Transcript Kennismaking met enkele fractalen

Kennismaking met enkele fractalen
Bekijk deze rij figuren.
1.
Veronderstel dat de oppervlakte van de eerste driehoek 1 is. We noemen deze driehoek de 0-de
figuur. Wat is dan de totale oppervlakte van de zwarte delen van de -de figuur? En wat is de limiet
van de rij van de (zwarte) oppervlakten?
De limietfiguur van de rij heet de driehoek van Sierpinski (Waclaw Sierpinski, Poolse wiskundige, 20ste
eeuw) en ziet er uit zoals hieronder.
In feite wordt nooit echt de limietfiguur getekend, maar wel de -de figuur voor een voldoende grote
waarde van . Omdat de resolutie van ons scherm eindig is, zien we op de duur het verschil niet meer.
Maar we redeneren wel alsof het proces oneindig zou zijn verdergezet. De belangrijkste eigenschap van
deze limietfiguur is dat de hele figuur dezelfde vorm heeft als een stuk van de figuur. Dit stuk heeft dan
opnieuw dezelfde vorm als een stuk van dit stuk enz. We zeggen dat de driehoek van Sierpinski
zelfgelijkvormig is. Een zelfgelijkvormige figuur noemen we een fractaal.
2.
Maak de bewering ‘de hele figuur heeft dezelfde vorm als een stuk van de figuur’ concreter voor de
driehoek van Sierpinski. Druk dit uit met een transformatie.
Op de animatie http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/siertri/ZoomAnimation.htm zie je dat er op
een continue manier wordt ingezoomd op de driehoek van Sierpinski. Geniet.
3.
Geef in de volgende gevallen telkens een transformatie die de hele fractaal afbeeldt op een stuk ervan.
a.
Het tapijt van Sierpinski
b.
De H-fractaal: op elk eindpunt van de verticale strepen van de eerste H wordt een nieuwe H
geplakt. Enzoverder. De nieuwe H’s zijn telkens half zo lang als de vorige.
c.
Eén van de drie kusten van het eiland van Koch