Transcript 7. Dua Peubah Acak

7. Dua Peubah Acak
Pada banyak percobaan, pengamatan tak hanya dinyatakan
oleh satu besaran, tetapi oleh sekumpulan nilai2 pengamatan. Sebagai contoh, data tinggi dan berat seseorang
dalam satu keluarga, atau banyak anggota dan pendapatan
keluarga tersebut, memerlukan dua besaran nilai.
Sekarang misalkan X and Y menyatakan dua p.a. yang
berbasis model peluang (, F, P). Di sini,
P  x1  X ( )  x2   FX ( x2 )  FX ( x1 )  
dan
P  y1  Y ( )  y2   FY ( y2 )  FY ( y1 )  
x2
x1
y2
y1
f X ( x)dx,
fY ( y )dy.
1
Bagaimana penentuan peluang pasangan p.a. (X,Y) berada
dlm suatu daerah D? Misalnya, bagaimana estimasi peluang
P ( x1  X ( )  x2 )  ( y1  Y ( )  y2 )  ?
Untuk mencari solusinya, didefinisikan peluang distribusi
bersama dari X dan Y sebagai berikut:
FXY ( x, y)  P ( X ( )  x)  (Y ( )  y) 
(7-1)
 P( X  x,Y  y)  0,
dg x dan y adalah sebarang dua bilangan real.
Sifat-Sifat Fungsi Peluang Bersama:
(i) FXY (, y)  FXY ( x,)  0, FXY (,)  1.
karena  X ( )  ,Y ( )  y    X ( )   , diperoleh
(7-2)
2
FXY (, y)  P X ( )    0. Karena  X ( )  , Y ( )    ,
diperoleh hasil FXY (, )  P()  1.
(ii) P  x1  X ( )  x2 ,Y ( )  y   FXY ( x2 , y)  FXY ( x1, y). (7-3)
P  X ( )  x, y1  Y ( )  y2   FXY ( x, y2 )  FXY ( x, y1). (7-4)
Utk pembuktian (7-3), perhatikan bahwa utk x2 > x1 berlaku
 X ( )  x2 ,Y ( )  y    X ( )  x1,Y ( )  y    x1  X ( )  x2 ,Y ( )  y 
dan sifat ME dari kedua kejadian di ruas kanan memberikan
P  X ( )  x2 ,Y ( )  y  
P  X ( )  x1, Y ( )  y   P  x1  X ( )  x2 ,Y ( )  y 
yang membuktikan (7-3). Dg cara sama, (7-4) terbukti.
3
(iii)
P  x1  X ( )  x2 , y1  Y ( )  y2  
FXY ( x2 , y2 )  FXY ( x2 , y1)  FXY ( x1, y2 )  FXY ( x1, y1).
(7-5)
yg menyatakan peluang (X,Y) berada dalam persegi panjang
R0 (Fig. 7.1). Utk membuktikan (7-5), digunakan identitas
yg melibatkan berbagai kejadian saling ME di ruas kanan
ekspresi berikut
 x1  X ( )  x2 ,Y ( )  y2  
 x1  X ( )  x2 ,Y ( )  y1    x1  X ( )  x2 , y1  Y ( )  y2 .
Y
y2
R0
y1
X
x2
x1
Fig. 7.1
4
Ini berakibat
P  x1  X ( )  x2 ,Y ( )  y2  
P  x1  X ( )  x2 ,Y ( )  y1   P  x1  X ( )  x2 , y1  Y ( )  y2 
dan hasil yang dicari (7-5) diperoleh dari (7-3) dengan y = y2
dan y = y1.
FPM Bersama (Joint p.d.f)
Per definisi, FPM bersama dari X dan Y dinyatakan oleh
 2 FXY ( x, y )
f XY ( x, y ) 
.
x y
(7-6)
dari sini diperoleh rumus yang sangat berguna
FXY ( x, y)  
x

y
  f XY (u, v) dudv.
(7-7)
Juga dengan (7-2), diperoleh


   
f XY ( x, y ) dxdy  1.
5
(7-8)
Utk mencari peluang (X,Y) berada dalam sebarang daerah
(himp Borel 2 dimensi) D, digunakan (7-5) dan (7-7) shg
P  x  X ( )  x  x, y  Y ( )  y  y   FXY ( x  x, y  y)
 FXY ( x, y  y)  FXY ( x  x, y)  FXY ( x, y)

