
x
3. Keadaan overdamped : > 1
xx
x
4. Keadaan undamped : = 0
Sistem berosilasi dengan
amplitude konstan
x
x
5. Keadaan tidak stabil
x
• Definisi dari spesifikasi respons transient.
• Delay time td : Waktu yang diperlukan oleh
respons untuk mencapai setengah dari nilai
akhir untuk pertama kali.
• Rise time tr : Waktu yang diperlukan oleh
respons untuk naik dari 10%-90%, 5%-95%, atau
0%-100% dari nilai akhir. Untuk underdamped
sistem biasanya digunakan 0%-100%.
• Peak time t p : Waktu yang diperlukan untuk
mencapai puncak pertama dari overshoot.
• Maximum (percent) overshoot Mp :
Nilai puncak maksimum diukur dari nilai
respons sebesar 1. Jika nilai steady state akhir
berbeda dari 1, maka digunakan rumus :
Max % overshoot
c ( t p ) c ( )
c ( )
x100 %
• Settling time ts : Waktu yang diperlukan oleh
respons untuk mencapai dan tinggal dalam
range
sekitar nilai akhir ( biasanya 2% atau 5% ).
• Time constant T : Waktu yang diperlukan oleh
respons untuk mencapai 63,2% dari nilai akhir.
• Rumus berdasarkan definisi.
• Rise time
1
1 d
tr
tan
d
d
= tan-1( d/ )
• Peak time
tp
d
• Settling time
t s 4T
t s 3T
4
3
4
n
3
n
( 2% )
( 5% )
• Maximum percent overshoot.
% Mp e
1 2
x 100 %
Contoh :
R(s)
E(s)
+
-
n2
s( s 2 n )
C(s)
Pada sistem diatas = 0,6 dan n = 5 rad/det. Jika
sistem diberi input R(s) berupa fungsi step, tentukan
rise time, peak time, maksimum peak overshoot dan
settling time.
d n 1 2 4
Jawab :
n 3
tan 1
•
Rise time
tr
d
4
tan 1 0,93 rad
3
3,14 0,93
d
4
t r 0,55 det ik
tp
•
Peak time
3,14
0,785 det ik
d
4
Mp e
•
Max overshoot
ts
•
Settling time
ts
4
3
1 2
e
0, 6
1 0 , 6 2
4
1.33 det ik
3
3
1 det ik
3
0,095
2%
5%
• sistem Pengaturan yang diberi input akan
mempunyai kesalahan keadaan mantap (steady
state error) sebagai respons terhadap tipe input
tertentu.
• Sebuah sistem dapat saja tidak mempunyai
kesalahan keadaan mantap terhadap input unit
step tetapi mempunyai kesalahan keadaan
mantap terhadap ramp input.
• Kesalahan mantap (Steady state error)
C(s)
G(s)
R ( s)
1 G(s)H(s)
R(s)
E(s)
+
-
G(s)
C(s)
H(s)
E(s)G(s)
G(s)
R ( s)
1 G(s)H(s)
E ( s)
1
R ( s)
1 G(s)H(s)
E ( s)
R ( s)
1 G(s)H(s)
• Teori nilai akhir untuk menghitung Errorsteady state.
s.R( s)
s 0 1 G ( s ).H ( s )
ess lim e(t ) lim s.E ( s) lim
t
s 0
•
Konstanta error posisi statik Kp
– Input Fungsi Step
e ss
s
1
1
lim
s0 1 G(s)H(s) s
1 G(0)H(0)
K p lim G(s)H(s) G(0)H(0)
s0
e ss
1
1 K p
– Sistem Tipe 0
K (Tas 1)(Tbs 1)...............
K
s 0 (T s 1)(T s 1)..................
1
2
K p lim
– Sistem Tipe N 1
K (Tas 1)(Tbs 1)............
K p lim N
s0 s (T s 1)(T s 1)...........
1
2
Konstanta error kecepatan statik Kv.
Input Fungsi Ramp.
ess
s
1
1
lim
lim
s 0 1 G(s)H(s) s2
s 0 sG(s)H(s)
K v lim sG(s)H(s)
s 0
Sistem Tipe 0
Sistem Tipe 1
ess
1
Kv
sK (Ta s 1)(T s 1)
b
Kv lim
K
s 0 s(T s 1)(T s 1)
1
2
u
Sistem tipe 2 atau lebih
sK(Tas 1)(T s 1)
b
K v lim
N
s 0 s (T s 1)(T s 1)
1
2
u
Error steady state
1
Kv
tipe 0
ess
1 1
Kv K
tipe 1
ess
1
0
Kv
tipe 2 atau lebih
ess
Konstanta error percepatan statik KA.
Input r(t) fungsi parabolik
12
r t t
2
Rs
1
s3
1
1
ess lim
2
KA
s 0 s Gs HS
K A lim s 2Gs H s
s0
Sistem Tipe 0
s2K(Tas 1)(T s 1)
b
K A lim
0
(T s 1)(T s 1)
s0
1
2
Sistem Tipe 1
Sistem Tipe 2
s2K(Tas 1)(T s 1)
b
K A lim
0
s
(
T
s
1
)(
T
s
1
)
s0
1
2
1
ess
K
A
s2K(Tas 1)(T s 1)
b
K A lim
K
2
s 0 s (T s 1)(T s 1)
1
2
1
1
ess
K
K
A
Sistem Tipe 3 atau lebih
s2K(Tas 1)(T s 1)
b
K A lim
N
s 0 s (T s 1)(T s 1)
1
2
1
ess
0
K
A
Sebagai ringkasan tentang kesalahan steady state untuk sistem tipe
0,tipe 1 dan tipe 2 dengan bbrp jenis input adalah sbb:
Input
Tipe
Sistem
Step
r(t) = 1
Ramp
r(t) = t
Tipe 0
1/(1 + K)
Tipe 1
0
1/K
Tipe 2
0
0
Parabolik
r(t)=1/ 2 t2
1/K