Transcript UJI KESAMAAN DUA SEBARAN NORMAL Pertemuan 12 – Teori Statistika II Matakuliah

Matakuliah
Tahun
: I0184 – Teori Statistika II
: 2009
UJI KESAMAAN DUA SEBARAN NORMAL
Pertemuan 12
Materi Pokok 12
UJI KESAMAAN DUA SEBARAN NORMAL
1. Uji + Dua contoh acak
2
N (μ
Misalkan peubah acak bebas X dan Y mempunyai
sebaran
x , σx )
danN (μ y, σ2y )
dan sering kita tertarik menguji apakah
sebaran X dan Y sama. Jadi jika asumsi kenormalan valid,
kita tertarik menguji kesamaan ragam dan kesamaan nilai
σ2x  σ2y
tengah.
Jika
maka untuk menguji H0 : x - y = 0 terhadap
X-Y
H
T 1: x - y = 0, digunakan statistik uji :
n - 1 S2x  m - 1 S2y  n  n - 2 1  1 
n
X-Y
1
1
Sp

Bina Nusantara University
n m
m

2
dengan :
Sp 
n - 1 S2x  n - 1 S2y
nm-2
T mempunyai sebaran t dengan derajat bebas r  n  m - 2
bila H 0 benar dan ragam σ 2x  σ 2y  σ 2 .
sehingga H 0 ditolak bila T  - t α r 
Hipotesis dan wilayah kritik uji kesamaan nilai tengah
bila ragam sama adalah sebagai berikut :
Bina Nusantara University
3
H0
H1
x = y
x > y
Wilayah Kritik
t  t (n + m – 2) atau
x - y  t α n  m - 2 . Sp
x = y
x < y
1 1

n m
t  t (n + m – 2) atau
x - y  t α n  m - 2 . Sp
x = y
x  y
t  t α 2 n  m - 2 . Sp
1 1

n m
1 1
 atau
n m
x - y  t α 2 n  m - 2 . Sp
Bina Nusantara University
1 1

n m
4
Bila sebaran mendekati normal tetapi ragam keduanya
berbeda jauh, maka uji t ini jangan dipakai terutama jika
ukuran contohnya berbeda dan kecil. Untuk hal semacam
itu Welch mengusulkan pendekatan sebaran t dengan
derajat
1 - C di2 mana: S 2
1 C 2 bebas
r

n -1

m -1
dan C 
x
Sx 2  Sx 2
atau
 S 2 Sy 2 
 x 

 n
m 


r
1  Sx
n - 1  n
Bina Nusantara University
2
2
 Sy

1

 

m -1  m


2
2




2
5
Statistik Ujinya :
X-Y
T
2
2
S
Sx
y

n
m
Jika peubah acak X dan Y tidak bebas dan ada n pasangan (X1,
Y1), (X2, Y2), ….., (Xn, Yn) yang masing-masing menyebar normal
dengan nilai tengah x dan y maka peubah acak beda pasangan
(X, Y) adalah D = X - Y bebas, dengan
D = E(X – Y) = E(X) – E(Y) = x - y
Hipotesis:
H0 : DD -=δ0 dengan D = X – Y diuji menggunakan statistik uji
T
0
SD
n
D  nilai tengah contoh acak Di
SD  simpangan baku contoh acak Di
Bina Nusantara University
6
Wilayah kritiknya :
t  t α n - 1 untuk H1 : μ D  δ 0
t  - t α n - 1 untuk H1 : μ D  δ 0
t  tα
2
n - 1 untuk H1 : μ D  δ 0
Perbedaan uji t pada peubah acak bebas dan tidak bebas
adalah karena
ar (X - Y) = ar (X) + ar (Y) – 2 cov (X,Y)
ar (X - Y) = 2 + 2 - 22 = 22 (1 - )
2
ar (X)Cov
= ar
X,(Y)
Y  =  Cov X, Y 
ρ
υar X  . υυaY 

σ2
1

υar X - Y   υar D   υar  Di 
n

Bina Nusantara University
υar Di 2σ 2 1 - ρ 


n
n
7
Pada uji t, dengan X dan Y bebas  = 0 sehingga
2σ 2
 2
Var X - Y  
 σ2  
n
n
2. Uji Dengan Ragam Diketahui
Jika ragam x2 dan y2 diketahui maka statistik uji:
X-Y
Z
2 σ 2
σx
y

n
m
Uji t dengan ragam tidak diketahui yang disusul Welsh
merupakan medifikasi dari uji ini dengan mengganti ragam
sebaran x2 dengan ragam contoh Sx2 dan ragam sebaran
Y = y2 dengan ragam contoh Sy2 .
Bina Nusantara University
8
3. Uji Kesamaan Dua Buah Ragam
Bila kesamaan x2 dan y2 tidak diyakini maka perlu diuji
terlebih dahulu H0 = x2 = y2 untuk selanjutnya memilih
statistik uji t dengan ragam sama atau t sebagai modifikasi
statistik uji Z untuk kedua ragam X dan Y diketahui atau
tidak diketahui tetapi ukuran contoh cukup besar. Pengujian
kesamaan dua buah ragam digunakan statistik uji F.
Misalkan X1, X2, …., Xn dan Y1, Y2, …, Yn adalah dua contoh
acak bebas yang berasal dari sebaran normal, N(x, x2)
dan N(y, y2) maka2 untuk menguji H0 = x2 / y2 = 1 atau x2
n - 1 H
Sx benar.
= y2 2maka untuk
0
χ n - 1 σ 2x n - 1 S2x
F 2

 2
2
χ m - 1 m - 1 S y S y
Bina Nusantara University
σ 2y
m - 1
9
Merupakan sebaran F dengan derajat bebas r1= n - 1 dan
r 2= m - 1
Hipotesis
dan Wilayah
kritik uji kesamaan
ragam
H
H
Wilayah Kritik
0
1
σ 2x  σ 2y
σ 2x
σ 2x  σ 2y
σ 2x  σ 2y
σ 2x  σ 2y
σ 2x  σ 2y
Bina Nusantara University
 σ 2y
S2x




 Fα n - 1; m - 1
2
Sy
S2x
 Fα n - 1; m - 1
2
Sy
S2x
 Fα 2 n - 1; m - 1 atau
2
Sy
S2x
 Fα 2 n - 1; m - 1
2
Sy




10