x x
x
y y
y
f XY (u, v)dudv  f XY ( x, y)xy.
(7-9)
Jadi peluang (X,Y) berada dalam persegi empat seluas x y
adl sama dg f XY ( x, y) xy. Dg mengulang prosedur ini
thd gabungan persegi2 empat kecil yang saling lepas dalam
D, diperoleh hasil yang sangat berguna
Y
D
x
y
X
Fig. 7.2
6
P  ( X ,Y )  D   
 ( x, y )D f XY ( x, y)dxdy.
(7-10)
(iv) Statistik Margin
Dalam konteks beberapa p.a., statistik dari masing-masing
p.a. disebut statistik margin. Jadi FX(x) adl statistik FDK
margin dari X sedangkan fX(x) adl FPM margin dari X. Catat
bahwa setiap distribusi margin bisa diturunkan dari FPM
bersama. Sesungguhnya
FX ( x)  FXY ( x,),
FY ( y)  FXY (, y).
(7-11)
Juga
f X ( x)  


f XY ( x, y )dy, fY ( y )  


f XY ( x, y )dx.
(7-12)
Untuk membuktikan (7-11), digunakan identitas
( X  x )  ( X  x )  (Y  )
7
sehingga FX ( x)  P  X  x   P  X  x,Y     FXY ( x, ).
Untuk membuktikan (7-12), digunakan (7-7) dan (7-11)
yang memberikan
FX ( x)  FXY ( x, )  

x
  
f XY (u, y) dudy
(7-13)
dan dg menurunkan thd x dalam (7-13), diperoleh
f X ( x)  


f XY ( x, y)dy.
(7-14)
Sampai di sini, diperlukan rumus penurunan di dalam tanda
pengintegralan. Dimulai dengan memisalkan
H ( x)  
b( x)
a( x)
h( x, y )dy.
(7-15)
Turunannya terhadap x adalah
b ( x ) h( x, y )
dH ( x) db( x)
da( x)

h( x, b) 
h( x, a)  
dy. (7-16)
a ( x ) x
dx
dx
dx
Penerapan (7-16) ke dalam (7-13) menghasilkan (7-14).8
Jika X dan Y diskrit, maka pij P( X  xi ,Y  y j ) menyajikan
FPM bersama dan masing-masing FPM marginnya adalah
dan
P( X  xi )   P( X  xi ,Y  y j )   pij
(7-17)
P(Y  y j )   P( X  xi ,Y  y j )   pij
(7-18)
j
i
j
i
Anggap bahwa P( X  xi ,Y  y j ) ditulis dalam bentuk matriks
bujursangkar. Utk mendptkan P( X  xi ), berdasarkan (7-17),
semua entri di baris ke-i ditambahkan.
 pij
i
Asal kata ‘margin’: Di masa/era
manual, secara rutin perusahaan2
asuransi mempraktekkan pencatatan  pij
jumlah nilai di sebelah kiri dan atas j
margin suatu bujursangkar yg
serupa dg matriks pada Fig 7.3.
p11
p12  p1 j  p1n
p21

p22  p2 j  p2 n





pi1
pi 2 
pij  pin






pm1 pm 2  pmj  pmn
9
Fig. 7.3
Dari (7-11) dan (7-12), FPM bersama menyajikan informasi
lengkap tentang p.a.-p.a. dan distribusi masing2 p.a. marginnya bisa dicari dari distribusi p.a. bersamanya. Tetapi apabila
diberikan hanya marginnya, (hampir selalu) mustahil mencari
p.a. bersamanya. Berikut contoh2 semua diskusi di atas.
Y
Contoh 7.1: Cari FPM margin fX(x) dan fY(y) dr
1

constant,
f XY ( x, y)  
0,


0  x  y  1,
otherwise .
y
(7-19) Fig. 7.4 
0
1
Solusi: FPM bersama fXY(x,y) konstan pada daerah di arsir
dalam Fig. 7.4. Kita bisa menggunakan (7-8) utk menentukan
konstan c. Dari (7-8)


