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Produzione
Il modello di Solow
Crescita
Il modello di Solow
Macroeconomia (Clamm) - a.a. 2011/2012
Crescita
Produzione
Il modello di Solow
Contenuto
1
Produzione
Tecnologia
Accumulazione e progresso tecnico
2
Il modello di Solow
Decisioni di spesa
Equilibrio del mercato dell’output
Dinamica del modello
Crescita
Produzione
Il modello di Solow
Tecnologia
Accumulazione e progresso tecnico
Produzione
Tecnologia:
Q = F (K , L)
(1)
Q Produzione
K Stock di capitale
L Forza-lavoro
Rendimenti costanti di scala:
cioè:
Q(α ) = F (α K , α L) = α F (K , L) = α Q
(2)
F (α K , α L) = α Q
(3)
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Tecnologia
Accumulazione e progresso tecnico
Produzione
Poniamo α = 1/L :
Q
=F
L
K
,1
L
(4)
Quindi:
y = f (k)
y = Q/L prodotto pro-capite;
k = K /L capitale pro-capite
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(5)
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Tecnologia
Accumulazione e progresso tecnico
Produzione
Figura: Funzione di produzione intensiva
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Tecnologia
Accumulazione e progresso tecnico
Produzione
Figura: Modalità di crescita dell’economia
Accumulazione di capitale - movimento lungo la funzione di
produzione f (k);
Progresso tecnico - spostamento della funzione di produzione
f (k).
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Tecnologia
Accumulazione e progresso tecnico
Produzione
Figura: Produttività del capitale
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Decisioni di spesa
Equilibrio del mercato dell’output
Dinamica del modello
Il modello di crescita di Solow
Decisioni di spesa. Una quota costante del reddito nazionale
viene risparmiata:
Yt = F (Kt , Lt ) = Ct + St
(6)
St = sYt = sF (Kt , Lt )
(7)
Ct = (1 − s)Qt = (1 − s)F (Kt , Lt )
(8)
Pertanto:
e:
con s ∈ (0, 1].
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Equilibrio del mercato dell’output
Dinamica del modello
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Mercato dell’output.
F (Kt , Lt ) = Ct + It
| {z
} | {z }
produzione
(9)
domanda
Utilizzando la (8) si ricava:
F (Kt , Lt ) = (1 − s)F (Kt , Lt ) + It
cioè:
It = sF (Kt , Lt )
(10)
Osservazione. Nel modello di Solow non esiste una funzione
dell’investimento; l’investimento è determinato dalle decisioni
di risparmio delle famiglie.
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Decisioni di spesa
Equilibrio del mercato dell’output
Dinamica del modello
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Nell’economia esistono tre meccanismi dinamici:
accumulazione di capitale. L’investimento (netto) modifica lo
stock di capitale e quindi la capacità produttiva, Q, a parità di
forza-lavoro disponibile e tecnologia;
variazione della forza-lavoro disponibile;
progresso tecnico. A parità di risporse disponibili la capacità
produttiva dell’economia cambia.
Consideriamo il ruolo della sola accumulazione di capitale.
Quindi:
forza-lavoro disponibile costante: Lt = L ∀t
tecnologia costante: Ft (Kt , Lt ) = F (Kt , Lt ) ∀t
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Equilibrio del mercato dell’output
Dinamica del modello
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Dinamica. La dinamica dell’economia è descritta dal processo
di accumulazione del capitale:
Kt+1 − Kt = It − δ Kt
(11)
δ ∈ [0, 1] è il coefficiente che misura la perdita di efficienza
dello stock di capitale (ammortamento)
Possiamo scrivere la (11) in termini pro-capite:
cioè:
kt+1 − kt = sf (kt ) − δ kt
(12)
kt+1 = kt + sf (kt ) − δ kt
(13)
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Equilibrio del mercato dell’output
Dinamica del modello
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Figura: Dinamica nel modello di Solow
sf (kt ) − δ kt > 0, lo stock di capitale (pro-capite) cresce;
sf (kt ) − δ kt < 0, lo stock di capitale (pro-capite) decresce;
sf (kt ) − δ kt = 0, lo stock di capitale rimane costante.
