Transcript Document 9653558

Matakuliah
Tahun
: K0594 / Kalkulus II
: 2008
DETERMINAN DARI MATRIKS
Pertemuan - 3
Pengertian
Determinan :
• Adalah bilangan yang dihitung dari jumlah berikut : Melibatkan n2 elemen jumlah
yang diambil terhadap semua permutasi dan subskrip kedua. Se-buah unsur-unsur
diberi tanda + Jika (I, j, …, r) adalah permutasi genap dari (1, 2, …, n); dan tanda –
jika ia adalah permutasi ganjil.
• Permutasi
a
abc
bac
cab
acb
bca
cba
b
c
Bina Nusantara University
3
• Permutasi bilangan asli :
2
1
123
132
213
231
312
321
3
• Inversi pada permutasi :
Keadaan di mana bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil
dalam urutannya
Bina Nusantara University
4
Contoh :
1 2 3 -> inversinya = 0+0+0 =0
1 3 2 -> inversinya = 0+0+1 = 1
2 1 3 -> inversinya = 1+0+0 = 1
2 3 1 -> inversinya = 0+1+1 = 2
3 1 2 -> inversinya = 1+1+ 0 = 2
3 2 1 -> inversinya = 1+1+ 1 = 3
• Permutasi genap bila banyaknya inversi genap
• Permutasi ganjil bila banyaknya inversi ganjil
Bina Nusantara University
5
•
Definisi Determinan :
Deteminan matriks bujur sangkar A = A atau det A adalah jumlah semua perkalian elementer matriks A.
Bila inversinya genap tanda
Bila inversinya ganjil tanda
+
-
2
A 
6
=
1

4
2.4
1.6
1 = 8 +-6
2
A = 2
6 4
Bina Nusantara University
-
6
Sifat-sifat Determinan
Mencari determinan dengan sifat-sifatnya
1. Bila ada baris/kolom yang semua unsurnya nol, maka determinan-nya = 0
Contoh :
a)
00∙50- 0∙4 = 0-0 = 0
0 0
A 

 A
4 5
4 5
b)
20 - 0∙3
0 = 0-0 = 0
2 0
B

 B 
3 0
3 0
c)
d)
2
3 4
 1


 2  5 7 =08 
 3  4  5 10


0
0
0
0
0 1 2


=
0
0
3
4


0 5 6
Bina Nusantara University
7
2.
Matriks dan matriks bawah
Determinan matriks atas / bawah adalah = perkalian elemen-elemen diagonal utama
Contoh :
A=
B=
Bina Nusantara University

2 1 3


0 4 1
0 0 1

2 0 0


 1 3 0
4 1 2
=2x4x1=8
A
= 2 x 3 x 2 = 12
B
8
3.
Bila salah satu baris / kolom dikalikan p, maka determinannya dikalikan p
4 3
A =  
2 5
=A
14
Baris pertama x ( p = 2 )
A = 4 3


2 5
A=
b1(21)

8 6


2 5
A
= 28 = 2 x 14
A
= 12
Bina Nusantara University
A
9
ij
4. Bila A 
, makaA1

Contoh :
b
=- A
 1 2
A =   A= -2
3 4
A1
A =  1 2b12 
= 3 4

3 4
 1 2
A=1 6 – 4 = 2
=A
A=1 -
Bina Nusantara University
A1
A
10
5.
ijA , maka


1 
Bila A
b (p )
=
A1
A
Contoh :
 1 2
A=  

3 4
1
A= 
3
2

4
= A -2
1 


b12
A(3=)
10 14


 3 4
A1 = -2

Bina Nusantara University
=
A
A1
11
6.
Bila A dan B matriks bujur sangkar, maka
A.B= . A B
2
A = 7 

=A
5
8 3
1 4
B
B =   = -10
3 2
A.B =
A.=B-50
Bina Nusantara University
7

8
2  1 4
 =

3 3 2
.
13 32


17 38
A =B
=(5).(-10)
-50
12
7.
Bila A Matriks Non singular, maka
Contoh :
A1 
1
A
7 3
A 
  A  (7x 4)  (3x 6)  10
6 4
A 1 
1
.adj(A)
A
3
 2

1  4  3  5
10
A1  



10 6 7   3 7 
 5 10 
A1 
1
1 1
 A1  
10
A 10
A1 
Bina Nusantara University
1
10
13
8.
At
 A
Contoh :
2 1 t 2 5
A 
; A  

5 7
 1 7
A 9
Bina Nusantara University
At  9
14
Rank Matriks
A=matriks berukuran m x n
 a11 a12 ... a1n 


A   a21 a22 ... a2n 
am1 am2 ... amn 
•
•
Rank baris (row rank) matriks A = jumlah maksimum baris yang bebas linier
Rank kolom (column rank) = jumlah maksimum kolom yang bebas linier
Bina Nusantara University
15
9. Jika elemen-elemen pada baris ke r matriks A merupakan jumlah elemen-elemen yang bersesuai-an
(pada baris ke r juga) dari matriks B dan C sedang elemen-elemen yang lain sama, maka
Contoh
A : B  c
 1 2
1 2
 1 2
A 
B

C






4
6
1
3
3
3






1 2 1 2 1 2


4 6 1 3 3 3
 2  (3  2)  (3  6)
 2  1 (3)
 2  2
Bina Nusantara University
16