   

f XY ( x, y)dxdy 

y 0 

1
y
 x 0
c  dx  dy

2
cy

cydy 
y 0
2
1
1
0
c
  1.
2
(7-20)
10
X
Jadi c = 2. Lebih jauh, dari (7-14)

f X ( x)  

f XY ( x, y )dy  
1
y x
2dy  2(1  x),
0  x  1, (7-21)
dan demikian pula
fY ( y )  


f XY ( x, y)dx  
y
x 0
2dx  2 y,
0  y  1.
(7-22)
Jelas dalam contoh ini, apabila hanya diberikan fX(x) dan fY(y)
spt dalam (7-21)-(7-22), mustahil bisa diperoleh FPM
bersama (7-19).
Contoh 7.2: X dan Y dikatakan terdistribusi normal (Gauss)
bersama jika FPM bersamanya berbentuk:
f XY ( x, y) 
1
e


1  ( x   X )2  2  ( x   X )( y  Y )  ( y  Y )2 


 X Y
2(1  2 )   X2
 Y2 
2 X  Y 1  
utk x, y,  memenuhi    x  ,    y  , |  | 1.
2
,
(7-23)
11
Dg pengintegralan langsung, dg (7-14) dan melengkpai
kuadrat dalam (7-23), bisa dibuktikan bahwa

1
 ( x   X )2 / 2 X2
f X ( x)   f XY ( x, y)dy 
e
N (  X , X2 ). (7-24)

2 X2
Demikian pula

1
 ( y  Y )2 / 2 Y2
fY ( y)   f XY ( x, y)dx 
e
N ( Y , Y2 ). (7-25)

2 Y2
Mengikuti notasi di atas, ekspresi (7-23) akan ditulis sbg
N (  X , Y , X2 , Y2 ,  ).
Sekali lagi, kedua distr margin saja tidak bisa memberikan
distribusi lengkap bersama, yaitu FPM bersama (7.23) tak
bisa diturunkan hanya dari FPM margin (7-24) dan (7-25).
Tetapi ada keadaan khusus di mana distribusi margin selalu
bisa digunakan untuk mendapatkan distribusi bersama, yaitu
12
ketika p.a.2-nya saling bebas secara statistik.
Peubah Acak Saling Bebas
Definisi: Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas
(secara statisitik) jika untuk setiap pasang himp Borel A di
sb-x dan B di sb-y, kedua kejadian {X(ξ)  A} dan {Y(ξ) 
B} saling independen. Dg menerapkan definisi ini pada
kejadian {X(ξ)  x} dan {Y(ξ)  y} bisa disimpulkan bahwa
jika p.a. X dan Y saling bebas, maka
P  ( X ( )  x)  (Y ( )  y)   P( X ( )  x) P(Y ( )  y) (7-26)
i.e.,
FXY ( x, y)  FX ( x) FY ( y)
(7-27)
Dg kata lain, jika X dan Y saling bebas maka
f XY ( x, y)  f X ( x) fY ( y).
(7-28)
13
Jika X dan Y berjenis diskrit maka sifat saling bebas antara
kedua p.a. berakibat sifat berikut yg berlaku utk setiap i, j
P( X  xi ,Y  y j )  P( X  xi )P(Y  y j ).
(7-29)
Pers (7-26)-(7-29) memberikan prosedur untuk menguji
sifat saling bebas. Diberikan fXY(x,y), turunkan FPM margin
f X (x )
fX(x) dan fY(y) kemudian amati apakah (7-28) atau (7-29)
berlaku valid. Jika YA, maka X dan Y independen dan jika
TIDAK, maka keduanya dependen. Kembali ke Contoh 7.1,
dari (7-19)-(7-22), bisa diamati langsung bahwa fXY(x,y) 
fX(x)fY(y). Jadi di sini X dan Y adl dua p.a. dependen. Mudah
dilihat kasus yang sama untuk Contoh 7.2, kecuali  = 0.
Dg kata lain, distribusi dua p.a. Gauss adl independen, spt
kasus (7-23) jika dan hanya jika parameter ke lima,  = 0.
14
Contoh 7.3: Diberikan
 xy2e y , 0  y  , 0  x  1,
f XY ( x, y )  
otherwise.
 0,
(7-30)
Tentukan apakah X dan Y independen.
Solusi:


0
0
f X ( x )   f XY ( x, y )dy  x  y 2 e  y dy

y 

 x   2 ye
 2  ye  y dy   2 x, 0  x  1. (7-31)
0
0


Demikian pula
fY ( y )  
1
0
y2  y
f XY ( x, y )dx 
e ,
2
0  y  .
(7-32)
Dalam hal ini,
f XY ( x, y)  f X ( x) fY ( y),
sehingga disimpulkan X dan Y saling independen.
15