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Dinamica del modello
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Osservazione. Definiamo il saggio di crescita dello stock di
capitale (pro-capite):
gkt =
kt+1 − kt
kt
gkt =
sf (kt )
−δ
kt
Quindi:
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(14)
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Equilibrio del mercato dell’output
Dinamica del modello
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Equilibrio di lungo periodo. L’equilibrio di lungo periodo è
determinato dalla condizione:
Pertanto:
kt+1 = kt = k
(15)
sf (k) = δ k
(16)
cioè:
sf (k)
−g = 0
k
In equilibrio risulta pertanto:
gy = gk = 0
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(17)
(18)
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Dinamica del modello
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Figura: Saggio di crescita del capitale in equilibrio di lungo periodo
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Dinamica del modello
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Figura: Effetto di una variazione della propensione al risparmio
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Dinamica del modello
Modello di Solow
Figura: Effetto della variazione della propensione al risparmio
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Dinamica del modello
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Figura: Transizione fra equilibri di lungo periodo
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Dinamica del modello
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Consideriamo il caso in cui:
Lt+1 = (1 + n)Lt
(19)
Si ricava che:
kt+1 Kt+1 Lt
Kt (1 − δ ) + sF (Kt , Lt )
1
=
·
=
·
kt
Kt Lt+1
Kt
1+n
Riordinando i termini possiamo scrivere:
kt+1 =
sf (kt ) + (1 − δ )kt
1+n
cioè:
kt+1 − kt =
sf (kt ) − (δ + n)kt
1+n
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(20)
(21)
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Dinamica del modello
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Equilibrio di lungo periodo. Si ottiene dalla condizione:
kt+1 = kt = k
Pertanto:
sf (k)
− δ = gK = n
k
(22)
gY = n
(23)
Inoltre:
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Dinamica del modello
Progresso tecnologico
Produzione:
Yt = F (Kt , At Lt )
(24)
St = sYt = sF (Kt , At Lt )
(25)
Risparmio:
Equilibrio di mercato:
It = St = sF (Kt , At Lt )
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(26)
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Equilibrio del mercato dell’output
Dinamica del modello
Progresso tecnologico
La funzione di produzione F (K , AL) è omogenea di primo
grado; la produzione è caratterizzata da rendimenti costanti di
scala:
F (K , AL) = AL · F (k̄, 1) = AL · f (k̄)
(27)
dove:
K
AL
è il capitale per unità di lavoro effettivo, e:
k̄ =
(28)
L̄ = AL
(29)
è il lavoro effettivo a disposizione dell’economia (lavoro
misurato in unità di efficienza).
At è la variabile che misura il progresso tecnologico; si assume
che il progresso tecnologico aumenti l’efficienza (produttività)
del lavoro, con il passare del tempo.
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Dinamica del modello
Progresso tecnologico
Dinamica del modello
dinamica dello stock di capitale:
Kt+1 − Kt = It − δ Kt = sF (Kt , At Lt ) − δ Kt
(30)
dinamica della forza-lavoro:
Lt+1 = (1 + g L)Lt
(31)
dinamica del progresso tecnologico:
At+1 = (1 + g A)At
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(32)
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Progresso tecnologico
Saggi di crescita
saggio di crescita dello stock di capitale:
K
gt+1
=
sF (Kt , At Lt )
Kt+1 − Kt
=
−δ
Kt
Kt
(33)
saggio di crescita della forza-lavoro effettiva:
AL
gt+1
=
At+1 Lt+1
At+1 Lt+1 − At Lt
=
·
−1
At Lt
At
Lt
(34)
e quindi:
AL
gt+1
= (1 + g A)(1 + g L) − 1
cioè:
AL
gt+1
= gA + gL
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(35)
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Progresso tecnologico
Il sistema dinamico di riferimento
dalla (30) si ricava:
Kt+1
− k̄t = sf (k̄t ) − δ k̄t
At Lt
cioè:
k̄t+1 (1 + g A + g L ) − k̄t = sf (k̄t ) − δ k̄t
vale a dire, togliendo (g A + g L )k̄t da ambo i lati dell’equazione:
(k̄t+1 − k̄t )(1 + g A + g L ) = sf (k̄t ) − (δ + g A + g L )k̄t
Quindi:
k̄t+1 − k̄t =
sf (k̄t ) − (δ + g A + g L )k̄t
1 + gA + gL
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(36)
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Dinamica del modello
Progresso tecnologico
Equilibrio di lungo periodo
k̄t+1 = k̄t = k̄
(37)
sf (k̄) = (δ + g A + g L )k̄
(38)
Dalla (36) si ricava:
cioè:
sf (k̄)
− δ = gA + gL
(39)
k̄
La costanza del capitale per lavoratore effettivo implica la
costanza del PIL per lavoratore effettivo:
gK =
ȳ = f (k̄)
e quindi:
gY = gA + gL
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(40)
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Dinamica del modello
Progresso tecnologico
In equilibrio di lungo periodo:
lo stock di capitale cresce al saggio g A + g L ;
il PIL cresce al saggio g A + g L ,
lo stock di capitale pro-capite cresce al saggio g K − g L = g A
il PIL pro-capite cresce al saggio g Y − g L = g A
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