Transcript Απάντηση - Υλικό Φυσικής

Υλικό Φυσικής-Χηµείας
Οριζόντια βολή
Μια οριζόντια βολή και μια κυκλική κίνηση
Μια µικρή σφαίρα Α µάζας m=0,2kg είναι δεµένη στο άκρο αβαρούς νήµατος διαγράφοντας κατακόρυφο
κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R= l = 1,25m. Τη στιγµή που περνά από το ψηλότερο σηµείο της τροχιάς της
Μ έχει ταχύτητα µέτρου υ0=5m/s. Μια δεύτερη όµοια σφαίρα Β εκτοξεύεται οριζόντια µε την ίδια ταχύτητα
υ0 από σηµείο Κ, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο µε το σηµείο Μ, όπως στο σχήµα.
r
M
υ0
l
K
r
υ0
h
O
i) Να βρεθούν οι αρχικές επιταχύνσεις των δύο σφαιρών, καθώς και η τάση του νήµατος στη θέση Μ.
ii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών τη στιγµή που περνούν από το οριζόντιο επίπεδο που
περνά από το κέντρο Ο της κυκλικής τροχιάς.
iii) Για τις παραπάνω θέσεις, αφού σχεδιαστούν οι δυνάµεις που ασκούνται σε κάθε σφαίρα, να υπολογιστούν τα µέτρα τους.
iv) Ποια σφαίρα φτάνει πρώτη στο οριζόντιο επίπεδο που περνά από το Ο, αν ξεκινούν ταυτόχρονα από τις
θέσεις Μ και Κ;
Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει ενώ g=10m/s2.
Απάντηση:
i) Στο διπλανό σχήµα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάµεις που ασκούνται στις
σφαίρες. Το βάρος και η τάση Τ του νήµατος στην Α σφαίρα.
Η σφαίρα Α έχει κεντροµόλο επιτάχυνση, µε κατεύθυνση προς το κέντρο Ο (άρα κατακόρυφη) µέτρου:
aκεντ =
υ 02
R
=
A
r r
T w
r
aκ
r
υ0
B
r
υ0
r
aB r
w
52
m / s 2 = 20m / s 2
1,25
Η σφαίρα Β, λόγω βάρους, αποκτά κατακόρυφη επιτάχυνση αΒ=g=10m/s2.
Από τον θεµελιώδη νόµο της µηχανικής για την Α σφαίρα στη θέση Μ παίρνουµε:
ΣF=m·α → Τ+w=m·ακ →
Τ=mακ-mg=0,2·20Ν-0,2·10Ν=2Ν
ii) Κατά την κίνηση και των δύο σφαιρών από τις αρχικές θέσεις Μ και Κ, µέχρι να φτάσουν στο οριζόντιο
επίπεδο που περνά από το Ο, µετατοπιζόµενες κατακόρυφα κατά h= l , η µόνη δύναµη που παράγει έρwww.ylikonet.gr
1
Υλικό Φυσικής-Χηµείας
Οριζόντια βολή
γο, είναι το βάρος, δύναµη συντηρητική, συνεπώς η µηχανική ενέργεια παραµένει σταθερή. Έτσι ορίζοντας το οριζόντιο επίπεδο που περνά από το κέντρο Ο, ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας, παίρνουµε:
Εµηχ. αρχ=Εµηχ.τελ→
M
1
1
2
mυ 02 + mgh = mυτελ
+0→
2
2
l
r
υ0
K
r
υ0
h
O
υ1 = υ 2 = υτελ = υ 02 + 2 gh →
r
r
υ2
υ1
υ1 = υ 2 = 5 2 + 2 ⋅10 ⋅1,25m / s = 5 2m / s
r
Η ταχύτητα της πρώτης σφαίρας είναι κατακόρυφη, ως εφαπτόµενη του κύκλου, ενώ
υ0
για την ταχύτητα της Β, αυτή προκύπτει ως το διανυσµατικό άθροισµα µιας οριζόντιας
r
r
υy
συνιστώσας, ίσης µε υ 0 και της κατακόρυφης υy. Αλλά τότε η διεύθυνσή της σχηµατί-
ϑ
r
υ2
ζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ, όπου
συνϑ =
υ0
5
2
=
=
υ2 5 2
2
Η ταχύτητα δηλαδή της Β σφαίρας σχηµατίζει γωνία 45° µε την οριζόντια διεύθυνση.
iii) Στο διπλανό σχήµα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάµεις που ασκούνται
στις δυο σφαίρες, όπου το βάρος έχει µέτρο w=mg=0,2·10Ν=2Ν,
O
ενώ η τάση του νήµατος Τ1 «παίζει το ρόλο» της κεντροµόλου, οπό-
r
T1
A
B
r
w
τε έχει µέτρο:
T1 = m
υ12
R
(5 2 )
= 0,2
r
w
2
1,25
N = 8N
iv) Ας ξεκινήσουµε από τα εύκολα!!! Η Β σφαίρα µπορούµε να θεωρήσουµε ότι εκτελεί σύνθετη κίνηση,
οπότε στην κατακόρυφη διεύθυνση ισχύει:
y=
1 2
2y
2 ⋅1,25
gt 2 → t 2 =
=
s = 0,5s
2
g
10
Για την Α σφαίρα. Αν εκτελούσε οµαλή κυκλική κίνηση µε ταχύτητα µέτρου υ0, θα χρειαζόταν χρονικό
διάστηµα:
t1a =
T1 1 2πR πR 3,14 ⋅1,25
= ⋅
=
=
s ≈ 0,39 s
4 4 υ0
2υ 0
2⋅5
Προφανώς η Α σφαίρα κινείται επιταχυνόµενα κατά τη διάρκεια της παραπάνω µετακίνησης, συνεπώς
το χρονικό διάστηµα που θα χρειαστεί για να φτάσει στο οριζόντιο επίπεδο που περνά από το κέντρο Ο,
θα είναι t1 < 0,39 s , οπότε θα φτάσει γρηγορότερα της Β σφαίρας στην οριζόντια διεύθυνση.
[email protected]
www.ylikonet.gr
2